Сборник задач по общей физике

I1 – I2 = 0,05;

50 I1 + 25 I2 = 1;

100 I1 + 0,05·20 = ε2.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные – в правые, получим следующую систему уравнений:

I1 – I2 = 0,05; 50 I1 + 25 I2 = 1; 100 I1 – ε2 = –1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε2 из трех, воспользуемся методом Крамера.

Составим и вычислим определитель ∆ системы:

= −25 − 50 −125 = −300.

Разделив определитель ∆ε2 на определитель ∆, найдем числовое значение ЭДС ε2:

ε2 = –300/(–75) = 4 В.

№ 6. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени ∆t = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I2 = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля – Ленца в виде Q = I2Rt справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока

101

в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т.е.

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени ∆t, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t1 = 1 с, t2 = 2 с, тогда

Q = 13 32 20 (8 −1) = 420 Дж.

Варианты заданий приведены на стр. 310–339.

3.3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Задачи по теме электромагнетизма можно разделить на две основные группы: задачи о силовом действии однородного магнитного поля на проводники с током и заряженные частицы и задачи на закон электромагнитной индукции.

102

Задачи расчетного характера о силах, действующих на проводники с током в однородном магнитном поле, удобно решать по следующей схеме:

1. Сделать схематический чертеж, на котором указать контур (проводник) с током и направление линий магнитнойG индукции по-

ля. Обозначить углы между направлением вектора B и отдельными элементами контура, если последний состоит из нескольких проводников.

2.Используя правило левой руки, определить направление сил Ампера, действующих на каждый элемент контура, и нанести их на чертеж.

3.Если в задаче рассматривается равновесие проводника, то, помимо сил Ампера, нужно указать все остальные силы, приложенные к проводнику, и записать условие его равновесия.

Решение задач на движение заряженных частиц в электро-

магнитных полях в большинстве случаев основано на составлении основного уравнения динамики материальной точки с учетом сил,

действующих на заряженную частицу со стороны магнитного иэлектрического полей. При нахождении направления силы Лоренца следует обратить особое внимание на знак заряда частицы. Указав силы, нужно попытаться определить вид траектории частицы. Иногда это удается сделать просто, иногда это представляет основное содержание задачи.

При решении задач на закон электромагнитной индукции следует придерживаться следующей последовательности действий:

1. Анализируя условие задачи, необходимо прежде всего установить причины изменения магнитного потока, сцепленного с контуром и определить, какая из величин – В, S или α – изменяется с течением времени. После этого нужно записать закон Фарадея. Если в задаче рассматривается поступательное движение прямого проводника,

магнитной индукции.

2. Выражение для Ф представить в развернутом виде. Для этого выбирают два момента времени и для каждого из них определяют потоки Ф1 и Ф2, связанные с данным контуром. Изменение магнитного потока будет равно или ∆ Ф = (В2 – В1)S cosα , если из-

103

меняется индукция магнитного поля, или ∆ Ф = В S(cosα 2 – cos α 1), при изменении положения рамки, или ∆ Ф = В ∆ S cosα , где ∆ S – изменение площади контура, описанного в пространстве движущимся проводником.

3. Подставить выражение для ∆ Ф в исходную формулу закона Фарадея и, записав дополнительные условия, решить совместно полученные уравнения относительно искомой величины.

Основные формулы

G G

Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля.

G G

B = µµ0 H ,

где µ– магнитная проницаемость однородной среды; µ0 – магнит-

элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α – угол между радиус-вектором и направлением тока

вэлементе провода.

3.Принцип суперпозиции магнитных полей

мого прямым током, определяется по правилу буравчика (правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая

104

линия на рисунке) и по касательной к ней в интересующейG нас точке прово-

дим векторG B . Вектор магнитной ин-

дукции B в точке А направлен перпендикулярноплоскостичертежа отнас.

4. Магнитная индукция в центре кругового тока

B = µµ0 I ,

2R

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (вывод этой формулы в примере № 1),

B = µµ0 I (cosα1 − cosα2 ). 4π r0

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током,

B= µµ0 I ,

2πr0

где r0 – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля бесконечно длинного соленоида

B = µµ · n · I,

0

где n – отношение числа витков соленоида N к его длине l.

5. Сила, действующая на элемент провода с током в магнитном поле (закон Ампера),

105

G G G dF = I dl × B ,

G

где dl – вектор, равный по модулю длине участка провода и совпадающий по направлению с током; α – угол между направлением

тока в проводе и вектором магнитной индукции B.

Для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода получим:

F= IBlsinα.

6.Магнитный момент плоского контура с током

pGm = ISnG ,

где nG – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I – силатока, протекающегопоконтуру; S – площадьконтура.

7. Механический вращающий момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то на нее действует сила

F= qEG + q vG× BG .

9.Магнитный поток (через поверхность S):

а) вслучаеоднородногомагнитногополяиплоскойповерхности Ф = BScosα или Ф = BnS,

где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

106

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

Ф = ∫ BndS

S

(интегрирование ведется по всей поверхности). Потокосцепление (полный поток) Ψ = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

10.Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле dA = IdФ или А = I ∆ Ф.

11.Основной закон электромагнитной индукции (закон Фара-

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении

магнитного потока, пронизывающего этот контур: dq = − dФ или

R

dq = −N dΦ = − Ψd , где R – сопротивление контура.

R R

12.Индуктивность контура L = Ф/I.

Индуктивность соленоида L = µµn2lS,

0

где n – отношение числа витков соленоида к его длине; l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения.

13. ЭДС самоиндукции

εsi = −L dI .

dt

14. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) I = ε (1 − e− Rt / L ) – при замыкании цепи, где ε – ЭДС источ-

R

ника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

107

б) I = I0e− Rt / L – при размыкании цепи, где I0 – сила тока в цепи при t = 0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

2

15. Энергия магнитного поля соленоида W = LI .

2

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии поля к его объему)

w = BH/2 = B2/(2µµ) = µµ0 H 2 .

0

2

Примеры решения задач

№ 1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток

I = 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода

инаходящейся на расстоянии r0 = 30 см от его середины.

Ре ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа:

и принципом суперпозиции магнитных полей:

l

где символ l означает, что интегрирование распространяетсяG на всю

длину провода, dB – магнитная индукция, создаваемая элементом тока

Idl в точке, определяемой радиусвектором r ; µ0 – магнитная посто-

янная; µ – магнитная проницаемость среды, в которой находится

108

провод (в нашем случае µ = 1). Векторы dB от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:

Присимметричном расположении точкиА относительно отрезка проводаcos α 2 = –cos α 1. Сучетом этогоформула(4) приметвид

109

Подставив выражение cosα 1 в формулу (5), получим

Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.

№ 2. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рисункеG . Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить

индукцию B магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию B в точке О найдемG , используя принцип суперпозиции магнитных полей: B = ∑ Bi .

В нашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящиеG вG бесконечG G -

ность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда B = B1 + B2 + B3 ,

G G G

где B1 , B2 и B3 – индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков проводаG .

Так как точка О лежит на оси провода 1, B1 = 0, и тогда

G G G

B = B2 + B3 . Учитывая, что векторы B2 и B3 направлены в соот-

ветствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3.

110