Численные методы Часть 2
..pdfУравнения:
Для двумерного уравнения Пуассона1
0 + 0 + f(x.y)“ O, х.У«С |
(5.45) |
рассмотрим задачу: найти функцию и(х,у), непрерывную вместе со своими производными второго порядка, удовлетворяющую уравнению (5.45) в области G и граничным условиям первого рода
|
u(x,y)=u(x,y)t |
x.yeSG ,; |
|
(5.46) |
||
второго рода |
|
|
|
|
|
|
|
ап |
|
х .у « а о ,. |
|
(5.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
третьего рода |
|
|
|
|
|
|
^ ^ |
= -a[u(x,y)-U (x,y)l |
x,ye3G e. |
(5.48) |
|||
on |
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение можно представить как смешанное граничное |
||||||
условие, включающее комбинацию условий первого н второго родов: |
|
|||||
^% ^+ au (x ,y )= aU (x .y X |
x ,y 6 0Ge . |
|
||||
да |
|
|
|
|
|
|
С помощью пятиточечного шаблона “крест”, изображенного на рис. 5.10, |
||||||
для всех внутренних точек сеточной области |
|
|
|
|||
п = Кху*Ук) xj = j |
h , J = iVn;yk =lc |
hy,k = 6^} |
h„ = L /n.h, = H/s |
|||
построим разностный аналог уравнения (5.45) |
|
|
|
|||
uHk - 2Ujk + и„ к |
и^_, - 2Ujk + Ujk+I |
|
(5.49) |
|||
|
h! |
+ |
h! |
|
+<* _ 0 - |
|
|
|
|
||||
Оценим погрешность аппроксимации уравнения (5.45) разностным аналогом (5.49) с помощью разложения точного решения в ряды Тейлора:
u(xj+i.yt )=u(xi.yk)+u;(xi.yt )hx + u;(xj.yk) ^ + uX(xi>yk)^bL + u"(xj.yk)|^
1 Пуассон Симеон Дени [21.6.1781 25.4.1840] - французкий механик, физик. Математик. Закончил Политехническую школу в Париже в 1800 году, с 1806 года начал Преподавать в этой школе. В 1809 году становится профессором Парижского университета. В 1812 году стал членом Парижской академии наук. В 1826 году был избран иностранным Почетным членом Петербургской академии наук.
Решение системы алгебраических уравнений (5.49) совместно с граничными условиями (5.46) (либо разностными аналогами (5.50), (5 51) граничных условий второго и третьего родов) требует значительных ресурсов ЭВМ. Это приводит к необходимости использования итерационных методов для повышения точности численного решения.
|
Граница дО |
|
v |
|
0 n- нормаль |
Рис. 5.11. Аппроксимация граничных |
|
,\\ |
условий второго и третьего родов |
|
|
|
|
L |
j-1 |
j |
х |
В качестве альтернативы решение исходной задачи может быть найдено как стационарное решение некоторой эволюционной задачи. Например, вместо задачи (5.45) - (5.48) может рассматриваться нестационарное параболическое уравнение
Эи |
|
+ |
x.yeG |
|
(5.52) |
|
at |
дх2 |
|
||||
ду2 |
|
|
|
|
||
с произвольным начальным условием |
|
|
|
|
||
u(0,x,y)=U(x,y), |
x.yeG |
|
(5.53) |
|||
и стационарными граничными условиями |
|
|
|
|
||
u(t,x,y)=U(x,y), |
x.yeaG u, |
|
|
|||
- ^ |
’ - |
= - q(x.y). |
х,у e5Gq, |
|
(5 54) |
|
^ t,X,y^+ au(t, x, у) = aU(x, у)L |
X , у e dGa |
|
||||
an |
|
|
|
|
|
|
Для поиска стационарного решения задачи (5.52) |
(5.54) |
могут быть |
||||
использованы неявная схема |
|
|
|
|
|
|
flj-lk- 2 0 ik + 0 )‘lb . °jk-l |
2fl)t |
. 7 |
(5 55 |
|||
|
|
h! |
|
hi |
il’ |
|
|
|
hj |
|
|
|
|
t j
схема переменных направлений
/ j k |
- “ jk |
о Н к - 2о* + “ ик T. “ jk-. - |
2и * + и * ., |
+ fJk |
|
||
|
T |
h2« |
|
hi |
|
(5.56) |
|
/ j k |
—®jk |
° H k - 20jk |
/ * - • - |
2Qjk + 0jk+1 |
|||
|
|||||||
|
T |
hi |
|
hi |
+ f,k |
|
|
|
|
|
|
||||
явная схема |
|
|
|
|
|
|
|
- |
“ jk |
_ uHk - 2ujk + uHk |
. “jk-. - |
■2“ ik + “ jM |
, , |
,, , , |
|
— |
|
j^F |
+ |
Щ ~ |
+ f,k |
(5.57) |
|
Рассмотрим последнюю схему более подробно. Полагая для упрощения hx = hy = h, из выражения (5.57) определим узловое значение
°jk = “jk + p -(“i-'k + “i*ik + “ jk-i + “jk.i ~ 4“ jL + h2fj J |
(5.58) |
Полученная схема условно устойчива при выполнении условия |
x < h 2 4 |
Для быстрейшего достижения стационарного решения следует выбрать mai интегрирования т по фиктивному времени наибольшим, то есть т = h2/4
В этом случае выражение (5.58) после приведения подобных слагаемых принимает форму метода Ричардсона
й)к = j ( “ j-ik + “j.ik + “ jk-. + UjM + hJfjk).
