3.2. Изопараметрнческие конечные элементы пластины

Фигурирующие здесь производные от функций форм Nr по координатам х, у определяются соотношением

форме {е} = [р]{vc}, полагая [р, ] = [№,]№,И Р/Н РЛ •

Компоненты напряжения также сгруппируем в две матри­

цы (СТ } = {OxxCSyyTxyV; {5} = {xxiT>,I}7

- l - i

-I - I

Вобщем случае пластины переменной толщины изгибная жесткость D является функцией координат х,у (или £,,г)). Ин­

тегрирование по координатам ^,г\ выполняется численно. При

вычислении [fc*v] можно брать по две точки Гаусса в каждом направлении, а для вычисления [£„] одну точку Гаусса, что со­

ответствует минимально допустимому порядку интегрирования. Как уже говорилось выше, это необходимо для исключения ложных деформаций поперечного сдвига.

Следует отметить, что нормальный отрезок при деформа­ ции пластины только поворачивается, но не искривляется. Это

приводит к равномерному распределению напряжений a t,

и о у, по толщине пластины, как видно из формул (3.3) и (3.5).

Но в действительности поперечные касательные напряжения распределяются по толщине неравномерно. В случае, когда име­ ет место пластина постоянной толщины, они обращаются в нуль на поверхности пластины и имеют максимальные значения в срединной плоскости. Согласно элементарной теории изгиба тонких пластин напряжения аХ2, и соответствующие де­

формации изменяются по толщине согласно квадратичному за­ кону. При этом вклад в матрицу жесткости от деформаций по­ перечного сдвига оказывается несколько меньшим, чем по фор­ муле (3.22). В связи с этим иногда вместо действительного

удельной энергии деформации при истинном и равномерном распределениях поперечных касательных напряжений по сече­ нию пластины. В случае наличия тонких пластин деформации поперечного сдвига не играют решающей роли и подобное уточ-

А из четырех параметров, необходимых для описания этого за­ кона, лишь два (ф ху,фх/) являются общими для смежных эле­

ментов, примыкающих к данной стороне. Следовательно, не­ прерывность производных будет соблюдаться только в узловых точках.

Связь постоянных {f} = {/I / 2 / | 2} с узловыми пере­

мещениями можно получить, приравнивая в каждом узле значе­

ния и., ф1 = -ди,/дх, ц>у = -ди2/ду к соответствующим узло­

вым параметрам. Выразив {f} через {ve}, можно в соответствии с (3.23) прийти к стандартному соотношению вида

ляет собой матрицу строку-строку и содержит три функции ко­ ординат х, у:

{Nr}=[Nrl Nrl Л у .

Первая из этих функций дает распределение перемещения

иг в элементе, когда поперечное смещение узла г равно едини­ це, а все остальные одиннадцать узловых перемещений равны нулю. Функции Nr2, Nr3 определяют и2 при единичных зна­

чениях углов ц>хг, ц>угсоответственно. Следовательно, функция

Nri должна равняться единице в узле г и нулю в остальных уз­

со своими первыми производными равняются нулю во всех уз­ лах, за исключением узла г, где выполняются равенства dNr2/dx = -1, dNr2/dy = -1 (это соответствует единичным зна­

чениям углов поворота фх, фу).

Выполнив интегрирование по z, приведем это выражение к виду

Интегрирование в (3.29) даже для пластины постоянной толщины удобнее всего выполнять численно, используя по две точки Гаусса в каждом направлении.

Данный конечный элемент хорошо зарекомендовал себя на практике. В работе [5] приведены сравнение результатов и схо­ димость метода на примере прямоугольной пластины с разными граничными условиями: свободно опирающейся по контуру и с защемленными краями, находящейся под действием равно­ мерно распределенной нагрузки и сосредоточенной.

В табл. 3.1 сравниваются перемещения центра пластины при различном числе разбиений для различных условий закреп­ лений сторон. При разбиении 8x8 элементов максимальная ошибка составляет ~3 %. Видно, что для всех случаев разбиения решение сходится к точному.

Таблица 3.1

Перемещения центра квадратной пластины, подсчитанные при различном числе разбиений (прямоугольные элементы)

Тимо­

шенко

В соответствии с техникой метода конечных элементов шесть коэффициентов полинома должны быть выражены через шесть узловых неизвестных, которыми являются значения про­ гибов в углах (узлы 1, 2, 3) и значения производных по нормали 04, 05, 06 в узлах 4, 5, и 6, расположенных по середине сторон элемента.

Рис. 3.6. Треугольный конечный элемент пластины с шестью степенями свободы

Для треугольников обычно при построении функций форм пользуются локальными 1-координатами, которые в данном учебном пособии не рассматриваются, но знакомы студентам из курса «Вычислительной механики». В 1-координатах функции формы для данного элемента получаются очень простыми [3]. К достоинствам элемента, кроме простоты вычислений, следует отнести хорошую сходимость при сгущении сетки. Элемент Морли является несовместным, т.е. на границах элементов име­ ют место разрывы и прогибы, и углы поворота нормали. Кроме того, исходя из узловых перемещений элемента, нельзя опреде­ лить в нем поперечные силы, так как сделано предположение об однородности поля изгибающих и крутящих моментов внут­ ри элемента.

