Теплофизические явления в полимерных материалах при интенсивном и кр

ных концентраций от 0 до 100 % включений, причем вместо требования сферической или цилиндрической формы включений вводится гораздо более мягкое условие приблизительной изодиаметричности.

Формулы (1.6) и (1.7) предполагают приблизительную равномерность толщины пленки при больших концентрациях включений, чему не удовлетворяют случаи сферических и цилиндрических включений. В связи с этим следует заметить, что формулы Релея отнюдь не могут рассматриваться в качестве более точных по сравнению с (1.6) и (1.7), так как при малых концентрациях дополнительные члены исчезающе малы. А при больших концентрациях формулы Релея все равно непригодны (достаточно указать на предельный случай касания сверхпроводящих сфер, включенных в идеальный диэлектрик, для которого формула Релея дает сопротивление, близкое к сопротивлению диэлектрика, вместо σ = ∞, ρ = 0 ).

Эффективные характеристики композитов

Г.А. Шаталов [4] разработал теорию эффективных характеристик, применимую к модулям упругости. На примере двухфазного композита Шаталов рассматривает метод вычисления механических характеристик – эффективных модулей упругости. Им используется закон Гука для линейной упругой среды, который с использованием функции Грина и записи в операторном виде представляет собой уравнение типа Дайсона. Определение функции Грина, а следовательно, и вычисление значений эффективных характеристик производится путем суммирования некоторого класса диаграмм и в результате сводится к учету взаимодействия множества частиц включений, находящихся в среде. Таким образом, вся проблема определения эффективных характеристик композитной среды представляет собой типичную задачу взаимодействия многих тел. Автор работы [4] утверждает, что его результаты могут быть использованы для расчета характеристик различной природы, хотя и не доказывает это утверждение. Кро-

21

ме того, предложенный в работе [4] метод вычисления крайне сложен и громоздок и предназначен для пленочных материалов. Определение характеристик тонких смесевых пленок из двух компонентов описано также Калнинем [5].

Рассмотрим двухфазный композитный материал, представляющий собой матрицу m, в которой случайным образом распределены включения второй фазы (армирующий элемент) l, имеющие приблизительно равноосную форму. Пусть обе фазы изотропны, так что тензор модулей упругости имеет вид

сijlm(p) = λpδijδlm +µp (δil δjm + δimδjl ).

Здесь индексы p=1;2 характеризуют матрицу и включения соответственно; λp , µp – коэффициенты Ламе фазы р; δ– символы

Кронекера.

Считая композит линейно-упругой средой, запишем закон Гука:

Здесь V – объем среды, Vвкл – объем включений.

Идея определения эффективных модулей упругости заключается в следующем. Пусть удалось найти решение уравнения (1.9). Полученная ФГ будет описывать неоднородную среду. Если, однако, усреднить ее по всем равновероятным расположениям включений и выделить длинноволновую асимптотику, то получится ФГ Gls , описывающая статистически однородный ма-

териал. Эта ФГ будет выражаться через модули упругости фаз и их объемные доли. С другой стороны, для любой однородной среды, в частности той, которая описывается эффективными модулями упругости, ФГ известна заранее. Обозначают ее Gls* . Оче-

видно, что ФГ Gls и Gls* описывают один и тот же материал. То-

гда уравнение

Gls = Gls*

позволяет определить эффективные модули упругости.

После перехода в фурье-представление и преобразований уравнение (1.9) можно записать в операторном виде:

G (k, k ')= G0 (k )+ 1 ∑G0 (k )Wij (k,k ')G (k1, k '), (1.11)

V k1

23

По изложенной выше методике оно получается всегда, какой бы ни была физическая природа эффективной характеристики, подлежащей определению. При этом ФГ G0 описывает однородный материал со средними характеристиками, определяемыми по правилу смесей (1.10), а оператор W (k, k') можно назвать опера-

тором возмущения, поскольку он определяет форму и взаимное расположение неоднородностей. Таким образом, методы анализа уравнения (1.11) имеют весьма общее значение.

Для дальнейшего анализа вводится диаграммная техника. Изображается ФГ G0 отрезком прямой линии. Оператору W (k,k ') сопоставляется вершина.

Устанавливаются аналитические выражения, отвечающие диаграммам. При этом важнейшую роль играют одногрупповые диаграммы n-го порядка. При этих условиях можно получить систему уравнений:

24

Решая эту систему численно или графически, можно найти µ* и K* ( µ* и K* – эффективные модули упругости).

Подчеркивается, что учет многочастичных взаимодействий при расчете эффективных модулей упругости проводился и ранее. В частности, А.Г. Фокиным получено следующее:

где α, γ – параметры матрицы и включения; ∆µ и ∆K – отклонения от эффективных значений µ* и K *.

Из (1.15) в свою очередь можно получить результаты других работ. Результат (1.15) следует также из (1.14), если разложить в ряд радикалы по параметрам 4v(1−v) fα2 <<1 и 4v(1−v) fγ2 <<1

(fα и fγ – функции параметров матрицы и включения) и удержать первые два члена. Можно показать, что он идентичен одногрупповому приближению. Следовательно, формулы (1.15) являются только первым шагом при определении эффективных модулей идают хороший результат только при небольших ∆µ и ∆K. Применение их при произвольных∆µ и∆K можетпривестикошибкам.

