Численные методы Часть 2

Уравнения параболического

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

с краевыми условиями

f u(0,x)- U(xX

(5.14)

lu(t.O)-U0(tX u (t,L ). U L(tX

описывающее процессы теплопроводности (17 играет роль коэффициента температуропроводности) в тонком однородном стержне либо диффузии (7 - коэффициент диффузии).

Схема с “шесами”

Ранее уже были рассмотрены явный (4.16) и неявный (4.18) разностные аналоги такого дифференциального уравнения и выявлены некоторые их свойства. Теперь рассмотрим еще один распространенный шаблон лля аппроксимации дифференциального уравнения (5.13), показанный на рис. 5.3,

Проверим порядок аппроксимации исходного уравнения (5.13) разностным аналогом (5.15).

Воспользуемся разложениями точного решения в ряды Тейлора1 возле точки (t^xj):

+ 2 [u(ti,x j)r, ± 3u'(ti>xj)t2h + 3u*(ti,xj)rh2 ±u"(ti,x j)i3]+

О

+ ^ [ u ( ti,x j)r4 t ^ t i . X j y h + eu^ti.X jyh* t ^ t j . X j J t h 3 + u” (ti,x j)i4]+...

В результате подстановки этих разложений в формулу (5.15) получаем оценку погрешности:

- х\а u#(tj.xj) + u'^.X jJt + u^tj.X jJy + uiv(ti>xj ) y J -

- n ( l - a ^ u '( ti>xj)+ uiv(ti>xj)^ - - f ^ . x J + f ^ . x J ^ + f ^ . x J j j + O ^’.h3).

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями шагов т ит|:

4'ij=[u(ti.xj)- n u '(ti,xj) - f ( ti,xj)]+^[u(tj,xj) - 2 nou'(ti,xj) - f ( ti.xj)]+

+ ^ [ 4‘4 i . xj ) - 12CTnu'(ti.xj)-3f(ti,xj) ] - ^ u i,(ti>xj)+0(T3.h3).

1Ряд Тейлора для функций нескольких переменных (кратный ряд):

f(x ,.....х .) = f(a,.....» J ^ t % ^ ( x i - « i) 4 t t ^ f e ^ l (xi - » lXxj - « iK ..

С учетом уравнения (5.13) это выражение дает оценку

то есть имеет место погрешность аппроксимации первого порядка по шагу т и второго порядка по шагу h.

Дополнительно продифференцируем по переменной t выражение (5.13):

аппроксимации можно понизить до второго порядка по обоим шагам интегрирования:

V s = ^ M t i.Xj) - 6n«*(‘i.xj)-3f(ti.xj)]-;!^ ui,(ti.xj)+0(T,.h3)=0(xJ>h2).

Полученная схема интегрирования дифференциального уравнения (5.13) с весовым коэффициентом с = ^ носит название схемы Крэнка - Николсона.

Для оценки устойчивости разностной схемы преобразуем выражение (5.15) к виду

Как и а предыдущем случае, метод Неймана приводит к — яр -«*п-у

уравнению

, 4TT)cos(kh) . 2ТЦ-Н1 л

кk Зтц+Ь1 2 Tn+hl

анализ корней которого следует выполнить самостоятельно.

Схема бегущего счета

Для четных слоев (рис. 5.5,а) разностная схема имеет вид

Для нечетных (рис. 5.5,6)

Значения функций в правой части разностных уравнений вычисляются в точках, указанных на рис. 5.5. Очевидным преимуществом этой схемы является то, что при формально неявном ее построении можно определить решение для следующего временного слоя без решения системы алгебраических уравнении, то есть явно. Для четных слоев расчеты выполняются с использованием схемы (5.180 слева направо:

+ S w 3 - + f jj« 1 .N - l -

п

х

а б Рис. 5.5. Четырехточечные шаблоны разностной схемы бегущего

счета: а - четные, б - нечетные слои

Поскольку значение UD известно из граничного условия, из полученного соотношения можно определить U|. Затем по найденному U| вычисляется U2 и так далее до конечного значения UN./.

Аналогично производится процедура с использованием соотношения (5.18:) для нечетных временных слоев, для чего расчеты выполняются справа налево. При известном граничном условии UN определяется значение UN.I, затем UN-2 и так далее:

Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (5.13) разностными аналогами (5.18) зависит от соотношений x/h, хЬ между шагами интегрирования. Благодаря взаимному сокращению погрешностей прямого и обратного ходов на последовательных слоях происходит частичная компенсация погрешностей. Поэтому общая погрешность аппроксимации для

х h. hv

Вспомним формулу Эйлера, приходим и выражению

P l + P ^ s i n ^ j - l - O .

Корни этого уравнения вещественные, различные:

Поскольку произведение корней

КрЛСрД М .

можно сделать вывод о том, что один из них превышает единицу. Но согласно формулировке теоремы 4.5 это означает неустойчивость разностной схемы (5.16).

t

Схема Дюфорта и Франкела

На том же шаблоне (рис. 5.4) построим другой разностный аналог уравнения (5.13):

Погрешность аппроксимации этой разностной схемы

зависит от соотношения шагов интегрирования т/h и мала лишь в случае

AKu* e r r ( uH j - 2“ « + uwj) пх

A»u* e r H MH " 2u« + uw )

для разностных операторов вторых производных по соответствующим направлениям. Запишем разностный аналог с ‘‘весами" (рис. 5.6) для дифференциального уравнения (5.19):

В развернутой форме каждое разностное уравнение (5.22)

содержит пять неизвестных величин. Это означает, что для определения искомых величин в узлах сеточной области Q при очередном шаге по времени необходимо решить систему (m + l)x(n + l) линейных алгебраически^ уравнений с соответствующими граничными условиями

Рис. 5.6. Шаблон для аппроксимации пространственного дифференциальног о уравнения параболического тина

Понятно, что в соответствии с принятой терминологией схема (5.22) при

а=0 является явной, при а=1 неявной. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (5.19) схемой (5.22) имеет порядок o(x,h;,lij)

при произвольном значении коэффициента о. В случае о ■ 1/2 (схема Крэнка - Николсона) порядок аппроксимации по шагу т повышается до о(т2,h2,h2).

Схема (5.22) устойчива при выполнении условия

h2h2

-о .

2T\x(h\ + h7y) * ]

Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема)

Рассмотрим ряд экономичных разностных схем, существенно понижающих необходимые ресурсы вычислительной техники для нахождения решений пространственных задач (рис. 5.7).

Первый полушаг:

Второй полушаг:

(5.23;)

Разностные операторы в этих уравнениях определяются формулой (5.21),

символ - (волна) относится к промежуточному временному слою tk + ^ .

Рис. 5.7. Шаблон для аппроксимации пространственного дифференциального уравнения параболического типа схемой переменных направлений

В полном виде разностная схема для первого полушага записывается следующим образом:

- u ij)= jjrfa -ij" 2fis + uMj)+ ^-(uH -:2u, + ии )+ f#.