Численные методы Часть 2
..pdfОчевидно, что все введенные коэффициенты зависят от величины Ах и могут быть определены через коэффициент а, который в этом случае играет роль параметра
Р = , - “ » Т " .
Окончательно схема Рунге-Купы принимает вид
Ук+| - Ук + ЬJ(1 - а ^ х ^ .у ,)+ a f(x k + ^ ,У Ь + ^ Г(хь*Уь))] (2 11)
Та же схема в форме разностного аналога уравнения (2.1):
y w ,~ y> = 0 - а М хк.Ук) +'о • ■<(хк + £ ,У к + ^ f ( xk.yb))
При а = 0 получаем как частный случай уже известную схему Эйлера
У к ..= У к + М х к,Ук)
При а = 1 выражение (2.11) записывается в форме
Ук.1 = Ук + h • f(xk + |.Ук + 1 • f(xk.yk)) •
В этом случае проведение расчетов на очередном шаге интегрирования можно рассматривать как последовательность операций (рис. 2.4):
1. Вычисляется выражение
Ук.и=У к+!*(хк.У к).
представляющее собой полушаг интегрирования по схеме Эйлера, то есть
определяется приближенное значение искомой функции в точке хк + —.
2. Для той же промежуточной точки находится приближенное значение производной
Уk*l/2 = |
+ ^*Ук-И/2^ • |
3. Определяется уточненное значение функции в конечной точке всего шага, причем по схеме Эйлера с вычисленным на предыдущем шаге значением производной
Ук*1в Ук+Ь-у£*у,.
Геометрические построения показывают, что получаемое в такой
последовательности решение лежит “ближе” к истинному, чем вычисляемое по схеме Эйлера, то есть следует ожидать более высокой точности решения, получаемого методом Рунге-Купы.
Рис.2.4. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Купы с параметром а = 1
Теперь рассмотрим схему1, получающуюся из выражения (2.11) при а = -
(геометрическая интерпретация результата приведена на рис. 2.5):
Ук*| =Ук + ! [ % .У к ) + ф к +h.yk +hf(xk,yk))j.
1.Выполняется полный шаг метода Эйлера с целью определения приближенного значения искомой функции на конце отрезка интегрирования:
?w = y k + h f(x k .y k )
2.Для этой же точки вычисляется приближенное значение производной
y'ki= f(xk+ M k +.)-
3. Находится среднее значение двух производных, определенных на концах отрезка:
y U w = |[y i+ y U i]-
4. Вычисляется значение искомой функции в конечной точке всего шага по схеме Эйлера с усредненным значением производной:
У к ^ У к + Ь - у ^ ,.
1Иногда получающееся выражение называют схемой (методом) Эйлера - Коши.
Геометрически понятно, что получаемый указанным способом результат также должен быть “ближе” к истинному решению, чем получаемый по схеме Эйлера.
Рис.2.5. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты с параметром а = 0,5
Пример 2.4. Решим уравнение ^ = -у, у(0) = 1 методом Рунге-Кутты. ах
Поскольку правая часть дифференциального уравнения имеет вид f(x.y) = -Y , схема метода (2.11) при а = ^ представляется следующим образом:
yt=f(xk,yk) = - y k;
Ум = У к - Ь у к = Ук (1-Ь);
У ы = f (*k + М ы ) = - У к - 0 - ь ) ;
Ук*. = У к+ Ь У к^1= У к -У к7(2 -Ь ) = ук^ |
+ 1 . |
|
2 ' |
7 " |
2 |
Построим последовательность значений искомой функции
у .= у(о)= 1,
(ь-р’ -л (ь-р’ л
Ji ~Уо |
2 |
~~ |
2 |
* |
Уа =У. |
( ь - О 1 *) |
|
2 |
||
|
||
Уз = уа |
( ь - Q ’ +i |
|
2 |
||
|
||
|
( ь - О ’ -л |
Как и ранее, результаты Получаемого численного решения для значения аргумента х=10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 2.2. Три верные значащие цифры получены теперь для шага h = 0,01.
Таблица 2.2
Результаты численного решения уп методом Рунге-Кутгы второго порядка дифференциального уравнения у' = -у с начальным условием у(0) = 1
Величинашагаh |
0,5 |
0,25 |
0.1 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
Число шагов n |
20 |
40 |
100 |
1000 |
10000 |
100000 |
Уп-Ю4 |
0,827181 |
0,514756 |
0,462229 |
0,454076 |
0,454000 |
0,453999 |
Оценим погрешность аппроксимации уравнения (2.1) разностной схемой метода Рунге-Кутгы. Как и ранее, подставляем точное решение в разностный аналог исходного дифференциального уравнения и вычисляем невязку:
VK = y( * ^ h y(*k) - (1 - a )f(xk»y(xk)) - a • f(x k + ^ .У ( хк) + ^ f(xk-y(xk))) • Подставим разложения функций
у(х м ) = y(xk)+ y'(x k)- h + y'(xk)- Y +• ••.