В частном случае fjk =0 (уравнение Пуассона) каждая определяемая величина 0jk оказывается равной среднему значению четырех соседних узловых значений:
й = ^ (“j-.k+ иj+ik + ujk_,+u jk+1 / -
Ту же самую расчетную формулу метода Ричардсона можно получить из разностной аппроксимации (5.49) исходного уравнения, строя на ее основе итерационную вычислительную процедуру
Uj-lk ZUjk + Uj+lk Ujk-I |
^Ujk |
+ Ujk+1 |
|
|
|
|
+ fjk = 0 , |
(n+l) = I(u (o) |
+ u(n ) |
>> |
An) |
и vuj-lt |
j+lk ■ Jjk-I |
Jjk+I ■Ь% ) |
|
Итерационный процесс по полученным формулам ведут до тех пор, пока для двух “соседних” итераций (п) и (n+1) выполняется условие iii(n+,) - u(n) > е ,
где с > 0 - малое число, а в качестве меры близости двух решений может быть взята, например, чебышевская норма М = тах|\р^|.
Процедура метода Ричардсона предполагает размещение в оперативной
памяти компьютера одновременно двух массивов для хранения значений |
и |
|
u-|J+,) |
Для экономии вычислительных ресурсов предпочтительнее |
|
использование итерационной схемы Либмана, получаемой на той же разностной схеме (5.49):
> ♦ 0 •2u(r°+uY(•) |
, ujk-i |
^ujk + ujk+i. f |
|
|
>»k |
=0 . |
|||
|
|
. 1 |
' I ilr |
|
u 'r 0 = ^ |
+ “f t |
+ “f t ’ + “f t |
+ hJfik). |
(5.59) |
Расчеты в этом случае выполшпдга^следующим образом (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Реализация итерационной процедуры Либмана
Пусть величины |
ujjJ+,) и |
ujj4,) известны из граничных условий (5.46), а |
|
значения |
и |
определены на предыдущей итерации. Тогда согласно |
|
выражению (5.59) можно определить величину |
|||
|
u 'r° = |
+ u';*1’+ u<“2>+hJfM). |
|
Затем можно вычислить |
|
||
u(2r° = 7(“f t 1+uSs’ +u*r° +u f +hJf21),
4
«Й*1*- i(»Sr,>+ «Й*+ «Sr11+ ufe)+ha«‘«)
4
и так далее, производя вычисления всех искомых величин вдоль оси Ох при к=1. Аналогично определяются все u^+l\ j = 0,n второго, третьего и последующих слоев, пока не будут определены все искомые узловые величины
6. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Аккумуляция загрязняющих веществ лесным массивом и их вторичный вынос
Данные аналитических исследований состояния воздушной среды городов с высокой экологической нагрузкой при наличии больших лесных массивов свидетельствуют о сложных процессах накопления и трансформации загрязняющих веществ в приземном слое атмосферы этих агломераций. В результате проведения натурных замеров загрязнения воздушной среды одного из районов города Перми на территории, прилегающей к лесопарковому комплексу, а также непосредственно в самом лесном массиве выявлена определенная аккумулирующая способность этих массивов.
Накопление загрязняющих веществ наблюдается в случае повышенной концентрации примесей в атмосферном воздухе при направлении ветра от источника загрязнения. При смене ветра или его прекращении происходит постепенное вымывание загрязняющих веществ, в ряде случаев - по направлению ветра к источнику загрязнения. При некоторых условиях отмечается аномальное повышение концентрации веществ в воздушной среде и при временно неработающем источнике загрязнения.
