Сборник задач по общей физике

Скорость v колеблющейся точки определяем, взяв первую производную смещения х по времени:

v= dx = Aωcosωt . dt

2.Записываем уравнение гармонических колебаний для данной точки:

х= 0,045sinπ t.

3.Второй закон Ньютона

|Fmax| = ma.

Ускорение колеблющейся точки найдем, взяв первую производную скорости по времени:

a= dv = −Aω2sinωt. dt

41

Максимальное ускорение (при sinω t = 1)

|amах| = Aω 2.

Запишем выражение силы:

|Fmах| = mAω 2.

Произведем вычисления:

Fmах = 0,01 0,045 3,142 Н = 4,44 · 10–3 Н.

№ 2. Складываются два колебания одинакового направления, заданные уравнениями:

x1 = cosπ (t + 1/6), x2 = 2cosπ (t +1/2)

(длина в см, время в с). Определить амплитуды, периоды и начальные фазы складывающихся колебаний; написать уравнение результирующего колебания.

Р е ш е н и е.

1. Запишем уравнениегармонического колебанияв общем виде:

42

Для написания уравнения результирующего колебания необходимо определить параметры результирующего колебания: T, А, ϕ 0.

1.Так как периоды колебаний одинаковы, период результирующего колебания будет тот же: T = 2c.

2.Для определения амплитуды ре-

зультирующего колебания А удобно воспользоваться векторной диаграммой. В системе координат х0y откладываем под углами, соответствующимиG начальным фазам, век-

торы амплитуд А1 и А2 . На них, как на сто-

ронах, строим параллелограмм, диагональ которого и будет амплитудой результирующего колебания. Ее величину определим, используя теорему косинусов:

А = A12 + A22 + 2 A1 A2cos∆ φ.

Подставим числовые значения:

A = 12 + 22 + 2 1 2cos(90° − 30°) = 7 = 2, 6 см.

Начальную фазу результирующего колебания определяем по тангенсу угла ϕ 0:

φ = A1sinφ1 + A2sinφ2 tg 0 A1cosφ1 + A2 cos φ2 ,

откуда начальная фаза

φ = arctg A1 sin φ1 + A2 . A1 cos φ1

Подставляем данные:

= 1sin30° + 2 = ° =

φ arctg arctg2,88=71 0, 4π рад. 1cos30°

Такимобразом, параметрырезультирующегоколебаниянайдены:

А = 2,6 см; Т = 2 с; ϕ = 0,4π рад.

43

Запишем закон колебания:

или

x= 2,6 cosπ (t + 0,4).

№3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых имеют вид:

(амплитуда – в см, время – в с). Определить траекторию точки. Р е ш е н и е.

Для определения траектории необходимо получить зависимость координат y = f (x). Для этого из уравнений (1) и (2) следует исключить время. Применив формулу косинуса половинного угла:

Так как cosπ t = x(1),

y = ±2 1 + x ; у = ± 2x + 2,

2

или

y2 = 2 +2x.

44

№ 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3m1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром D = l/2 и массой m1. Горизонтальная ось маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период T колебаний этого маятника.

Р е ш е н и е.

1. Период колебаний физического маятника

mgd

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; d – расстояние от центра масс маятника (точка С) до оси колебаний (точка О).

2. Определим момент инерции системы. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня I1 иобручаI2:

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определим по

формуле I1 = 1 ml 2 . В данном случае m = 3m и

12

I1 = 1 ml 2 . 4

Момент инерции обруча находим по теореме Штейнера:

I2 = I0 + ma2,

где I2 – момент инерции обруча относительно произвольной оси; I0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр

45

Найдем момент инерции системы, подставив выражения I1 и I2 в формулу (2):

3. Найдем расстояние d от оси колебаний до центра масс маятника:

Т= 2,17 с.

№5. Волна распространяется по прямой со скоростью v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l1 = 12 м

иl2 = 15 м от источника волн, колеблются по закону синуса с оди-

наковыми амплитудами А= 0,1 м и с разностью фаз ∆ϕ = 0,75π . Найти длину волны λ ; написать уравнение волны; найти смещение указанных точек в момент времени t = 1,2 с.

Р е ш е н и е.

1. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ , колеблются с разностью фаз, равной 2π ; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆ l, колеблются с разностью фаз

∆φ = ∆λl 2π .

46

Решим это уравнение относительно λ :

ω= 2πv = 2π 20 = 5π c−1.