Кинематические характеристики смесевых взрывчатых веществ

Е.И. Забабахин [6] дает способ расчета некоторых кинематических характеристик (волновой и массовой скоростей для детонационного процесса) смеси двух различных взрывчатых веществ. Он использует некоторые упрощающие предположения: 1) компоненты образуют механическую смесь; 2) химически не взаимодействуют; 3) не дают эффекта упаковки; 4) каждый подчиняется степенному уравнению состояния; 5) параметры нормальной детонационной волны и компонентов, и смеси в целом

25

определяются параметрами точки Жуге. Полученное для давления в детонационной волне в смеси уравнение разрешают методом подстановок и затем находят волновую и массовую скорости.

Расчет параметров детонационной волны смеси по полученным автором работы [6] выражениям представляет определенную сложность. Также невозможно выразить общий показатель для степенного уравнения смеси, поскольку последнее, найденное по этому методу, не является обычно степенным. В приближении М.Н. Нечаева полагаются одинаковыми показатели в уравнениях состояния компонентов и смеси. Однако это приближение не упрощает процедуру вычисления. Рассмотрим оба метода.

Расчет параметров детонации смесевых ВВ по методу За-

бабахина. В работе Е.И. Забабахина [6] описан способ расчета некоторых энергетических характеристик для смеси двух различных ВВ.

Рассмотрим детонацию смеси двух ВВ, каждое из которых подчиняется степенному уравнению состояния:

где Р1, Р2 – давление; ρ – плотность; V – удельный объем; А1, А2 – константы.

Составим уравнение продуктов взрыва смеси, считая, что компоненты ее образуют механическую смесь, т.е. не взаимодействуют химически и не дают эффекта упаковки, который проявляется, например, при смешивании спирта с водой (объем смеси меньше суммы объемов компонентов):

где β – массовая доля 1-го ВВ; V – удельный объем смеси; V1 – удельный объем компонента 1; V2 – удельный объем компонента 2.

26

Отсюда видно, что если n1 ≠ n2, то уравнение состояния смеси не является обычным степенным уравнением, т.е. не имеет ви-

Здесь Pж1, Pж2 , ρж1 – параметры в точке Жуге; ρ01, ρ02 – плотность в

начальном состоянии.

Для нормальной детонации смеси выполняется условие Жу-

27

ρж1 и ρж2 – плотности ВВ в точке Жуге (при нормальных условиях детонации); Р – давление во фронте детонационной волны смеси ВВ; Pж1 и Pж2 – давления во фронтах нормальных детона-

ционных волн ВВ первого и второго компонентов смеси.

В уравнении (1.17) одно неизвестное – Р. Решив его (методом подстановок), можно найти давление нормальной детонационной волны в смеси, после чего можно вычислить плотность

смеси за волной ρ = V1 по формуле (1.16) и далее определить ско-

рость детонации

Расчет параметров детонационной волны смеси ВВ по этим выражениям представляет определенную сложность ввиду невозможности привести выражение (1.17) к более простому виду.

Также невозможно выразить общий показатель n для степенного уравнения состояния смеси, поскольку уравнение состояния, найденное по этому методу, не является обычным степенным, его нахождение возможно только по приближенным формулам теории детонации. Другие параметры фронта детонационной волны также можно определить из общих выражений теории детонации. Выражение (1.17) справедливо только для двухкомпонентной смеси.

Расчет параметров детонации смесевых ВВ по методу Не-

чаева. Выше был рассмотрен метод расчета параметров детона-

28

В заключение краткого обзора отметим три важных обстоятельства.

Во-первых, во многих работах принято весьма существенное предположение о малости разницы характеристик образующих смесь фаз.

Во-вторых, многие работы представляют собой просто расчетные схемы, в которых нет места физической интерпретации результатов.

В-третьих, эффективные характеристики различной физической природы рассчитываются каждая по-своему, а между тем они могут быть рассмотрены в рамках единого формализма.

Рассмотренные в п. 1.2 работы не единственные и не изолированные. Каждая из них является наиболее ярким представителем своего направления, включающего множество оригинальных работ разных авторов.

1.3. Изменение характеристик твердых и жидких материалов в зависимости от времени воздействия

Экспериментальные и теоретические работы давали результаты, якобы говорящие о нивелировании различий между твердым и жидким состояниями вещества при некоторых условиях. Так, М. Корнфельд [7] и Я.И. Френкель [8] отметили, что жидкости обладают свойствами, присущими, казалось бы, только твердым телам. В частности, они обладают конечной прочностью на разрыв. Это было отмечено для статических и квазистатических условий, а также в динамике при ударно-волновом нагружении [9, 10]. Кроме того, отмечена температурная зависимость прочности на разрыв как в статике [11], так и в динамике [10]. В наибольшем объеме была информация о динамической вязкости [12].

Зависимость прочности на разрыв от скорости деформирования известна давно. Поэтому все статические испытания на разрыв материалов проводят при фиксированной скорости деформирования [13]: ε& =1,1 10−3 c−1.

30