Сборник задач по общей физике

Р е ш е н и е.

Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и равняется числу ядер, распадающихся в единицу вре-

мени: A = − dN , где dN – число ядер, распавшихся за время dt. dt

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада λ может быть выражена через период полураспада соотношением λ = ln 2/T1/2 =

= 0,693/T1/2.

Для 27Mg период полураспада T1/2 = 10 мин = 600 с. Следова-

тельно, λ = 0,693/600 с–1 = 1,15 · 10–3 с–1 .

Число радиоактивных атомов N0, содержащихся в изотопе, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества ν

данного изотопа: N0 = νN A = mµ N A , где m – масса изотопа; µ– мо-

лярная масса. Выразив в этой формуле значения величин в системе

151

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 1

1.Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = А +

+B t + C t3 м (А = 4 м, В = 2 м/с, С = 0,2 м/с3). Найдите среднюю скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

2.Скорость поезда, при торможении двигающегося равнозамедленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найдите ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

3.Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость

угла поворота от времени дается уравнением ϕ = (1 + 2t + t3), рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите нормальное, тангенциальное и полное ускорения через 2 с после начала вращения.

4.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора угловой скорости точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Маховик получил начальную

угловую скорость 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он, вследствие трения в подшипниках, остановился. Найдите угло-

вое ускорение маховика, считая его постоянным.

6.Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с2. Угол наклона горы 30°. Вес автомобиля 104 Н. Коэффициент трения равен 0,1.

7.Тело весом 10 Н, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с, догоняет второе тело весом 5 Н и сталкивается с ним. Какую скорость получат тела, если: 1) второе тело стояло неподвижно;

2)второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направлении, что и первое; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в противоположном направлении?

8.Танк весом 147,2 кН равномерно поднимается по уклону в 30° и развивает мощность 368 кВт. С какой максимальной скоростью движется танк на подъеме?

152

9.Брошенное вертикально вверх тело массы 200 г упало на землю спустя 1,44 с. Найдите потенциальную энергию тела в верхней точке траектории.

10.Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается абсолютно неупруго с телом массой 3 кг, движущимся со скоростью 1 м/с. Определите скорости тел после удара и количество выделившегося при ударе тепла, если тела движутся навстречу друг другу.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 2

1.График зависимости координаты тела х имеет вид, указанный на рисунке. Найдите зависимость х = х(t) и укажите, какое это движение.

2.Поезддвижетсясоскоростью36 км/ч. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, останавливается через 20 с. Найдите: а) ускорение поезда; б) на каком расстоянии до остановки надо выключить ток.

3.Точка движется по окружности радиусом R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением. Найдите нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если известно, что

кконцу 5-го оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.

4.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора углового ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Вентилятор вращается со ско-

ростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Сколько вре-

153

мени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

6.На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

7.Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями

v1 = 5 м/с и v2 = 7 м/с. Определите скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: 1) большой шар догоняет меньший;

2)шары движутся навстречу друг другу.

8.Какой кинетической энергией обладает тело массы 1 кг, падающее без начальной скорости, спустя время 5 с после начала падения?

9.Подъемный кран за время 7 ч поднимает массу 3000 т строительных материалов на высоту 10 м. Какова мощность двигателя крана, если КПД крана 0,6?

10.Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Прочность шнура на разрыв 550 Н.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 3

1.Зависимость пути от времени дана уравнением: S = 2t2, м. Найдите: а) среднюю скорость за первые 2 с движения; б) мгновенное ускорение в момент времени t = 1 с.

2.Какова была скорость тела в начальный момент времени, если, двигаясь с постоянным ускорением 2 м/с2, за 3 с тело прошло

путь 60 м?

3.Камень брошен с горы горизонтально со скоростью 15 м/с. Через какое время его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту?

4.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление век-

154

тора тангенциального ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Тело, вращаясь с частотой 1200 об/мин, начало вращаться равнозамедленно и остановилось, сделав 2000 об. Найдите величину углового ускорения и время, в течение которого произошла остановка тела.

6.В лифте, опускающемся с ускорением 3 м/с2, находится человек массой 60 кг. Найдите вес человека.

7.Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 3 м/с, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 0,7 м/с, и вскакивает на нее. Найдите: 1) с какой скоростью станет двигаться тележка? 2) с какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

8.Абсолютно неупругие шары массой 1 и 2 кг двигаются навстречу друг другу со скоростями соответственно 1 и 2 м/с. Найдите изменение кинетической энергии системы после удара.

9.Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50 г, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх, через 2 с после начала движения?

10.Молот массой m1 = 200 кг падает на поковку, масса которой вместе с наковальней m2 = 2500 кг. Скорость молота в момент удара равна 2 м/с. Найдите энергию, затраченную на сотрясение (движение) фундамента. Удар молота о поковку считать неупругим.

Модуль 1. Кинематика. Динамика поступательного движения

Вариант 4

1.График зависимости координаты тела х имеет вид, указанный на рисунке. Найдите зависимость х = х(t) и укажите, какое это движение.

2.Поезд, достигнув скорости 54 км/ч, стал двигаться равнозамедленно с ускорением –0,4 м/с2. Через сколько времени его скорость уменьшится в 3 раза? Какой путь он пройдет за это время?

155

3. По дуге окружности радиуса R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с2. В этот момент времени векторы полного и нормального ускорений образуют угол 60°. Найдите скорость, тангенциальное и полное ускорения точки.

4. Диск равнозамедленно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора угловой скорости точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5. Частота оборотов диска равна

3 об/с. С некоторого момента времени диск тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением 2 рад/с2.

Сколько оборотов он сделает до остановки?