{? k + ^ .y ( xk) + ^ f(xk.y(xk))) =
= f(xk, y(xk) |
) |
- |
- ^ ^ ^ f ( xk.y(xk))] -- - |
в полученное выражение |
|
уОч ) + У'’(хк ) • h + у"(хк) \ |
+ К -у(хк) |
4V |
~ 0 —a)f(xk ,у(хк ))• |
|
- у'(хь) + у"(хк) |
- f(xt,y(xk)) + a •f(xk,y(xl )) - |
|||
- a |
f(xk.y(xk) ) - r |
^ ( ч .уОО) . 5f(xk.y(xk))rf |
j ч\ |
||
а Г |
+ |
ay— if (xk*nxk)) ° И = |
|||
= y’(xk)~ f(xk.y(xk))+ |[y"(*k) - £(xk. y M |
- f;(xk,y(xk))f(xkly(xk))]+ o(h2). |
||||
Учитывая уравнение (2.1), а также выражение для производной
У"(хк) = (у'(хк))' = (f(xk.y(xk)))' = f.'(xk.y(xk)) + f;(xk.y(xk))f(xk.y(xk)),
окончательно получаем, что \|/k = o (h 2), то есть метод Рунге-Кутты,
независимо от значения параметра а, имеет второй порядок аппроксимации.
М етоды Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков
Рассмотрим две различные схемы Рунге-Кутты, предназначенные для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и имеющие третий порядок аппроксимации [5]:
к. = f(xk.yk).
ка - * ( xk+ ! . y k+ ! * , ) .
К3 = f(x k + h,yk -hK , +2hKj),
Уы = Ук + 7 (К ,+ 4 К , + К,); o
K| = f(xk.yk). |
|
||
|
= f^Xk + j , y k + yK., j, |
||
„ |
/ |
2h |
2 h v Л |
Kj = f[ xk + y . y k + y K2j.
Ук+1= У к + £ ( К , + З К 3 )
и две схемы Рунге-Кутты, имеющие четвертый порядок аппроксимации:
К| - |
*(*к.Ук). |
К, ■ f(xk,yk), |
K i-* ( * k + |.y t + “ K l).- |
K, = f(x k + J . y k + J K ,) , |
|
к, - f ( x k+ | , y k+ | K J) , |
K , - f (x k+ | , y k+ j K 1). |
|
К4 * f(xk + Ь.Ук + hKj), |
К4 = f(xk + h,yk + hK, - 2hKj + 2hK,), |
|
у ^ 'У к + ^ к . + г ^ + г К з + к ,); |
Ук+. = У к + | ( К , + 4 К 5 + К 4) |
|
Пример 2.5. Решим методом Рунге-Куггы четвертого порядка уравнение |
||
£ = |
»(о)-1 |
|
В соответствии с приведенными выше соотношениями определяем |
||
коэффициенты |
|
|
|
К, = - у к; |
|
|
К , . - ( „ . i K |
, |
К, . -(», ♦ ЫС,). - y .jl - hj^l - ! ( | - | j j | ■
12h2 -24h
У.., = У. * | ( К , + Ж ,♦ 2К, * К . ) . уJ I *
24
Построим последовательность значений искомой функции у .= у(о)= 1 .
Г, |
h4 - 4 h 3 +12h*-24h"| |
Г, |
h 4 - 4 h J +1212h2 -24h |
||
У , - У . [ и |
----------- - 5 |
------------ j - [ i y |
---------- Й |
||
y2 = y.M + |
h4 - 4 h J + 12h’ -2 4 h ~| |
Г ^ h<- 4 h ) + 12hI -24h |
|||
24 |
J |
[ + |
24 |
||
|
|||||
Г. |
h4- 4h* + 12h * -24h1 Г- |
4 h - 4 h * +12h * -24h T |
|||
Уэ '4'* |
-----»- - |
- - - - - - Г- |
Г |
--------24— |
J - |
|
Г. |
h * -4 h , + 12h, -2 4 h T |
|
||
|
У’ Т |
------------ |
* ------------ |
J |
|
Результаты получаемого численного решения для значения аргумента х*10 |
|||||
при различных шагах интегрирования |
приведены в табл. 2.3. Три верные |
||||
значащие цифры получены для шага h = 0,25.
Таблица 2.3
Результаты численного решения ув методом Рунге-Кутты четвертого порядка дифференциального уравнения у' = -у с начальным условием у(0) = 1
ВеличинашагаИ |
0.5 |
0,25 |
0.1 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
Число шагов п |
20 |
40 |
100 |
1000 |
10000 |
100000 |
У„ю4 |
0,457608 |
0,454181 |
0,454003 |
0,453999 |
0,453999 |
0,453999 |
Сравнение таблиц 2.1 - 2.3 с решениями одной и той же задачи позволяет сделать вывод, что более высокая степень аппроксимации дифференциального уравнения разностным аналогом позволяет получать более точное решение при более крупном шаге и, следовательно, меньшем числе шагов, то есть приводит к снижению требуемых ресурсов ЭВМ.
