Поведение конструкций из композитных материалов
..pdfЭ1У,, щ |
|
|
Эх + 1 7 + т ^ _ т ^ = 0 |
|
|
где |
|
|
< М Л*) = т1.у, |
агу(^о) = т2у |
(ЗЛ1) |
Из уравнения равновесия по оси z, после интегрирования и суммирова ния получим:
9Q* |
ZQy |
|
(3.12) |
|
Эх |
+ 1 7 + Р1 -Рг = о |
|||
|
||||
где |
|
|
|
|
oz( ftN ) = P i , |
oz( h0) = p2 |
(3.13) |
||
Помимо представленных выше уравнений равновесия сил необходи мо иметь два уравнения равновесия для моментов: одно относительно оси х, другое —оси у. Умножив уравнение (3.1) почленно на zdz и проин тегрировав по толщине слоя, а также просуммировав результат по всем слоям пластины, получим:
N |
Ик доч |
N |
hk |
д°ухк |
N |
де™к |
|
|
s |
; |
zdz + £ |
f |
zdz + 2 г |
zdz —0. |
|||
|
|
|||||||
*=1 |
дх |
к= 1 |
hk - 1 * |
к = 1 hk- 1 |
dz |
|
||
Л*. |
|
|||||||
Здесь также в первых двух членах может быть переставлены опера ции интегрирования и суммирования, в результате чего получим (дМх/дх + дМХу/ду). Третий член интегрируется по частям следующим образом:
N |
hk |
да2Хк |
N |
zo~ |
|
- f |
a2xdz. |
2 |
I |
dz |
zdz = 2 |
4 - \ |
|||
к= 1 |
hk- 1 |
k= l |
|
|
гк - l |
Очевидно, что здесь последний член — Qx . Ясно также, что в первом члене справа моменты всех межслойных напряжений взаимно уничто жаются. Ненулевыми остаются только моменты от приложенных к по верхности сдвиговых напряжений. Таким образом,
h \ T i x + т2*]/2 =/!д,т,х - h0T2x.
Используя это выражение, получим уравнение равновесия моментов относительно оси х
|
ЪМху |
|
л |
|
|
э* |
+ _ э 7 ' " е ' |
+ 2 [т- |
+ Т2' ] = 0 |
|
|
Аналогично уравнение равновесия относительно оси .у |
|
||||
э М |
, Ш У Л |
п г |
+ т2.у] “ О, |
(3.15) |
|
0JC |
*У |
( 2 у |
*2 I |
|
|
|
|
|
|
||
Все еГО члены определены выше. Таким образом, для прямоугольной пластины независимо от ее материала существуют пять уравнений равно весия: (Э.9), (ЗЛО), (3.12), (3.14), (3.15).
3.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рассмотрим пластину из слоистого композитного материала симметрич ную относительно срединной поверхности, так что В^ = 0, и другие пар ные смешанные коэффициенты ( ) 16 = ( ) 2 6 “ 0. При этом отсутст вуют поверхностные сдвиговые напряжения и гидротермические воздей ствия. Уравнения равновесия пластины при изгибе под действием попе речных нагрузок: (3.14), (3.15) и (3.12) примут вид
ЭЛ4 |
ЭМ,., |
|
(3.16) |
а / + |
а , - в - - ° |
э м , . , |
э м .. |
|
(3.17) |
(3.18)
После подстановки уравнений (3.16), (3.17) в (3.18) получим
Э2М, |
э х , |
Э2М„ |
(3.19) |
а** + 2 Э*Э.у + |
г = - р ( х >у) |
||
эу |
|
||
где р(х,у) |
= р 1 (х, у) |
- р2 (х, у ) . |
|
Полученные выше уравнения следуют исключительно из рассмотрения условий равновесия. С учетом (2.62) для случая симметрии пластины от
носительно срединной поверхности (В,у = 0) и отсутствия ( |
) 16 и |
|
( ) 2 6 определяющие соотношения примут вид |
|
|
M X - |
D U K X + DU KV |
(3.20) |
Му = |
В>\2кх 4- D22Ky |
(3.21) |
Мху = 2D66K^
где на (2.44)
Хорошо известно, что учет поперечных сдвиговых деформаций (когда exz ^ €yz ^ 0) имеет большое значение для пластин из композитных материалов при определении максимальных прогибов, частот собствен ных колебаний и критических нагрузок. Однако при упрощенном анали зе напряженного состояния, для предварительных расчетов и при опреде лении в первом приближении требуемой последовательности укладки слоев и толщины пластины эти деформации не учитываются.
