где рх0,р у0 - значения нагрузок в середине элемента (т.е. при £ = 0 ), а _у0 = (у, + уj )/2 - радиус соответствующего параллель­

ного круга.

Отметим, что в элементах рассматриваемого типа узловые силы не содержат компонент в направлении угла срг , т.е. узло­

вые моменты, эквивалентные распределенной нагрузке, оказы­ ваются здесь нулевыми.

4.4. Конечные элементы осесимметричной тонкой оболочки вращения

Вданном разделе рассмотрим конечный элемент оболочки

ввиде усеченного конуса (рис. 4.5), построенный на использо­ вании гипотезы о прямых нормалях [4], т.е. не учитываются де­ формации сдвига. В отличие от предыдущего случая аппрокси­ мировать будем только перемещения, а углы поворота выражать через производные от них.

Рис. 4.5. Конечный элемент осесимметричной оболочки

В осесимметричных оболочках, как и в любых других, су­ ществуют и изгибные, и мембранные усилия. Они однозначно

(4.23)

12 12

где верхняя часть ее характеризует действие нормальных уси­ лий срединной поверхности, или мембранных усилий, а нижняя представляет собой матрицу изгибных жесткостей, причем сдвиговые члены в обеих частях опущены.

Пусть узловыми поверхностями оболочка разбита на ряд усеченных конусов (рис. 4.5). Перемещения узловых точек i и j однозначно определяют деформации элемента через заданную функцию перемещений.

В каждой узловой точке задаются осевое и радиальное смещение и поворот. Поскольку оболочка работает на изгиб, не­ обходимы все эти три компоненты. Таким образом, перемеще­ ние точки i определяется тремя компонентами, причем первые две соответствуют глобальным координатам,

(4.24)

(Ф/ J

Следовательно, элемент с двумя узлами /, j имеет шесть степеней свободы, которыми являются перемещения элемента

(4.25)

Перемещения внутри элемента должны единственным об­ разом определяться перемещениями узловых точек {v‘ } и коор­ динатой s и удовлетворять условиям непрерывности углов на­ клона и перемещений

где 4 изменяется от 0 до 1.

Следовательно, типовой блок матрицы жесткости имеет вид

или

Перед интегрированием необходимо выразить радиус г че­ рез s. Интегрирование обычно проводится численно.

С помощью описанного выше подхода изложенный метод расчета осесимметричных оболочек легко распространить на слу­ чай несимметричного нагружения. Однако теперь следует учесть три компоненты вектора перемещений: и - в направлении, каса­ тельном к поверхности, v - в направлении, касательном к парал­ лельному кругу, w - перпендикулярно к срединной поверхности (рис. 4.6). Соответственно появятся и дополнительные компонен­ ты деформаций и внутренних усилий. В соответствии с моментной теорией оболочек вращения можно записать:

ди

Матрица напряжений, соответствующая этим деформаци­ ям, имеет вид

В нее входят три мембранных усилия в срединной поверх-

Рис. 4.6. Осесимметричная оболочка при несимметрич­ ном нагружении. Перемещения и внутренние усилия

Матрица упругих констант [о] для изотропного материала

имеет вид

IM M

о

изменение по окружности, а матрица [l] в данном случае имеет вид

Далее вся процедура построения матрицы жесткости про­ водится аналогично.

Вектор нагрузки, соответствующий вектору амплитуды {v"}, определяется следующим образом:

тo r {F}rdQ,

L 0 Н _

где {F } есть вектор внешних нагрузок, действующих на едини­ цу длины окружности.

Этот метод дает относительно простое решение для несим­ метричных нагрузок, которые могут быть выражены с помощью нескольких членов гармонического ряда. В качестве примера на рис. 4.7 показана осесимметричная башня под действием несимметричной нагрузки. Также показаны гармоники, по кото­ рым нагрузка раскладывается [5].

мейство кривых, вдоль которых параметр £, остается неизмен­

ным; это семейство называют т) -линиями. Два семейства кри­

вых образуют на поверхности координатную сетку (рис. 4 .8), что дает основание называть параметры 4 , т| криволинейными

координатами поверхности. Для расчета геометрических пара­ метров %- и г|-линий воспользуемся соотношениями, получен­

ными в разделе 2 . 1.

1;-линии

Рис. 4.8. Поверхность произвольной оболочки

Бесконечно малый отрезок 4 -линии, который обозначим ds^, связан с dt, соотношением ds^ = A^dt,, аналогичным (2.3). Выражение для А^ можно получить по формуле (2.4), заменив в ней обыкновенные производные по 4 частными:

следует физический смысл у : это косинус угла 0 между на­

правлениями и т] -линий в точке М (рис. 4.8). Если в частном

случае координатные линии взаимно ортогональны, то у = 0 .

Для исследования деформации поверхности удобно в каж­ дой ее точке взять два взаимно перпендикулярных направления,

Первое из направлений выберем совпадающим с направле­

нием 4 -линии, так что е, = или, что то же самое,

ё2 = e,e? +fl2e4 .

Для определения коэффициентов о/ и а2 необходимо ис­ пользовать условие ортогональности ё1•е2 = 0 , равенство

ё2 -ё2 =1, а также соотношения (4.44) и (4.45). В результате для матрицы Х2 получим значение

венно. Обозначим через еп , е22 деформации отрезков dsx, ds2,

а через б)2 - изменение угла между ними. Для их вычисления обратимся к результатам, полученным в разделе «Деформация криволинейных стержней», формулы (2.9) и (2.11). Эти резуль­ таты могут быть сформулированы здесь следующим образом. Деформация произвольной линии, имеющей матрицу направ­ ляющих косинусов [Я, ], определяется выражением

(4.51)

ds ’

ауменьшение угла между ее положительным направлением

инормальным к ней вектором с матрицей направляющих коси­ нусов [Хо]-выражением

ds

Здесь {и}= {и, иу uz} ', ds -дифференциальный отрезок

рассматриваемой линии.