В практике расчета тонких пластин методом конечных эле­ ментов широкое применение получили треугольные трехузло­ вые элементы, имеющие в качестве степеней свободы прогиб и два угла поворота нормали в каждом узле (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Треугольный конечный элемент пластины с девятью степенями свободы

Отметим некоторые особенности функций форм для тре­ угольных элементов в /.-координатах. На первый взгляд может показаться, что совершенно так же, как и в предыдущем разде­ ле, в качестве функции формы можно использовать полином. Поскольку в этом случае задается только девять независимых перемещений, в полиномиальном разложении необходимо оста­ вить девять членов. Однако полный полином третьей степени содержит десять членов [выражение (3.23)], и вопрос о том, ка­ кой именно член следует опустить, приходится решать произ­ вольно. Для сохранения некоторой симметрии полинома можно, например, оставить все десять членов, а чтобы свести количест­ во неизвестных к девяти, приравнять два коэффициента (напри­ мер, положить / 8 = / 9). Различные варианты выбора приводят к элементам с различными свойствами. Некоторые из них рас­ смотрены в работе [1].

Как и раньше, будем использовать члены полиномиального представления. Отметим, что в 1-координатах они имеют несколько необычный вид. Например, выражение

£Т|Z] "t" O2L2 ^3^3

Рис. 3.8. Основные функции формы L-координат

Поскольку кривизна описывается только этими формами, необходимо, чтобы с помощью линейной комбинации шести та­ ких функций можно было получить любые произвольные значе­ ния кривизны во всех точках элемента при нулевых значениях w в узлах. Алгебраически это означает, что выражение

при любых значениях коэффициентов А должно иметь вид

B,(Z,22L, + CL1Z,2Z.3)+ 5 2(L2L2 + CL,L2L3)+...

при соответствующих значениях шести постоянных В. С помо­ щью некоторых алгебраических преобразований можно пока­ зать, что это возможно только при с = 1/2

ность одинарной или двойной кривизны. Хотя предположения о распределении деформаций и напряжений в поперечном на­ правлении остаются в силе, оболочка совсем по-другому, неже­ ли пластина, воспринимает внешние нагрузки. Результирующие напряжений на площадках, параллельных срединной поверхно­ сти оболочки, теперь имеют компоненты, нормальные к этой поверхности, и уравновешивают основную часть нагрузки. Это обстоятельство объясняет экономичность оболочек как несущих конструкций и их популярность.

Вывод основных уравнений, описывающих поведение обо­ лочки, связан с большими трудностями и в зависимости от вве­ денных допущений приводит к различным формулировкам. Классическая теория оболочек подробно изложена во многих учебниках по этому предмету, например, в хорошо известной книге [9].

Применение метода конечных элементов к решению задач теории оболочек в общем случае устраняет упомянутые выше трудности за счет введения дополнительного допущения. Оно носит скорее физический, чем математический характер. Пред­ полагается, что поведение непрерывной криволинейной поверх­ ности достаточно точно характеризуется поведением поверхно­ сти, составленной из малых плоских элементов.

Из физических соображений следует, что с уменьшением размеров элементов решение должно сходиться и, как показыва­ ет опыт, такая сходимость действительно наблюдается. Особого внимания требует способ задания узловых нагрузок (или массо­ вых сил).

Элементы оболочки находятся в общем случае под дейст­ вием изгибающих и мембранных сил, действующих в плоско­ сти. В плоских элементах эти силы вызывают независимые деформации при условии, если они малы; поэтому, чтобы соста­ вить матрицы жесткости, можно воспользоваться уже изложен­ ным материалом.

Для представления произвольной оболочки в виде набора плоских элементов можно использовать треугольные элементы, сходимость получается лучше, чем с четырехугольными эле­ ментами (рис. 4.1).

У

Рис. 4.2. Цилиндрическая оболочка как совокупность прямоугольных элементов (а), локальные и глобальные координаты (б)

Особый случай представляют осесимметричные оболочки вращения. Хотя, очевидно, их можно рассматривать с помощью общего метода, но к ним применим и более простой подход, ко­ торый будет рассмотрен подобно.

Крешению рассматриваемых здесь задач можно подойти

ипо-другому, а именно используя криволинейные оболочечные элементы. При этом необходимо применять криволинейные ко­ ординаты. Допущение о представлении оболочки набором пло­ ских элементов теперь исключается за счет использования той или иной теории оболочек. Несколько вариантов применения метода перемещений описано в работах [5, 8].

Один из самых простых и эффективных способов построе­ ния криволинейных оболочечных элементов состоит в исполь­ зовании теории так называемых пологих оболочек [5].

Здесь w, и, v являются нормальной и тангенциальными компонентами перемещений криволинейной поверхности, и ес­ ли считается, что все элементы касаются друг друга, то нет необходимости переходить от локальных к глобальным зна­ чениям.

