Конечные элементы и аппроксимация

где

~фР

— вектор значений в узлах элемента.

Коэффициенты в базисных функциях элемента (3.25) и площадь

элемента Д* могут быть определены с помощью соотношений (3.27).

Тогда входящие в (3.37) производные от базисных функций вычис­

аналогичные выражения получаются для производных от других

базисных функций элемента. Будем считать, что сторона элемен­

та, соединяющая узлы i и /, лежит на фактической границе

или аппроксимирует ее, а другие стороны не лежат на этой гра­

Тогда на элементе е можно заменить k и Q средними значениями

ke и Qe соответственно, a qe средним значением qe вдоль стороны элемента, представляющей часть границы Г^.

Замечая, что

(3.40)

ие

и непосредственно проводя интегрирование в (3.37), получаем

Вклад по элементу в вектор нагрузки f найдем, проводя ин­ тегрирование в (3.366) с учетом того, что

(3.42а)

где

В результате имеем

П= (1/3) QeAe— (1/2) q* V (Xi-Xj)* + {yt— yj)\

/у = (1/3) Q*A*— (1/2) qe V (x(-X jY + (yr- y j)\

f%= (1/3) QeAe.

Дифференцирование этих базисных функций позволяет найти вхо­ дящие в (3.44) выражения, а именно

Рассмотрим случай, когда стороны элемента, связывающие узлы i и / и узлы i и / соответственно, образуют или аппрокси­

мируют часть Г?. Тогда, снова считая, что q постоянно и равно

qe вдоль этих сторон, a k и Q постоянны на элементе, из (3.44)

имеем

Отметим, что, согласно (3.45), на каждом элементе сумма базис­

ных функций элемента равна единице, т. е.

и, таким образом, согласно (3.44), сумма элементов в каждой

строке матрицы ке должна быть равна нулю. Это условие выпол­

няется для только что полученной матрицы ке в (3.47) и служит простой проверкой правильности проведения интегрирования.

Компоненты вектора нагрузки элемента вычисляются с помощью

соотношения (3.366). Например, для узла i имеем h%h%

fet= S S [Qel(hexhey)] (hex— x) (hey—y)dxdy—

0_________________ J)_________________

= (1/4) Qehexhey— (l/2)~qhe—x (112]qehey,

где подчеркнутые члены появляются только в силу предположе­

ния, что стороны элемента, связывающие узлы i и / и узлы i и

/ соответственно, образуют часть Тд. Тогда остальные ненулевые

компоненты вектора нагрузки элемента ie выражаются формулами

/У = (1/4) Qehexhey— (1/2)~де1гех,

// = (1/4) QeheJiey— (1/2) q'hj.

Хотя вычисление вручную этих матриц элементов и правых

частей в известной степени утомительно, его нетрудно осуществить

с помощью программы для ЭВМ. Полученные выше соотношения

могут быть использованы для треугольников произвольного раз­ мера и формы, а также для любых прямоугольников. Следующий этап в процессе решения состоит в ансамблировании вкладов полу­ ченных матриц элементов и правых частей для нахождения гло­ бальной матрицы системы К и правой части f в (3.35). Эта процедура демонстрируется в следующем примере, где для обоих видов разбиения области на треугольные и прямоугольные эле­ менты осуществляется ансамблирование типичного уравнения во внутреннем узле однородной области.

Пример 3.5. Для только что рассмотренной двумерной задачи

теплопроводности продемонстрируем процесс ансамблирования

матриц элементов в случае равномерной сетки с шагом h по направлениям х и у. Такое ансамблирование сначала проводится для треугольной сетки, показанной на рис. 3.16, а, а затем повто­ ряется для прямоугольной сетки на рис. 3.16, б. Коэффициент теплопроводности k предполагается постоянным во всей области. В случае треугольных элементов используются соотношения (3.27).

У?

Ув

Рис. 3.17. Этапы процесса ансамблирования для двумерной задачи теплопровод­ ности с использованием треугольной сетки, изображенной на рис. 3.16, а. Здесь

(а) — (е) иллюстрируют ансамблирование ненулевых компонент для элементов

Для других элементов компоненты приведенных матриц эле­

ментов и векторов нагрузки элементов находятся таким же обра­ зом. В рассматриваемом случае можно непосредственно получить соотношения

Ансамблирование вкладов элементов 1—4 в глобальную мат­

рицу К и правую часть f показано на рис: 3.18. Опять можно

заметить, что соответствующее узлу 1 уравнение уже не будет

меняться при продолжении процесса ансамблирования, так как

узел 1 ассоциирован только с элементами 1—4. Таким образом,

согласно рис. 3.18, (а), полное уравнение для узла 1 будет иметь вид

(8/3) ф! — (1/3) (ф, + Фз + ф4 + Фб + Ф. + Фт + ф8 + Ф»)—

- [AV(4>fe)](Q14- Q2 + Q3+ Q4) = о.

Полученное ансамблированием для равномерной конечно-элемент­

ной сетки уравнение интересно сравнить с эквивалентным конечно­

разностным уравнением, которое, согласно результатам гл. 1, в узле 1 имеет вид

4ф!— Фг— фз— ф4 — ф8— /i2Qi = 0.

Читатель заметит, что приведенное здесь конечно-разностное выра­

жение аналогично уравнению в этом узле, полученному ансамбли­

рованием по треугольным элементам. Однако в конечно-разност­

ном выражении значение Q в узле 1 равно величине нагрузки, тогда как в конечно-элементной форме использовано весовое сред­ нее значение нагрузки, распределенной между примыкающими

элементами. Если Q не равно постоянной, то это приводит к полу­

чению разных выражений.

Продолжая процесс ансамблирования, читатель заметит, что

вблизи границы, где задан ненулевой поток q> ансамблированные

уравнения отличаются от используемых в конечно-разностной

аппроксимации. Действительно, конечно-элементная формулировка здесь проще и ее точность выше. Если в примере 1.5 использо­

вать оба типа ансамблированных уравнений, то в случае треуголь­

ной сетки результаты будут тождественны полученным ранее с помощью конечно-разностной аппроксимации (так как здесь поток через границы равен нулю и Q постоянно на всей области). Однако для прямоугольных элементов решение будет иным, и читатель

должен сравнить полученные таким образом результаты с резуль­

татами, полученными при использовании треугольных элементов (см. упражнение 3.16).