Если пренебречь поперечной сдвиговой деформацией, то, учитывая (2.42) получим
отсюда
92w Э2и>
кх
(3.23)
*ху ЪхЪу
Подставив (3.23) в (3.20), с учетом (3.22), получим
(3.24)
(3.25)
Э2и>
(3.26)
Э*Э_у
Подстановка этих уравнений в (3.19) дает
(3.27)
Коэффициенты, входящие в уравнения, могут быть записаны в более простой форме:
D n = D \< &22 — |
( Z)|2 + 2/)^) — |
(3.28) |
||
С учетом (3-27) получим |
|
|
|
|
Г>,^~7 + 2£>3— -— j + I>2 |
4 = р (х , у ) |
(3.29) |
||
1 Эх |
Эх2Эу 1 |
2 Э/ |
|
|
Таким |
образом, получено |
основное дифференциальное |
уравнение |
|
изгиба пластины из композитного материала без учета поперечной сдви говой деформации и при отсутствии смешанных членов [В^ = ( ) 1 6 = = ( ) 2 б = 0] , а также без учета гидротемпературных воздействий (АТ = Art =0), находящейся под действием поперечной распределенной нагрузки Р(х> У)• Как было отмечено, пренебрежение поперечной сдви говой деформацией и гидротемпературными воздействиями может при вести к значительным ошибкам. Однако во многих случаях такой под ход облегчает решение, особенно на стадии предварительных расчетов, при первоначальном определении размеров пластины.
Решение уравнения (3.29) может осуществляться двумя путями - в результате непосредственного рассмотрения основного дифференциаль ного уравнения или с помощью энергетического метода. В гл. 6 будут бо лее детально изложены методы отыскания приближенных решений неко торых задач, наиболее часто встречающихся на практике.
Прямое решение основных дифференциальных уравнений для плас тин из композитных материалов осуществляются тремя методами: с по мощью решения Навье, с помощью решения Леви и методом возмуще ния. Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. В лю бом случае прежде всего необходимо определение граничных условий.
3.4.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЛАСТИНЫ
Визложенной выше классической теории пластин, где не учитываются поперечные сдвиговые деформации, для каждого края пластины сущест
вуют только два граничных условия. Граничные условия для шарнирно опертого и защемленного краев пластины аналогичны граничным услови ям в классической теории изгиба балок. Обозначим через п направление нормами к краю пластины, а через tнаправление по касательной к этому краю. Тогда для шарнирно опертого края пластины
w = 0, |
Мп =0. |
(3-30) |
Если |
Мп = 0, значит и d2w/dn2 |
= 0, поскольку в (3.24) и (3.25) |
отсутствует кривизна (т.е. d2w/dt2) |
вдоль шарнирно опертого края |
|
пластины вследствие того, что w = 0. |
|
|
Для защемленного края пластины |
|
|
Для свободного края пластины, на котором нет нагрузок и не наложе но ограничений на перемещения и углы поворота, Мп, Qn, будут равны нулю. Однако в классической теории пластан могут быть удовлет ворены только два граничных условия. Это обстоятельство явилось главной проблемой для механиков в начале девятнадцатого столетия. Затем Кирхгофф блестяще сформулировал приближенное решение зада чи, которое изложено во многих работах, например [1 , 2 ].
Он установил, что для свободного края пластины
Мп = 0. |
(3.32) |
Причем, момент определяется полными выражениями (3.24) и (3-25). Приближенное выражение для второго граничного условия
Vn = Qn + bMnt! b t - 0, |
(3.33) |
где Vn —эффективное поперечное усилие; Qn определяется по уравнению (3.16) или (3.17); Мп - по уравнению (3.24) или (3.25), a Mnt — по уравнению (3.26).
3.5. РЕШЕНИЕ НАВЬЕ ДЛЯ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Прямые решения для пластин (рис. 3.2) из композитных материалов, т.е. решения уравнения (3.29), могут осуществляться тремя методами. Согласно методу Навье, разработанному для анализа изгиба шарнирно опертой по всем четырем краям пластины, решение представляется в форме тригонометрических рядов, которые удовлетворяют граничным условиям (3.30):
|
|
|
|
|
. |
ттгх |
. |
птгу |
(3.34) |
w ( * . |
у ) = |
Е |
Е |
А т п |
sin------ |
Sin—-г- |
|||
|
|
т=1 |
п* 1 |
|
|
а |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Е |
Вт |
. |
ттгх |
. |
птгу |
(3.35) |
р ( х , |
у ) = |
L |
sin------ |
sin—— |
|||||
|
|
|
/1 =1 |
|
|
а |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2. Тонкая пластинка в коорди натной системе
3.6. РЕШЕНИЕ НАВЬЕ ДЛЯ РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ
Для равномерно нагруженной [р(х, у) = - Ро] шарнирно опертой пластины решение Навье ниже применяется к двум композитным систе мам для однонаправленного и продольно-поперечного расположения слоев. Напряжения в плоскости ох, оу и oz определяются в каждом слу чае для угловых и центральной точек пластины. Решения исследуются
на сходимость ряда при удержании одного, трех и пяти членов. |
|
|
При анализе полагается, что все слои материала |
идеально связаны |
|
и используется классическая теория, т.е. exz и еу2 |
считаются равными |
|
нулю. При этом напряжения в плоскости пластины (а^, оу и оху) |
опре |
|
деляются непосредственно, а поперечные сдвиговые напряжения |
(oxz |
|
и °vz) определяются в дальнейшем.