Метод Адамса1
Пусть при решении задачи (2.1) для четырех последовательных точек
хк-э> хк-з» xk-i> |
хк известны приближенные значения искомой функции |
|
Ук-з* Уь-2> Ун» |
Ук> а значит, можно подсчитать соответствующие значения |
|
правой части дифференциального уравнения |
||
|
^(Хк-з)= ^(Хк-3»Ук-з)» |
^(Хк-2 ) = ^*(Хк-2»Ук-2 )» |
|
F(xk-I) = f (хк-| .Ук-IX |
F (x J= f(x k>yk). |
1 Адамс Джон Кауч [5.6.1819 - 21.1.1892] - английский астроном и математик, член Лондонского королевского общества. С 1861 года стал директором Кембриджской астрономической обсерватории. В 1864 году был избран иностранным членомкорреспондентом Петербургской академии наук.
Воспользуемся |
для |
аппроксимации |
функции f(x,y(x)) |
на отрезке |
||
[х„.„хк] полиномом Ньютона |
|
|
|
|
||
f(x.y(x))*> F(x)- F(xw )+ F(xk.„ x M Xx - xk_,)+ |
|
|||||
+ F(xk.J,xk.„ x k.lXx - xk_,Xx - xk_,)+ |
(2.12) |
|||||
+F(xk.3,xk.2,xk_,,xkXx - xk.j Xx - xk.j Xx - xk_,), |
|
|||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
Р К . , Л И ) - % = Ь 1 Ы . |
|
||||
|
|
|
x k-3 |
Xk-J |
|
|
rfor |
v |
v ^ |
F(xk-J. X k- I ) - |
F(xk. j ,xk_,) |
|
|
^VXk-3 > Xk-2 »Xk-l) “ -------------- 3 -----------3 |
|
|||||
|
|
|
x k-3 “ |
Xk_, |
|
|
F/v Y |
_ |
_ \ |
F(xk-„xk.a,xk.,) - F(x„_„xk.„xk) |
|
||
r V 4 - 3 > Xk-2»Xk-l*Xk / ~ |
|
|
_ v |
|
||
|
|
|
|
Xk-3 |
Xk |
|
разделенные |
разности, |
являющиеся |
разностными |
аналогами |
||
соответствующих производных функции F(x). |
|
|
|
|||
Разделяем переменные в уравнении (2.1) и интегрируем его на отрезке [xk.x k+1]:
xk*l y(xk+i)=y(xk)+ Jf(t,y(t))dt.
ч
Используя аппроксимацию (2.12), построим схему численного интегрирования дифференциального уравнения на отрезке [хк .х к.,]:
хк*1 хк*1
Ук+1 = Ук + J К Хк-3^ + J ^*(Хк-3»Хк-2 “ Хк-3^ +
*к *к
хк*|
+J F(xk.„ x k.j,xk.,Xt - xk.,Xt - xk.2)dt + xk
xyi
+J ^(Хк-Э»Хк-2>Хк-1»ХкХ*” Хк-эХ*” Хк-гХ* ~~ Xk-l)dt * xk
Полагая шаг интегрирования h постоянным для всей сеточной области Qn,
предыдущее выражение можно преобразовать к виду
(2.13)
Погрешность аппроксимации уравнения (2.1) схемой (2.13) имеет
четвертый порядок.
Метод Адамса не является самостартующим, поскольку для начала вычислений, кроме начального условия у(о)=у0, необходимо дополнительно знать значения у,, у2, у3 искомой функции. Обычно недостающие значения определяются методами Эйлера, Рунге-Кутты или другими способами. Кроме того, при интегрировании с переменным шагом h выражение (2.13) становится достаточно громоздким.
Вместе с тем метод Адамса имеет преимущества, например, перед методом Рунге-Кутты. Действительно, для определения очередного значения искомой функции вычислять правую часть дифференциального уравнения приходится лишь один раз, тогда как в методе Рунге-Кутты четвертого порядка такие вычисления приходится выполнять четырежды. Очевидно, что при достаточно сложном выражении, стоящем в правой части дифференциального уравнения,
выигрыш во времени проведения расчетов будет значительным. |
|
В качестве дополнения ниже приводятся схемы Адамса |
Башфорта |
второго |
|
и третьего |
|
Ук+1=Ук + ^(2 3 f(x k ,ук) —16f(xk_, ,ук_,) + 5f(xk_j,yk_j)) |
|
порядков аппроксимации, рассмотренные в монографии [27], посвященной методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Неявные схемы интегрирования
Рассмотренные выше методы решения задачи Коши относятся к явным схемам интегрирования, поскольку приводят к решению одного линейного уравнения относительно очередного искомого значения функции. Примером неявных схем являются разностные аналоги Адамса-Моултона дифференциального уравнения (2.1) второго