6.Тело массой 100 кг, двигаясь по горизонтальной поверхности с некоторой начальной скоростью, проделало путь до остановки 20 м за 10 с. Найдите силу трения, действующую на тело.

7.Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два осколка массами 0,6 и 1,4 кг. Скорость большего осколка увеличилась до 24 м/с. Определите скорость и направление движения меньшего осколка.

8.Самолет для взлета должен иметь скорость 800 км/ч. Длина разбега перед взлетом 150 м. Какова мощность моторов при взлете, если вес самолета 104 Н и коэффициент трения колес шасси о землю 0,02?

9.Тело брошено вертикально вверх со скоростью 49 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной энергии?

10. С вершины наклонной плоскости, имеющей длину 10 м и высоту 5 м, начинает двигаться без начальной скорости тело. Какую скорость будет иметь тело у основания плоскости? Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,2.

156

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 5

1.График зависимости координаты тела х имеет вид, указанный на рисунке. Найдите зависимость х = х(t) и укажите, какое это движение.

2.Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту оно поднялось?

3.Камень брошен под углом 30°

кгоризонту с начальнойскоростью 10 м/с. Через какое время камень будет на высоте 1 м?

4.Диск равнозамедленно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора углового ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Материальная точка движется по дуге окружности радиуса R = 5 см с по-

стоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Найдите полное ускорение точки к концу третьей секунды движения.

6.Тело массой 10 кг находится на наклонной плоскости, составляющей горизонтом угол 30°. Коэффициент трения тела о плоскость µ = 0,6. Какую силу нужно приложить к телу, чтобы поднимать его вверх с ускорением 2 м/с2?

7.Два тела движутся без трения навстречу друг другу. Для

тела 1: m1 = 5 кг; v1 = 4 м/c (движется слева направо), для тела 2: m2 = 3 кг; v2 = 2 м/c. Куда и с какой скоростью будут двигаться тела после неупругого столкновения?

8.Тело движется под действием постоянной силы в 2 Н по закону S = 6t + 4t2. Направление силы совпадает с направлением перемещения. Определите среднюю мощность в промежутке времени

от t1 = 3 c до t2 = 5 c.

157

9.Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50 г, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх, через 2 с после начала движения?

10.Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити, имеющей длину 1 м, отклоняют от вертикали на угол 60° и отпускают. Какую максимальную скорость приобретет шарик?

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 6

1. Уравнение движения задано выражением: х = 1 t3 , м. Опре- 3

делите: а) ускорение в момент времени t = 5 с; б) среднее ускорение за первые 5 с движения.

2.Тело двигалось с постоянным по величине и направлению ускорением. Скорость его в конце пятой секунды была 1,5 м/с, в конце шестойтелоостановилось. Определитеначальнуюскоростьтела.

3.Точка движется по окружности радиусом R = 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального?

4.Диск равнозамедленно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора тангенциального ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Маховое колесо, спустя 1 мин после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найдите угловое ускорение

колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.

6. Два бруска с массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг, связанные нитью, двигаются по гладкой поверхности стола под действием горизонтальной силы F = 15 Н, приложенной

ко второму бруску (рисунок). Определите силу натяжения нити.

158

7.Шарик массы 100 г подлетает к стенке со скоростью 5 м/с по направлению нормали к стенке, упруго ударяется о нее и отскакивает. Найдите изменение импульса шарика.

8.Тело движется по закону S = 14t + t2 под действием постоянной силы 10 Н. Определите мощность, развиваемую движущимся телом через 3 с после начала движения.

9.С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью v0 = 10 м/с брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите потенциальнуюэнергиючерез1 сполёта.

10.Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется

остенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку

v1 = 10 см/с, после удара v2 = 8 см/с. Найдите количество тепла Q, выделившееся при ударе.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 7

1.Зависимость пройденного телом пути от времени дается урав-

нением: S = А + Bt + Ct2 + Dt3, где А = 0,5 м, В = 0,1 м/с, С = 0,14 м/с2,

D = 0,01 м/с3. Через сколько времени после начала движения ускорениетелабудетравно1 м/с2?

2.Тело падает вертикально с высоты Н = 19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет первый и последний метры своего пути?

3.Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с2. Определите полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью 2 м/с.

4.Диск равноускоренно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление вектора угловой скорости точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5. Диск вращается с частотой

10 об/мин. При равномерном торможении диск остановился в течение 5 мин. Сколько оборотовонсделалдоостановки?

159

6.Два груза массами 6 и 4 кг соединены шнуром, перекинутым через блок. Масса шнура и масса блока много меньше массы грузов. Трения в блоке нет. Определите ускорение грузов.

7.Снаряд массой 20 кг, летевший горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает

впеске. С какой скоростью стала двигаться платформа от толчка?

8.Автомобиль массой 2 т движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения 0,08. Найдите:

был пройден за 4 мин.

9.Тело массой 0,5 кг бросают со скоростью 10 м/с под углом30° к горизонту. Определите потенциальную энергию через 0,4 с после начала движения.

10.Для определения скорости снаряда используют баллистический маятник (ящик с песком). Определите скорость снаряда, если его масса 10 кг, масса маятника 2 т и высота, на которую он поднялся после попадания в него снаряда, Н = 30 см. Какова работа деформации?

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 8

1.Движение точки задано уравнением х = 4t – 0,05 t2. Определите момент времени, в который скорость равна нулю.

2.Шарик, скатываясь с наклонной плоскости, за первую секунду прошел путь равный 10 см. Чему равен путь, пройденный шариком за четвертую секунду? Начальная скорость шарика равна нулю.

3.Уравнение движения диска ра-

диусом R = 20 см имеет вид ϕ = 3 – t + + 0,1 t3, рад. Определите тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

4. Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление век-

160