Используя изложенные выше методы, определим напряжения в каж дом слое пластины для р(х, у) = - р0 следующим образом:
|
|
00 |
оо |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 , 3 , 5 |
л =1, 3, 5 mnD |
|
|
|
|
|
||
|
|
т— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-й(?)г-см?)!Ь‘ |
ГП7ТХ |
•sin |
П7гу |
|
|||||
|
|
~Ь~ |
|
|||||||
|
[-е^Г-й®2] |
.. |
|
гттх |
•sin |
мту |
(3.36) |
|||
|
|
|
а |
|
||||||
|
|
|
|
sin------ |
|
|
||||
|
x*(7 )(S)“ ттгх |
|
|
мгу |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m . |
|
пхп |
|
|
|
|
п л |
|
||
D = D„ ( - |
) 4 |
+2 (£),2 +2D 66)(--)2+ D 22( - ) 4. |
|
|||||||
a |
|
|
ab |
|
|
|
|
b |
|
|
Рассмотрим численный пример расчета пластины со сторонами д = Ъ = = 0,3 м, общая толщина пластины 2 10"3 м, толщина слоя 0,25 10_3 м. В качестве материала примем эпоксидный стеклопластик со следующими свойствами; £ , х =61,6 ГПа; Е22 =25,2 ГПа; vl2 =0,23; С12 =12,18 ГПа.
Объемная доля волокон |
Vf составляет 0,7, жесткости |
равны, ГПа: |
||||
б п |
= 63; |
Qx2 = 0,595; Q22 =27,02; |
Q66 = 12,18 для продольного слоя |
|||
(О |
); Qii |
= 25,76; Q\2 = 5,95; Q22 |
= 63; |
Q66 = 12,18 для поперечного |
||
слоя (90°). |
|
|
|
|
|
|
На рис. 3.3, а показаны |
нормированные |
напряжения |
(5,у = а«/р0) в |
|||
средней точке пластины (х |
= а/2 , у = Ь/2) при однонаправленной уклад |
|||||
ке слоев. Нормированные напряжения для средней точки пластины, имею-
3 - 1327
Рис. 3.3. Нормированные напряжения в стеклопластике и углепластике:
а - стеклопластик, последовательность укладки однонаправленная, координаты точки д/2, 6/2; б - стеклопластик, последовательность укладки [ (0/90) 21о, коорди- ] наты точки а/г, b/2\ в - стеклопластик, последовательность укладки [ (0/90) 21^, координаты точки а/4, Ь/4; г - углепластик Т300/5208, последовательность укладки [(0/90) 2 ]Sy координаты точки а/4, Ь/4; д - углепластик Т300/5208, последователь ность укладки [ (0/90) 2 ]s, координаты точки д/2, 6/2; 7 - л = 1 ,т = 1,3, 5 * 2 - и = * = 1,3,/я =1,3, 5; 3 - л = 1,3, 5, т = 1,3,5
щей серединную плоскость симметрии при продольно-поперечной уклад ке слоев, приведены на рис. 3.3, б, а эти напряжения для точек с коорди натами я/4, 6/4 при продольно-поперечной укладке слоев - на рис. 3.3, вЛ Для сравнения приведем результаты расчета ортогонально армирован ной пластины из эпоксидного углепластика Т300/5208 со следующим#
свойствами: Е\\ = 155,4 ГПа; Е2г = 11,06 ГПа; у =0,12; GX2 =5,67 ГПа;
Vf = 10%.
Нормированные напряжения показаны на рис. 3.3, г и 3.3, д для точек с координатами а/2, Ъ/2 и д/4, Ъ/4.
Из этого примера можно сделать некоторые выводы.
1. Решение сходится хорошо (в пределах трех членов по т и п) при нахождении дх, и хуже при вычислении оу .
