Сборник задач по общей физике
..pdfщая на него, равна 1,5 · 10–3 Н. Напишите уравнение движения этого тела, если период колебания равен 2 с и начальная фаза π /3.
6.Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через край диска перпендикулярно к плоскости диска. Определите период Т колебаний такого физического маятника.
7.Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:
х1 = А1 · sin ω t и х2 = А2 · соs ω |
t, где А1 = 3 см, А2 = 4 см, ω = 1 рад/с. Оп- |
|||
ределитеамплитуду результирующихколебанийиихчастоту. |
||||
8. Точка |
одновременно участвует |
|||
в двух взаимно перпендикулярных гармо- |
||||
нических |
колебаниях |
с |
циклическими |
|
частотами |
ωX |
и ωY: |
x = A1 cos(ωX t + φ1 ) |
|
и y = A2 cos(ωY t + φ2 ) . |
Траектория точки |
представлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?
9.Логарифмический декремент затухания математического маятника ра-
вен 0,2. Найдите, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.
10.0т источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний 5 см. Каково смещение точки, удаленной от источника на 3/4 длины волны в момент, когда от начала колебаний источника прошло время, равное 0,5 периода колебаний?
11.Волны распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1,5 м. Определите частоту колебаний.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 14
1. Уравнение колебаний имеет вид x = 3sin 2π(t +16), см.
Чему равны период, амплитуда, фаза и начальная фаза этих колебаний?
231
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебанийввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скорости vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4. Уравнение движения точки дано в виде x = sin πt6, см.
Найдите моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.
5. Уравнение гармонического колебания тела массой 2 кг имеет вид x = sin πt6, см. Определите скорость и кинетическую энергию в момент времени t = 3 с.
6.На сколько уменьшится число колебаний математического маятника с периодом колебаний 1 с за сутки, если длина его возрастет на 5 см?
7.Материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения-
ми: х1 = sin π t, м, и х2 = 2sin(π t+π/2), м. Определите амплитуду результирующего колебания, его частоту
иначальную фазу.
8.Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими
частотами ωX и ωY: x = A1 cos(ωX t + φ1 ) и y = A2 cos(ωY t + φ2 ) . Траектория точки пред-
ставлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?
232
9.Математический маятник отклонился при первом колебании
водну сторону на 5 см, при втором колебании на 4 см в ту же сторону. Определите: а) декремент; б) логарифмический декремент затухания.
10.Задано уравнение плоской волны ξ = A · cos(ω t – kλ ), где А = 0,5 см, ω = 628 рад/с, k = 2 1/м. Определите: 1) частоту колебаний и длину волны; 2) максимальное значение скорости колебаний частиц среды.
11. Определите разность фаз ∆ϕ колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 0,3 м от источника. Частота колебаний равна 100 Гц; волны распространяются со скоростью 330 м/с.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 15
1.Определитеамплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 5cos 2π(t +18), см .
2.Зависимость коор-
динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний
ввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции
его скорости vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4. Уравнение гармонического колебания тела имеет вид x = 5sin π(t + 0,5), см. Определите скорость в момент времени 6 с
и максимальное ускорение.
233
5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 5sin π(t + 0, 4), см. Найдите силу, действую-
щую в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.
6. Как относятся частоты колебаний математических маятников, если длины относятся как 1:9?
7. Два одинаково направленных колебания складываются в одно. Напишите уравнение результирующего колебания, если складываемые колебания заданы уравнениями: x1 = 3sinω t, x2 = 4cosω t.
8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями: х = 4cosπ t и у = 3sinπ t (длина в см, время в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте ее
ссоблюдением масштаба и укажите направление движения.
9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 11-го колебания в 32 раза. Во сколько раз амплитуда затухающих колебаний уменьшится за одно полное колебание?
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-
ние незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin 0,5π t, см. Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 2 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 3 м/с.
11. Найдите разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях соответственно 4 и 10 м от источника колебаний. Частота колебаний25 Гц, скоростьраспространения колебаний300 м/с.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 16
1. Уравнение колебаний имеет вид x = 4, 2sin(πt 2 + π 8),
см. Чему равны период, амплитуда, фаза и начальная фаза этих колебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком
234
на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний
ввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скоро-
сти vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4.Точка совершает гармонические
колебания. Максимальная скорость точки равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найдите циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Напишите уравнение.
5.Тело массой 5 г совершает колебания с частотой 2 Гц. Амплитуда колебаний 3 мм. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.
6.Диск радиусом 75 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 50 см от оси диска перпендикулярно
кплоскости диска. Определите частоту ν колебаний такого физического маятника.
7.Два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты с амплитудами 28 и 45 мм складываются в одно колебание с амплитудой 53 мм. Какова разность фаз складываемых колебаний?
8.Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных
уравнениями: х = 4sin(ω 0t + π /2), см, и у = 3sin(ω 0t), см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба
иукажите направление движения.
9.Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? Длина маятника 9,81 м.
10.Найдите смещение от положения равновесия точки, от-
стоящей от источника колебаний на расстоянии L = λ /6 (λ – длина волны) для момента времени Т/3 (Т – период колебаний). Амплитуда колебаний А = 0,05 м.
11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна π /6, а частота колебаний 500 Гц.
235
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 17
1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), см .
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колеба-
нийввиде x = Asin(ωt + φ0 ) . 3. Линейный гармони-
ческий осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, частота колебаний 0,4 Гц и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
5.Материальная точка массой 10 г совершает колебания со-
гласно уравнению x = 3sin 2π(t +14), см . Найдите силу, действующую в момент времени t = 0,25 c, а также полную энергию точки.
6.Обруч диаметром 113 см висит на гвозде, вбитом в стену,
исовершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.
7.Два одинаково направленных колебания складываются в одно. Напишите уравнение результирующего колебания, если склады-
ваемые колебания заданы уравнениями: x1 = 12sin ω t, x2 = 5cos ω t.
8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями: х = 2sin ω t, см, и у = 3sin(ω t + π ), см. Найдите уравне-
236
ние траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.
9. Задано уравнение колебаний x = 5e−0,01t sin(2πt + π) , см. 2
Найдите коэффициент затухания и время релаксации.
10.Волны с периодом 0,6 с и амплитудой 5 см распространяются со скоростью 20 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 40 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний прошло 2 с?
11.Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 400 м/с. Частота колебаний 100 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 18
1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазу колебаний, заданных уравнением x = 6sin π(t +14), см.
2.Зависимость координа-
ты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебанийввиде x = Asin(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции
его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4.Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с
иначальная фаза π /4. Напишите уравнение этого колебания. Найди-
237
те смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент времени t = 1,5 с.
5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 6sin π(t +14), см. Найдите силу, действующую в момент времени 1,25 с, а также полную энергию точки.
6.Из однородного диска радиусом 2R/3 сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом на расстоянии R/3 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний диска.
7.Два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты с амплитудами 12 и 5 мм складываются в одно колебание с амплитудой 13 мм. Какова разность фаз складываемых колебаний?
8.Материальная точка участвует в двух взаимно перпенди-
кулярных колебаниях, заданных уравнениями х = cos(π t + π ), см, и y = 2cos π t, см. Найдите уравнение траектории и начертите ее
ссоблюдением масштаба.
9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 7-го колебания в 4 раза. Чему равен логарифмический декремент затухания?
10.Источник, расположенный в точке x = 0, колеблется по закону y = 0,02sin100πt, м. Напишите уравнение плоской бегущей незатухающей волны, распространяющейся вдоль направления x со скоростью 300 м/с.
11.Найдите разность фаз колебаний двух точек, отстоящих на расстоянии 3 м друг от друга, если длина волны равна 2 м.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 19
1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением x =10cos π(t + 58), см.
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена гра-
238
фиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x= Asin(ωt + φ0 ) .
3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускоре-
ния аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4.Амплитуда гармонического колебания 10 мм, период 2 с,
начальная фаза π /2. Напишите уравнение этого колебания. Найдите смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент времени t = 1,5 с.
5. Полная энергия колеблющегося тела равна 6 · 10–5 Дж, максимальная сила, действующая на него, равна 3 · 10–3 Н. Напишите уравнение движения тела, если период колебания равен 1 с и начальная фаза π /6.
6.Диск радиусом 48 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска перпендикулярно к плоскости диска. Определите частоту колебаний такого физического маятника.
7.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1,5 с и амплитудами А1 = 2 см,
А2 = 3 см. Начальные фазы колебаний ϕ 1 = π /2 и ϕ 2 = π /3. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.
8. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими частотами ωX = 2π, рад/с, и ωY. Траектория точки представлена на рисунке. Определите амплитуды, начальные фазы, частоты и напишите законы изменения
координат: x = A1 sin(ωX t + φ1 ) и y = A2 sin(ωY t + φ2 ) .
9. За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшается в 3 раза. Во сколько раз амплитуда уменьшится за 4 мин, чему равен коэффициент затухания?
239
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение колебаний источника дано в виде у = 10sin 300π t, см. Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 100 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость волн 300 м/с.
11.Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний равна 500 Гц; волны распространяются со скоростью 400 м/с.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 20
1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = = 5sin π(t + 0,1), см. Чему равны период и циклическая частота
этих колебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде
x = Asin(ωt + φ0 ) .
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.
4. Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 20sin πt6, мм . Каково значение скорости точки в момент времени 2 с?
240