Конечные элементы и аппроксимация

с решением

Как показано на рис. 3.7, д и е, этот метод воспроизводит точные зна­

Упражнения

Галеркину с четырьмя линейными элементами. Сравнить результаты с полу­

с конечно-разностным решением и решением с помощью базисных функций из упражнения 2.4.

3.5.Найти распределение температуры для задачи из упражнения 1.3, используя конечно-элементную аппроксимацию по Галеркину.

3.6.В упражнении 3.5 не проводить точное интегрирование [(J2\if(H*k)]X

X(H —y)2Ni по каждому элементу, а заменить F = (H—y)2 кусочно-линейной

3.7.Используя конечно-элементную аппроксимацию по Галеркину, решить задачу одномерной стационарной теплопроводности из упражнения 2.5.

3.8.Решить задачу об отклонении находящегося под действием нагрузки

троса на упругом основании из упражнения 1.4. Использовать метод конечно­ элементной аппроксимации по Галеркину и сравнить результаты с точным решением и с решением, полученным методом конечных разностей.

3.9. Найти конечно-элементные формулировки для нелинейных задач из

упражнений 1.11 и 1.12.

3.10. Решить нелинейную задачу из упражнения 1.13, используя три лилей­ ных элемента равной длины.

3.6. Стандартная дискретная система. Физический аналог процесса ансамблирования уравнения

Так как уравнения метода взвешенных невязок могут быть

получены суммированием соответствующих уравнений для каж­ дого элемента (в силу свойства'интегралов (3.2)), этот процесс аналогичен ситуациям, встречающимся при анализе многих диск­

ретных физических систем, когда полная система формируется из

Имеется много физических примеров описанных выше процес­ сов (которые, заметим, тождественны встречающимся в конечно­

элементных процедурах метода взвешенных невязок, где все мат­ рицы элементов просто складываются). Возможно, наиболее извест­

ной является задача исследования конструкций (часто сложной

формы), которые обычно составляются из простых элементов. Смысл

различных терминов очевиден (см. рис. 3.8, а). Элементы кон­ струкции и узлы, в которых эти элементы связаны, занумерованы; ae = (a/f aj)T— вектор узловых перемещений элемента е, q* — сила, действующая на узел i со стороны элемента е. Предполагая ли­ нейное упругое поведение элемента, можно записать

L

Рис. 3.8. Примеры дискретных систем, а — конструкция из шарнирно соединен­ ных стержней; б — электрический контур из активных сопротивлений; в — слож­ ный электрический контур.

матрица жесткости элемента. Если конструкция находится под

где очевидным образом не равны нулю только включающие узел / компоненты. Комбинируя уравнения (3.21а) и (3.216) и ансамбли-

применимы те же самые процедуры. Систему переменных образуют

теперь представляет собой просто закон Кирхгофа для суммы сил

токов в каждом узле /, где rt— результирующая сила тока из

узла /. Комбинируя уравнения (3.23а) и (3.236), получаем стан­

дартную ансамблированную систему линейных уравнений.

Наконец, на рис. 3.8, в изображен более сложный электри­

ческий контур, на элементы которого подается периодическое напряжение вида

Опять применимы правила и определения, аналогичные данным

для примера на рис. 3.8, б. Однако теперь величины al9 q]— комп­ лексные числа, а матрицы элементов к*— обратные для матриц импеданса.

Эти три примера— типичные представители ряда физических задач, по форме аналогичных задачам, встречающимся в методе конечных элементов. Читатели наверняка смогут указать и дру­ гие подобные задачи, с которыми они имеют дело в своей прак­

тике. Такие аналогии часто будут полезны инженерам и физикам,

желающим получить более абстрактную формулировку их мате­

матических задач, и могут приводить к лучшему пониманию

математических операций, выполняемых при решении, и даже к лучшим формулировкам самих задач. Действительно, инженеры часто могут обнаружить, что для решения их непрерывных задач

можно воспользоваться программами для ЭВМ и процедурами,

разработанными в дискретном анализе.

В заключение этого параграфа рассмотрим простой одномерный

Ф © (D

1 ^ Ц/3 ^2 ^ t-r/з ^3 Lxj з ^ 4

Яf)

Рис. 3.9. Конечно-элементное решение задачи об определении смещения акси­ ально нагруженного стержня из примера 3.4. а — распределение аксиальных сил; б — конечно-элементная дискретизация с нумерацией узлов и элементов; в — кусочно-линейные базисные функции; г — аксиальное смещение.

пример, который, как можно надеяться, проиллюстрирует некото­ рые из концепций аналогии и позволит сравнить результат с реше­ нием той же самой задачи методом конечных разностей, где ана­ логия не столь прозрачна.

Пример 3.4. Обратимся к задаче определения смещений в стержне,

находящемся под действием аксиальных сил (рис. 3.9, а). Урав­ нение равновесия стержня можно записать в виде

мещением и, которое будет рассматриваться в качестве основной

переменной.

Тогда уравнения метода взвешенных невязок (3.13) принимают вид

V . d x + l w ,^ - ] Lx 0 :

при этом условие и = 0 при х = 0 будет удовлетворено точно позднее.

Полагая Wt = Nti [Wl]x=Lx = — [kNt]x=Lx и интегрируя по ча­

стям, приходим к уравнениям в слабой форме

откуда подстановкой аппроксимации и получаем линейную систему

Ku = f,

где ur = («i, и2, иа, ы4). Компоненты матрицы К и правой части f могут быть получены суммированием вкладов отдельных элементов.

Для элемента е длиной he с узлами i и /, показанного на

рис. 3.5,