2 . Для одного и того же материала существует небольшое различие между максимальной величиной напряжений дх в случае однонаправлен ной и продольно-поперечной укладки слоев композитов, в то время как напряжения оу значительно отличаются.
3.Отличие напряжений оу для пластины из углепластика по сравнению
сох составляет ~ 10 %, что существенно меньше, чем у пластины из стекло пластика (~33 %) при аналогичном расположении слоев.
3.7. РЕШЕНИЕ ЛЕВИ ДЛЯ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Второй прямой метод решения задачи изгиба прямоугольных пластин под действием поперечных нагрузок был предложен Морисом Леви [3]. В 1899 г. он разработал метод решения в одинарных бесконечных рядах, который позволил решить задачу для изотропной пластины. Этот метод
может быть использован для решения уравнения (3.29) для пластин из композитного материала.
Рассмотрим шарнирно закрепленную по краям (у =0 и у =Ь) пластину из композитного материала (рис. 3.2). Граничные условия на этих краях
следующие: |
|
|
|
w (х, 0) = w (х, Ъ) =0; Му (х, 0) = Му (х, Ь) = 0. |
(3.37) |
||
Последнее означает, что |
|
||
Э2уу(х, 0) |
__ d2w ( x , fe) |
(3.38) |
|
Эу2 |
Эу2 |
||
|
|||
Леви предложил решение в виде одинарного тригонометрического ряда, удовлетворяющего граничным условиям по краям (у = 0 и у = Ь ):
К*. >’)= |
Ё |
*,(■*)sin^ ? |
(3.39) |
|
|
|
— 1 |
6 |
|
где </?я (х) |
является неизвестной функцией |
х. Действующая распреде |
||
ленная нагрузка р(х, у) может быть выражена как |
||||
р (х, y) = g ( x ) h ( y ) |
(3.40) |
|||
где g(x) |
и h (у) |
— функции, которые могут быть найдены. Выражение |
||
(3.29) требует, чтобы функция /i(y) также |
была представлена тригоно |
|||
метрическим рядом, поэтому |
|
|||
ь ( у ) = |
£ |
А п s i n ^ i r |
( 3 -4 1 ) |
|
|
Л-1 |
° |
|
|
|
|
|
|
(3.42) |
Подставляя равенства (3.39)—(3.41) в уравнение (3.29) и учитывая, что уравнение справедливо, если оно удовлетворяется почленно, после деления на Z),, получим
(3.43)
где \ п =т/Ь.
Отметим, что выражение (3.43) было получено без задания гранич ных условий по краям (х = const). Действительно, однородное решение дает четыре постоянных интегрирования, которые определяются при
удовлетворении граничным условиям по этим краям. Для получения однородного решения уравнения (3.43) его правая часть приравнивается к нулю:
|
(3.44) |
Полагая |
(х) = е*х , после деления результата на esx, выражение |
(3.44) преобразуется к виду
(3.45)
В отличие от изотропной пластины, для которой D\ = D2 = D3 и корни уравнения s имеют значения ±Хп и ±\п (кратные корни), в этом случае существует три группы корней в зависимости от величины параметра (D2/DI ) 1/2, который может быть больше, равен или меньше параметра D3/Dl . Таким образом, при использовании решения Леви для композит ной пластины могут быть получены три разных формы однородного ре шения в зависимости от относительной жесткости в разных направле ниях. Для случая (D2/DX) 1/2 < (D3/Di):
Ф„;/(дс) = С, cosh(Xnj,x ) + C2 s in ^ X ^ x ) |
|
|
4- С3 cosh(X„s2;c) + С* sinh(X,;s2.x) |
(3.46) |
|
где корни 5 , = [(Дз/P Q + ч /ф з/Я , ) 2 - |
Д2/Я ,] 1/а, s2 = |
[(DJD,) - |
-V (A ,/£ > i)3 - 0 2/ £ Ч 1/2. |
|
|
Для случая (D2/Dl ) 1' 2 = (Х>3/£>,) : |
|
|
Ф„„(*) = (Q + С6х) cosh(X„s3x) |
|
|
+ (С7 + С8дс) sinh(XnJ3x) |
|
(3.47) |
где корни s3 = ± \ / D 3/Dl . |
|
|
Для случая (£>2/ £ > ,) 1/2 > {D3/Dl) : |
|
|
Фп„(х ) = (Q cos \ ns5x + С,0 sin \ nssx) |
cosh(Xnj 43c) |
|
+ (Cu cos \„s5x + Cu sin \„s5x) sinh(X„j4jc) |
(3.48) |
|
где корни s4 = V [(D2/Dt ) 1/2 + D3/Dt ]/2, s5 =y/[(D3/Di) 1/2 - D3/D?].