Физическое объяснение ситуации может выглядеть следующим образом. Основная масса воздушного потока обтекает препятствие в виде лесного массива, при этом внутрь леса попадает незначительная часть этого потока, чем, в свою очередь, обусловлено снижение скорости здесь в 10 раз и более [15]. Это означает, что частицы примеси, заносимые ветром в глубь леса, начинают дрейфовать со значительно меньшей скоростью, нежели в основном потоке. В результате этого лес начинает играть роль накопителя загрязняющей Примеси, сохраняющего ее даже в том случае, когда первичный источник прекращает действовать и внешний «чистый» поток воздуха уносит все Загрязнение из окружающей области. Очевидно, что смена направления ветра Приводит к выносу ранее накопленных частиц примеси из леса, играющего Теперь роль вторичного источника загрязнения. Понятно, что в рамках этой Модели основной причиной накопления и вторичного выброса загрязняющих Веществ является резкое замедление скорости воздушного потока внутри Лесного массива
Необходимо отметить, что предполагаемый механизм может быть не Единственным и зависеть, например, от степени поглощения и последующего Выделения растительностью рассеянных в воздушном потоке веществ. В рамках *акой частной "механистической" постановки нет возможности учесть влияние Осадков (дождя и снега), влажности воздуха, температурной неравномерности,
На выходной границе дЦ удаленной от возмущающего поток препятствия,
можно считать поток примесей установившимся,то есть — =0. ftc,
Рассмотрим ряд неявных разностных схем:
+ |
Ц . ^ _ 2ф) + ф. )( |
(6.4) |
|
|
|
т |
|
(6.5) |
|
|
|
1* у, ф' ; Ф н - ; . ( ф^ - 2ф, * фн ) |
(6.6) |
|
для приближения уравнения (6.1), различающихся способом аппроксимации частной производной по координате. Нетрудно убедиться, что погрешность аппроксимации исходного уравнения (6.1) каждой из приведенных схем имеет первый порядок относительно т. Схема (6.4) имеет второй порядок, а схемы (6.5) и (6.6) первый порядок аппроксимации относительно шага интегрирования h.
Разностная |
схема (6.4) устойчива при |
выполнении |
условия |
h£2p/V , V *0 |
независимо от величины шага т. |
При V = 0 |
получаем |
неявную безусловно устойчивую разностную схему |
(4.18) При |
V > 0 |
|
разностная схема (6.5) устойчива при выполнении условия |
|
||
|
|
|
( 67) |
Разностная схема (6.6) безусловно устойчива при V > 0 При смене направления движения, то есть V < 0, безусловно устойчивой становится схема (6.5), а схема (6.6) устойчива при выполнении условия (6.7). Поскольку в поставленной задаче речь идет о смене направления воздушного потока в течение времени наблюдения, целесообразно воспользоваться разностной схемой (6.4), свойства устойчивости которой не зависят от направления ветра.
Использование этой разностной схемы для всех внутренних узлов приводит
ксистеме алгебраических уравнений вида
i(V„h - 2ц, ]фл„ + 2(h2 + 2ц.т)ф. - i(V,h + 2ц„)ф„_, = 2hJ<p„. п = 2. N - i, (6.8)
где N - число узлов по длине участка L.
Для замыкания этой системы алгебраических уравнений используются граничные условия (6.3);
<Р| =фО 0) =<Рй.О).
Фн-1 “ Фи - * * h + а»»„ ь 1 |
Фн ” |
ЭФн h I h' |
+ VHЙЬ. |
> |
||
дк |
Эх* 2 |
|
Эх |
2ц I, dt |
Эх |
|
Ь* Фм -фм 2ц т
С учетом граничного условия -^5. = о последнее алгебраическое уравнение ах|
принимает вид
(6.9)
Для начала расчетов поле концентраций предполагалось известным и равным q\ =<p(0,x i) = O L(xi)4 = 1,N .
Расчеты режимов проводились для следующей схемы. Длина всей области составляет L = 10000 метров; из них на лесной участок, расположенный посередине, отводится 3500 метров. Скорость ветра на открытом участке равна 10 м/с, внутри леса - не превышает 1 м/с. Рассматривается процесс переноса примесей, осуществляемый по следующему режиму:
0 1000 с - вдув в рассматриваемую область примеси с заданной концентрацией 1,2 мг/мз (рис 6.2,а);
1000 2000 с - снижение концентрации примесей на входе в область до нулевого значения, что соответствует прекращению работы источника примеси (рис. 6.2 ,6);
2000 ... 3000 с - отсутствие ветра, то есть период свободного растекания примесей за счет процессов рассеивания (рис. 6.3,а);
3000 с - вдув с противоположной стороны относительно «чистого» воздушного потока (рис. 6.3,6). Приведенные результаты расчетов позволяют детально проследить динамику изменения концентрации примесей в районе, граничащем с лесным массивом.
В начальный период времени (от 0 до 350 секунд) поток воздуха свободно вносит в рассматриваемую область примесные вещества и достигает лесного участка. За счет процессов рассеивания граница переносимого потоком примесного компонента несколько размыта. В течение последующего времени (вплоть до момента времени 1000 секунд) происходит интенсивное насыщение леса примесными компонентами.
После окончания работы источника выбросов (начиная с момента 1000 секунд) насыщение области примесными веществами прекращается и начинается перераспределение концентрации внутри рассматриваемой области. В этот период времени фактически происходят одновременно несколько процессов: перенос примесей с открытой площадки в глубь леса[, небольшое