λ8

Уравнение волны

s = 0,1sin5π (t – l ). 20

3. Найдем смещениеs, подставляявэтоуравнениезначения t иl: s1 = 0,1sin5π (1,2 – 12/20) = 0,1sin3 π = 0;

s2 = 0,1sin5π (1,2 – 15/20) = 0,1sin2,25 π = 1sin0,25π = 0,071 м.

Варианты заданий приведены на стр. 213–249.

47

ГЛАВА 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ИТЕРМОДИНАМИКА

2.1.ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Любое вещество состоит из огромного числа мельчайших частиц, сохраняющих все химические свойства данного вещества. Эти мельчайшие частицы называются молекулами. Сами молекулы состоят из более простых частиц– атомов. Например, молекула воды Н2О состоит из трех атомов: одного атома кислорода и двух атомов водорода. Если различного вида молекул известно огромное число (миллионы), то различных атомов совсем немного. В настоящее время известно 105 различных видов атомов, причем в природе их встречается 88, а 17 получено искусственным путем. Это атомы так называемых химических элементов. Размеры молекул и составляющих их атомов чрезвычайно малы: если представить их в виде шариков, то их радиус имеет численное значение порядка 10–10 м. Зато число частиц в веществе очень велико. Водномграммеводы, например, содержится3,3· 1022 молекул.

Массы атомов и молекул тоже малы, поэтому их удобнее измерять не в килограммах, а в специальных единицах. Эта единица называется атомной единицей массы [а.е.м.]. Согласно современным измерениям 1 а.е.м. = 1,66· 10–27 кг.

В молекулярной физике удобно использовать понятие количества вещества. Единица количества вещества называется молем. По определению, моль любого вещества – это такое количество вещества, которое содержит столько же молекул (или атомов, если вещество состоит из одноатомных молекул), сколько их содержится в 0,012 кг углерода 6C12. Из определения моля следует, что моль любого вещества состоит из одинакового числа молекул. Это число называется числом Авогадро NA. Масса одного моля вещества называется его молярной массой µ [кг/моль]. Ясно, что µ = m0NA.Число молекул в m [кг] вещества

N = ν N A = mµ N A .

48

2.2. ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Идеальным газом называется такой газ, в котором силами взаимодействия молекул и размерами молекул можно пренебречь. Время от времени молекулы сталкиваются между собой, но столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы газа движутся равномерно и прямолинейно. Чем более разряжен реальный газ, тем ближе его свойства к свойствам идеального. Для такого газа оказывается возможным получить зависимость между его макроскопическими параметрами p, V и Т, рассматривая движение одной молекулы, а затем усредняя это движение по огромному числу составляющих этот газ молекул.

Задачи на расчет параметров состояния газов можно разделить на две основные группы. К первой следует отнести задачи, в которых рассматриваются два или несколько состояний газа постоянной массы и к которым, следовательно, применимо уравнение объединенного газового закона (уравнение Клапейрона):

p1 V1 = p2 V2 . T1 T2

Вторую группу составляют задачи, в условии которых дана масса газа или рассматриваются процессы, в которых масса газа изменяется.

I. Если по условию задачи даны два состояния газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для решениязадачиможнорекомендоватьследующуюпоследовательность:

1.Составить схему, отметив каждое состояние газа, указать параметры р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из условия, какой из этих трёх параметров не меняется. В общем случае могут изменяться все три параметра.

2.Записать для данных двух состояний уравнение объединенного газового закона. Если какой-либо параметр считается неизменным, уравнение автоматически переходит в одно из трех уравнений, выражающих закон Бойля-Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.

3.Представить в развернутом виде параметры р1, V1, р2, V2, выразив их через заданные величины. Естественно, что речь идет

опараметрах, заданных косвенно (например, V = m/ρ или р = F/S).

49

4. Записать математически все вспомогательные условия и решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.

В задачах на газовые законы рекомендуется пользоваться только абсолютной температурой и сразу же переводить значения температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.

II.Если по условию задачи дано только одно состояние газа

итребуется определить какой-либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа, то рекомендуется поступать так:

1.Установить, какие газы участвуют в paссматриваемых процессах.

2.Для каждого состояния газа составить уравнение Менделеева – Клапейрона. Если дана смесь газов, то это уравнение записывают для каждого компонента. Связь между значением давлений отдельных газов и давлением смеси устанавливается законом Дальтона.

3.Записать математически дополнительные условия задачи

ирешить полученную систему уравнений относительно искомой величины.

Основные формулы

1. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

pV = mµ RT = νRT.

где m – масса газа; µ – молярная масса газа; R – молярная газовая постоянная; ν – количество вещества; Т – термодинамическая температура.

2. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m = const)

pV = const,

50