Переходя в (4.51) к частным производным и заменяя [Я,]

ция сдвига е|2 представляет собой сумму двух углов, один из которых есть поворот отрезка dslв направлении ds2, а второй ds2 - поворот в направлении с/s,. С учетом (4.52) имеем

д{ч>

Е 12 —[^11 55, + м ds2

в

Рис. 4.10. Конечные элементы произвольной оболочки

Элемент первого порядка имеет прямые стороны, но так как его узлы в общем случае не лежат в одной плоскости, он бу­ дет искривлен в пространстве (закрученный четырехугольник).

Элементы второго и третьего порядка имеют криволинейные стороны.

Вычисляя производные,

(4.43) можно в любой точке срединной поверхности определить параметры А^, Ац, у и компоненты матриц направляющих ко­

синусов А.£, а,п.

В качестве узловых перемещений возьмем смещения их„ иуг, игтузлов в направлении координатных осей и повороты ф„,

Ц>уг, (р2г нормали относительно этих осей:

где {ur} = {ихгиуги:г)т , {фг} = {фхгФ,гфгг}Г

Положительные направления перемещений и векторы по­ ложительных углов поворота будем считать совпадающими с положительными направлениями соответствующих осей. Най­ дем далее перемещения {и*} = {uxruzyru*r}7 точки, расположен­

оси, с которой он составляет угол а (рис. 4.11), то конец вектора совершит перемещение по дуге окружности радиусом R sina

(R - длина вектора R); величина перемещения будет ф -Ksina. Если угол поворота мал, то это перемещение можно представить в виде вектора р , касательного к указанной окружности. Угло­ вое перемещение можно изобразить вектором <р, длина которо­ го равна ф , а направление определяется правилом правого вин­

Рассмотрим далее слой оболочки на расстоянии z от сре­ динной поверхности. Геометрию слоя в силу тонкостенности оболочки можно отождествлять с геометрией срединной по­ верхности, полагая

Перемещения {ur} = {игх и* uz,} T точек этого слоя будем оп­ ределять соотношениями

Применяя формулы (4.53) и (4.54) к слою оболочки, нахо­ дим его деформации {е*} = {ef, е22 ef2 } 7

где нулевые подматрицы имеют размер 3 x 3 .

где Ф,, ср2 - углы поворота нормали в направлении векторов е ,;

ё2, а со,, (о2 - введенные ранее углы поворота векторов е,; ё2

в направлении вектора . Значения со,, оо2 даются формулами

(4.56)-(4.58), подставив в них соотношения (4.60) и (4.62) при

проксимацию матрицы (ф } = (фх фг фг}г по узловым значениям:

Далее спроектируем углы фх,ф ,ф. (представив их в виде векторов) на направления векторов е ,, ё2, которые имеют матри­

цы направляющих косинусов Х}=Х^', Х2 = - т = = = - ( - у Ц + Х,,)- V1 "У 2

Принятые в (4.68) положительные направления ф !, ф2 показа-

пряжения в слое {ст2} = (erf, <722 стц}Г>так же, как и в случае пла­ стины, связаны с {е2} законом Гука для обобщенного плоского напряженного состояния:

Поперечные касательные напряжения {d} = {oi3 агз} 7

выражаются через деформацию сдвига {с } по формуле

можно также взять равной 5G/6 с целью учета имеющей в дей­ ствительности место неравномерности напряжений а п , а2з по толщине оболочки.

Полагая, что вектор напряжений также состоит из двух блоков {а} = {{а2} {5}}7 , будем иметь из (4.76) и (4.77), равен­

ОG[D]

Для рассмотренных элементов, где аппроксимируются

только перемещения, матрица [Уиг] имеет вид

Интегрирование в формуле (4.81) осуществляется по тому же правилу, что и при вычислении матриц жесткости [к'п ]

и[*;ь

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии изложен метод конечных элементов в переме­ щениях применительно к линейным задачам строительной ме­ ханики. Основы метода рассмотрены на примере конечных эле­ ментов стержней. Описаны разнообразные типы элементов тон­ костенных конструкций пластин и оболочек в зависимости от выбранных теорий расчета и принятых допущений. Упор де­ лается на особенности построения матрицы жесткости этих эле­ ментов и вектора узловых сил.

Данная работа призвана помочь студентам в освоении чис­ ленных методов расчета конструкций строительной механики. Важным составным элементом анализа полученного решения является оценка его достоверности. Ни в коем случае нельзя слепо доверять машинным результатам: ответственность за пра­ вильность результатов несет человек, а не компьютер. Здесь особое значение приобретают знания точных аналитических ме­ тодов, умение анализировать полученные результаты на их ос­ нове. В связи с этим настоящее учебное пособие является обоб­ щением, закреплением и логическим завершением теоретиче­ ского курса «Строительной механики машин».

Эта работа также будет полезна и при изучении метода ко­ нечных элементов в курсе «Вычислительной механики».

Учебное издание

СУХОДОЕВА Алла Алексеевна

КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ

Учебное пособие

Редактор и корректор И.Н. Жеганина

Лицензия ЛР № 020370

Подписано в печать 11.12.06. Формат 60x90/16. Набор компьютерный. Уел. печ. л. 5,75. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 100 экз. Заказ № 187/2006.

Издательство Пермского государственного технического университета.

Адрес: 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (342) 2-198-033