Поведение конструкций из композитных материалов

5.4. Для цилиндрической оболочки из задачи 5.3 со свойствами материала, данны­ ми в задаче 5.1, принять, что волокна имеют осевое расположение. Края оболочки

где Dx = Dxx, DQ =D22. Какова длина зоны краевого эффекта для этой оболочки? 5.6. Рассмотреть оболочку, образованную квазиизотропным композитным мате­ риалом, со свойствами Ех = EQ =126 ГПа и v = 0,3, радиус оболочки 254 мм, а общая толщина стенки 7,62 мм. Длина оболочки 1,02 м. Определить: а) длину зоны крае­ вого эффекта; б) мембранные напряжения оболочки ах, если она нагружена осе­

вым растягивающим усилием, равным 45,3 КН?

Глава 6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

6.1. ВВЕДЕНИЕ

При анализе композитных конструкций приходится учитывать не только их анизотропию, слоистую структуру и поперечную деформацию сдвига, но и гидротер­ мические воздействия, которые могут быть очень существенными. Для предвари­ тельных проектировочных расчетов можно использовать упрощенные методы анали­ за, которые были изложены выше, однако при окончательном расчете необходимо учитывать как поперечную деформацию сдвига, так и гидротермические воздейст­ вия. При этом задача настолько усложняется, что может оказаться более удобным использовать вместо непосредственного решения уравнений, обсуждавшихся в предыдущих главах, энергетические методы решения, основанные на вариационных принципах.

В механике конструкций используются три энергетических принципа. Это теорема минимума потенциальной энергии, теорема минимума дополнительной энергии

ивариационный принцип Рейснера. Последний широко использовался в работе

[1].Теорема минимума дополнительной энергии используется сравнительно редко. В данной главе будет описана и эффективно использоваться теорема минимума потенциальной энергии, поскольку она позволяет решать все задачи, связанные с расчетом конструкций из композитных материалов.

Как было отмечено выше, альтернативой постановки задачи основанной на диф­ ференциальных уравнениях для упругого тела, такого как балка, пластина или обо­

лочка, и решении ее при заданных граничных условиях является энергетическая постановка, основанная на выражениях для энергии деформации и работы сил, действующих на конструкцию. Далее будет приведена теорема минимума потен­ циальной энергии, которая позволяет получить решение основных задач, рассматри­ ваемых в следующих разделах.

6.2. ТЕОРЕМА МИНИМУМА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Потенциальная энергия любого упругого тела в общем виде может быть записана уравнением

(6.1)

Отметим также, что для выполнения равенства (6.12) необходимо, чтобы и первые два члена были равны нулю. Отсюда при х = 0 и х = L, т.е. на каждом конце балки, или EI(d2w/dx2) = - Мх = 0, или производ­ ная dw/dx должна быть заданной, т.е. ее вариация равна нулю. Кроме того, или EI(d3w/dx3) = - Vx =0, или должен быть задан прогиб w.

Таким образом, все классические граничные условия для шарнирно опертых, защемленных и свободных концов содержатся в приведенных выше ’’естественных граничных условиях” , которые являются следствием использования вариационного метода вывода основных уравнений для любой упругой конструкции.

6.4. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА НАХОДЯЩАЯСЯ В УСЛОВИЯХ ПОПЕРЕЧНОГО НАГРУЖЕНИЯ

И ГИДРОТЕРМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Формулировка теоремы о потенциальной энергии

В работе [3] детально показано, как осуществляется анализ ком­ позитных панелей с учетом анизотропии, поперечной деформации сдвига, термических и гидротермических воздействий. Уравнения связи между напряжениями и деформациями были записаны в форме (236) , а входя­ щие в них величины определены ранее. Геометрические соотношения записываются в форме (2.41), а из них следуют равенства (2.42). Если пренебречь е2 и о2 , то определяющие уравнения для слоистой пластины упрощаются и записываются в форме (2.62). В работе [3] показано, что

идля рассматриваемой задачи этими величинами можно пренебречь. Используя теорему минимума потенциальной энергии, уравнение,

аналогичное (6.1), для рассматриваемой пластины можно получить в результате суммирования энергии деформации N слоев, образующих пластину, т.е.

+ ау [ ( у - ауЬ Т - 0 УАт] + ахг[2ех :]

+ V- [2«>•-•] +'а*у [2е*>- «яу& Т - &,Am] }dzdA

(6.14)

Здесь А представляет собой площадь пластины, размеры ^которой: 0< х< а, 0 < у < 6 и - h/2<z < й /2.

Теперь, подставив определяющие уравнения (2.62) и соотношения между деформациями и перемещениями (2.40) в (6.14), получим

Очевидно, что если в композитной конструкции матрица металличес­ кая или керамическая, то гидротемпературными членами можно пре­ небречь, они имеют отношение только к композитам с полимерной мат­ рицей.

Граничные условия

Найдены решения для трех видов граничных условий: все края шарнир­ но опертые, все края защемленные и два противоположных —шарнирно опертые, а два других - защемленные. Если необходимо учитывать несимметрию укладки слоев, то вследствие появления смешанных эффек­ тов эти граничные условия необходимо уточнить. Следуя работе [5], можно записать по два варианта граничных условий для шарнирно опер­ тых и защемленных краев:

Здесь w - поперечный прогиб; u0 - перемещение срединной плос­ кости; М - момент; N - усилие; а - угол поворота; п - направление нормали к контуру; t —направление касательной к контуру.

Представление решения

В этом примере использован метод Рэлея-Ритца, основанный на пред­ ставительном задании формы перемещения. В этом случае уравнения Эйлера—Лагранжа являются алгебраическими, и если правильно аппрок­ симированы перемещения, то удается получить достаточно точные реше­ ния.

Задаваемые перемещения должны быть возможными, т.е. по крайней мере удовлетворять всем геометрическим граничным условиям, ограни­ чивающим линейные и угловые перемещения. Еще лучше, если задавае­ мые функции удовлетворяют части или всем статическим граничным условиям, т.е. по усилиям и моментам.

В работах [6—8] рассмотрена задача изгиба пластины с учетом попереч­ ной деформации сдвига, при этом углы поворота а и 0 задавались как функции поперечного прогиба на основе анализа соответствующего реше­ ния для балки. Однако здесь будет использована форма представления перемещений и углов поворота, приведенная в работе [5].

Для граничных условий S 1:

w «>

Для граничных Условий 52 первые три разложения сохраняются, а два последние момента имеют вид

Для защемленных краев граничные условия С1 используются балоч­ ные функции, представленные в работе [9] и усовершенствованные в [5,10, 11]. Они имеют следующий вид: