Сборник задач по общей физике

или для двух состояний газа

p1V1 = p2V2;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const, m = const)

V = const,

T

или для двух состояний

V1 = V2 ;

T1 T2

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

p = const,

T

или для двух состояний

p1 = p2 ; T1 T 2

г) объединенный газовый закон (m = сonst)

где p1, V1, T1 – соответственно давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2, V2, T2 – те же величины в конечном состоянии.

3. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов

р= р1 + р2 +…+ рn,

где рi – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью при температуре смеси.

Молярная масса смеси газов

µ= m1 + m2 + ...mn ,

ν1 +ν 2 + ...ν n

51

где mi – масса i-го компонента смеси; νi – количество вещества i-го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

ωi = mi ,

m

где m – масса смеси.

4. Концентрация молекул

n = N = N Aρ, V µ

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плотность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

5. Основное уравнение кинетической теории газов

где <v> – средняя квадратичная скорость поступательного движения молекулы; m0 – масса молекулы.

6. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

где m0 – масса одной молекулы.

52

Примеры решения задач

№ 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 и массу т1 молекулы воды.

Р е ш е н и е.

Число N молекул, содержащихся в некоторой массе m, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества ν:

N = νNA.

Так как количество молей вещества

ν = m/µ,

где µ – молярная масса, то

N = mµ N A .

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

Подставим в формулу (1) следующие значения величин: ρ = = 103 кг/м3; V = 1 мм3 = 10–9 м3, µ = 18·10–3 кг/моль; NA = 6,02·1023 моль–1

и произведем вычисления:

Массу одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

53

№ 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р1 = 1 МПа, при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято т = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося

вбаллоне.

Ре ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.

где т2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; µ – молярная масса гелия; R – универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление p2:

Массу гелия т2 выразим через массу т1 и массу m гелия, взятого из баллона:

Массу гелия т1 найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

Подставляя в выражение (3) массу т1 из формулы (4), а затем полученное выражение т2 в формулу (2), найдем

или после преобразования и сокращения

54

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ

ипроизведем вычисления: р1 = 1 МПа = 106 Па; m = 10 г = 10–2 кг;

µ= 4 10–3 кг/моль; R = 8,31 Дж/моль К; Т1 = 300 К; T2 = 290 К; V = 10–2 м3.

№3. Баллон содержит m1 = 80 г кислорода и т2 = 320 г аргона. Давление смеси р = 1 МПа, температура T = 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е.

По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные давления кислорода р1 и аргона р2 выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: m1 = 0,08 кг, µ1 = 32 10–3 кг/моль, т2 = 0,32 кг,

µ2 = 40 10–3 кг/моль, р1 = 1 МПа = 106 Па, R = 8,31 Дж/моль К.

Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем вычисления:

№ 4. Найти среднюю кинетическую энергию < ε вращ> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Eк вращательного движения всех молекул кислорода массой т = 4 г.

55

Р е ш е н и е.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε1> = ½kТ, где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой

Подставиввформулу(1) значенияk = 1,38 10–23 Дж/КиТ= 350 К, получим:

<εвращ> = 1,38 10–23 ·350Дж = 4,83 10–21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

где NA – число Авогадро; µ – количество вещества.

Если учесть, что количество молей вещества ν = m/µ, где т – масса газа, µ – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

N = N A mµ .

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

NA= 6,02 1023 моль–1 , т = 4 г = 4 10–3 кг, µ = 32 10–3 кг/моль, <εвращ>= = 4,83 10–21 Дж. Подставив эти значения в формулу (4), найдем

56

2.3. ТЕПЛОТА И РАБОТА. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Любое тело (твердое, жидкое, газообразное), находящееся в состоянии теплового равновесия, которое характеризуется его макроскопическими параметрами р, V и Т, обладает определенным запасом внутренней энергии U. Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии движения молекул, кинетической энергии движения атомов внутри молекулы (если молекула не одноатомная), потенциальной энергии взаимодействия между атомами внутри молекулы и потенциальной энергии взаимодействия молекул между собой. В нее, однако, не входит кинетическая энергия движения тела как целого и потенциальная энергия внешних сил, действующих на тело.

Внутренняя энергия тела обладает тем замечательным свойством, что при переходе тела из какого-то первоначального состояния 1 (р1, V1, Т1) в конечное состояние 2 (р2, V2, Т2) изменение внутренней энергии ∆U не зависит от того, с помощью какого процесса произошел этот переход, и

∆U = U2 – U1,

где U1 – внутренняя энергия тела в начальном и U2 – в конечном состояниях. Если над телом совершается циклический процесс, то изменение внутренней энергии при этом ∆U = 0, так как U2 = U1 (в результате циклического процесса тело возвращается в исходное состояние). Поэтому говорят, что внутренняя энергия тела является

функцией состояния.

Изменение внутренней энергии и передача ее от одного тела к другому происходит в процессе взаимодействия тел. Есть два способа, две формы такого взаимодействия. При первом способе внутренняя энергия одного тела изменяется за счет изменения энергии упорядоченного (механического) движения частиц другого тела (механической работы, электризации, перемагничивания, облучения). Мерой изменения энергии упорядоченного движения частиц вещества в процессе макроскопического взаимодействия телслужитработаА.

Во втором случае изменение внутренней энергии происходит вследствие соударения хаотически движущихся молекул соприкасающихся тел.

57

Процесс изменения внутренней энергии тела, обусловленный передачей теплового движения молекул без совершения работы внешней средой, называют тепловым процессом или процессом теплопередачи.

Мерой взаимодействия тел, приводящего к изменению энергии хаотического движения и взаимодействия молекул (мерой энергии хаотического движения, переданной от одного тела к другому

впроцессе теплообмена), служит величина Q, называемая количеством теплоты.

При решении задач на определение количества тепла, полученного или отданного рабочим телом за цикл, работы за цикл или КПД цикла, удобно придерживаться следующей последовательности:

1.Внимательно рассмотрев циклический процесс, ясно представить, в каких процессах участвует рабочее тело. Часто удобно изобразить цикл графически на диаграмме р–V; если по условию задачи цикл уже задан графически, но в переменных р–T или V– T, то перестроить его на диаграмму р–V, отметив параметры состояния в начале и конце каждого процесса.

2.Найти работу А, совершаемую рабочим телом (или над ним), и количество тепла Q, полученное (или отданное) им, для всех рассматриваемых процессов, составляющих цикл.

3.Проанализировав условие задачи, установить, на каких участках цикла рабочее тело отдавало тепло, а на каких получало. Сумма количеств теплоты на участках, где Q > 0 будет равна количеству теплоты, полученной рабочим телом за цикл, т.е. теплу, полученному

от нагревателя Q1. Сумма количеств теплоты в процессах, где Q < 0, будет равна теплоте, отданной за цикл холодильнику Q2.

4.Работу А за цикл вычислить как алгебраическую сумму работ на каждом из его участков. Если график цикла в переменных р–V представляет собой простую геометрическую фигуру (треугольник, квадрат, трапеция и т.п.), то работу можно определить как площадь фигуры, ограниченной петлей цикла; при этом работа положительна, если состояние рабочего тела изменяется в цикле по часовой стрелке,

впротивном случае – отрицательна.

5.Вычислить КПД цикла. Если тепловая машина работает по циклу Карно, то схема решения задач такая же, как для произвольного цикла, за исключением, что КПД такой машины можно также вычислить через температуры нагревателя Т1 и холодильника Т2.

58

Следует также помнить, что машина Карно получает тепло лишь на участке изотермического расширения, а отдает – на участке изотермического сжатия. При этом количество полученного или отданного тепла за цикл равно работе соответствующего изотермического процесса.

3. Теплоемкость тела СT = dQ . dt

Удельная теплоемкость с = dQ . mdt

Молярная теплоемкость С = dQ = µ dQ .

νdt m dt

4.Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сV)

ипостоянном давлении (ср):

Связь между удельной и молярной С теплоемкостями

с = С/µ, С = сµ.

59

Уравнение Майера

ср – сV = R. 5. Работа расширения газа:

V2

А= ∫ pdV – в общем случае;

V1

А = р(V2 – V1) – при изобарном процессе;

6. Первое начало термодинамики:

Q = ∆U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ∆U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

7. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе (ΣQi = 0). Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q2 – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

60