Конечные элементы и аппроксимация

Рис. 2.7. Сравнение точного решения с решением, полученным с помощью базисных функций, для задачи из примера 2.4.

В только что рассмотренном одномерном примере интеграл по

границе в уравнении (2.41) свелся к определению двух значений в точках^ Однако процесс очевидным образом справедлив и для двумерной или многомерной областей. Такая ситуация иллюстри­

руется следующим примером.

Пример 2.5. Снова рассмотрим задачу кручения из примеров 1.5 и 2.3, описываемую уравнением д2(р/дх2 + д2ср/ду2 = —2 в прямо­

угольнике — —2^. у ^ 2 с краевым условием ср = 0 на

границах. Как и ранее, ограничимся четными базисными функ­ циями, но на этот раз откажемся от требования, чтобы аппрокси­ мация автоматически удовлетворяла всем краевым условиям. Например, если берется система

вается путем включения этого условия в уравнения метода взве­

шенных невязок, как это сделано в уравнении (2.41), и соответ-

Рис. 2.8. Поведение 2- и 5-элементных аппроксимаций из примера 2.5 на прямых

с помощью аппроксимации, автоматически удовлетворявшей обоим краевым условиям.

2.11. В упражнении 2.7 найти распределение температуры, используя

ния на краях пластины. Показать улучшение выполнения другого граничного условия на краях пластины с увеличением числа используемых в аппрокси­ мации элементов.

2.5. Естественные краевые условия

Примеры, приведенные в предыдущем параграфе, показали,

что можно вычислить коэффициенты разложения (2.38) и таким образом определить приближенное решение без априорного удовле­

творения краевым условиям. Тем не менее процесс был более сложен даже в этих простых примерах. Здесь для получения

аппроксимации требовалось больше параметров, чем для нахож­

дения приближения, изначально удовлетворявшего краевым усло­ виям, т. е. для достижения заданной точности решалось большее

границы криволинейны или имеют какие-либо другие осложняю­

с вычислением производной на границе и нужным образом видо­

изменить соответствующую общую формулировку.

Возвращаясь к уравнению метода взвешенных невязок (2.41),

называется слабой формулировкой метода взвешенных невязок

(или слабой формой уравнения метода взвешенных невязок). После

таким образом, будет исключен интеграл, содержащий ф или ее

производные вдоль границы. Это будет возможно только для опре­

деленных краевых условий, называемых естественными. В общем

случае применение такой процедуры для краевых условий, вклю­ чающих только заданные значения самой функции, выгоды не дает, но она может быть полезна при задании на границе произ­ водной.

Далее система аппроксимирующих уравнений получается стан­ дартным образом, основываясь на используемой базисной функ­

ции ф. В результате опять имеем систему

~Ka = f

тем фактом, что при аппроксимации одним элементом d<p/dx\x=-l= 15,

а для двух элементов d<p/dx\x=1 = 18.67.

Отметим, что метод Галеркина может быть использован здесь на законном основании, поскольку все базисные функции авто­ матически удовлетворяют ограничению И7,|л=0 = 0, наложенному выше при получении окончательной формулировки метода взве­ шенных невязок.

2.5.1. Естественные краевые условия для уравнения теплопроводности

Рассмотрим вновь уравнение теплопроводности из гл. 1 и обсу­ дим в более общей постановке вопрос о естественных краевых условиях. Итак, будем искать решение уравнения

нимает вид

Г [(dWl/dx)kdy/dx + idWt/dy) kdy/dy]dxdy— ^ WlQdxdy +

+ J W,qdT = 0. (2.54)

гч

Подставляя в это уравнение разложение по базисным функциям

(2.48), приходим к стандартной системе линейных алгебраических

уравнений

шенных невязок.

Напомним, что метод конечных разностей, примененный к этой задаче с заменой производной на границе центральной раз­ ностью, приводил к системе уравнений с несимметричной матри­

Пример 2.7. Требуется решить задачу стационарной теплопро­

водности в материале с коэффициентом теплопроводности k = J,

занимающим квадратную область — — l ^ t / ^ 1 . На сторонах у = ± 1 поддерживается нулевая температура, тогда как

ционарной теплопроводности при отсутствии источников тепла

будет непосредственно удовлетворять краевым условиям на Гф.

Если взять Wt= Ni, то интеграл по Гф обращается в нуль, по­

Подставляя сюда рассматриваемую аппроксимацию ф, получаем

векторное уравнение вида (2.55), где теперь

после чего, решая векторное уравнение, можно найти вектор не­ известных коэффициентов а. Если этот процесс выполнен, то ста­ новится возможным показать сходимость полученной таким

образом аппроксимации к естественным краевым условиям на

прямых х = ± 1 (см. рис. 2.9).

Упражнения

2.13.Используя метод Галеркина, решить задачу теплопроводности из упражнения 1.9 и сравнить точное и приближенное решения.

2.14.Решить упражнение 1.10 методом Галеркина. Показать сходимость приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, исполь­ зуемых в аппроксимации.

2.15.В упражнении 1.20 была рассмотрена задача об отклонении нагру­

женной балки с защемленными концами, покоящейся на упругом основании. Выяснить, какие краевые условия здесь являются естественными. Решить эту задачу методом Галеркина для случая, когда балка свободно оперта на концах, используя аппроксимацию, не удовлетворяющую автоматически этим естественным краевым условиям. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид ф = da<p / dx2= 0 на обоих концах.