Предполагается, что элемент является «пологим» относи­ тельно локальной системы координат в плоскости, проходящей через его узловые точки, а энергия деформации элемента опре­ деляется соответствующими выражениями, содержащими про­ изводные по координатам в плоскости проекции. В результате можно использовать такие же функции формы, как для плоских элементов, причем здесь интегрирование, как и ранее, прово­ дится в плоскости.

Пологие оболочечные элементы, в выражении для энергии которых содержатся члены, характеризующие взаимное влияние друг на друга мембранных и изгибных деформаций, несколько более эффективны, чем плоские элементы, для которых взаим­ ное влияние учитывается только на границе. Максимальную эффективность имеют простые элементы небольших размеров, но для более сложных крупных элементов все преимущества пропадают. Очень хорошо использование пологих элементов описано в работе [12].

4.2. Основные соотношения для оболочек вращения при осесимметричном нагружении

Оболочка вращения образована вращением произвольной плоской кривой, которая называется меридианом, вокруг оси. Введем в плоскости меридиана систему координат х, у, направив

геометрических характеристик этой кривой можно воспользо­ ваться полученными в теории стержней (см. раздел 2.1) соотно­ шениями, полагая в них z = 0.

Рис. 4.3. Осесимметричная оболочка вращения

Элемент дуги ds связан с приращением параметра £ соот­ ношением ds = A d ^,B котором

Штрихом отмечается дифференцирование по £,. Направление касательной к меридиану характеризуется

единичным вектором ё, =Хиех + Х1уёу или, что то же самое, матрицей его направляющих косинусов,

где в соответствии с (2.5)

<4 -3)

Через ех, ёу обозначены орты координатных осей х, у;

вектор ё, направлен в сторону возрастания параметра £,.

Кроме вектора ё, введем нормальный к меридиану вектор

ё„ с матрицей направляющих косинусов

Направление еп выберем таким образом, чтобы поворот ё, до совмещения с ёп по кратчайшему пути осуществлялся в ту же сторону, что и поворот ёх до совмещения с ёу . Тогда

Радиус кривизны меридиана R считаем положительным, если центр кривизны удален от меридиана в направлении, про­ тивоположном направлению вектора ё„ . Значение R в общем случае может быть подсчитано по формуле, известной из анали­ тической геометрии:

1 _ х У -у 'х "

которой с учетом (4.1) и (4.3) можно придать вид

(« >

Угол ф между нормалью к меридиану и осью оболочки оп­ ределяется как угол, на который нужно повернуть ось у, чтобы ее положительное направление совпало с положительным на­ правлением вектора ё,. При этом считаем угол ф положитель­

ным, если поворот происходит в сторону оси х, тогда

на касательное к меридиану направление, а «„-проекцию на нормальное к меридиану направление. Соответствующие им компоненты поверхностной нагрузки обозначим q,, qn . Их по­

ложительные направления совпадают с направлениями векто­

Рассмотрим слой оболочки на расстоянии z от срединной поверхности; отсчет положительных значений z ведется в по­ ложительном направлении ё„. Все величины, относящиеся к этому слою, будут помечаться дополнительным верхним ин­ дексом z . Считая, что толщина оболочки h значительно меньше радиуса кривизны R, и учитывая, что \z\ < h/2, можно не делать различия между геометрическими характеристиками срединной поверхности и слоя:

Кроме линейных деформаций ef, е2, в оболочке возникает деформация поперечного сдвига 8|3. Она равна изменению угла

между нормалью и касательной к меридиану, и ее можно найти как сумму двух углов, один из которых равен ф , а второй есть угол поворота касательной. Последний будем считать положи­ тельным, если угол между ёп еп становится острым. Оконча­ тельно, выражение имеет вид

проекции перемещений на направления осей х, у, которые обо­

Для определения деформации е, по перемещениям их, иу

воспользуемся общей формулой (2.9), из которой применитель­ но к рассматриваемому случаю вытекает равенство

что для деформации поперечного сдвига имеет место равенство

Так же, как и в случае изгиба пластин, можно наметить два пути построения конечноэлементной модели оболочки. В пер­ вом варианте выполняется независимая аппроксимация функций

и,, ип (или их, иу) и ф, а деформация сдвига е13 учитывается

вместе с ef, z\ в матрице деформаций. Другой подход основан на использовании гипотезы прямых нормалей, в соответствии с которой е)3 = 0 . В этом случае аппроксимируются лишь пере­ мещения и,, м„ (или их, иу), а для вычисления угла ср исполь­ зуется одно из равенств

А

вытекающих из (4.9) или (4.13) при е13 = 0 . Матрица деформа­ ций будет включать только две компоненты ef, z\. Далее бу­ дут рассмотрены оба подхода.

При идеализации оболочки вращения ее срединную по­ верхность разбивают на пояса плоскостями, перпендикулярны­ ми ее оси. Эти пояса рассматривают в качестве конечных эле­ ментов. Геометрия этих элементов обычно задается координа­ тами узлов (и иногда значениями угла в узлах), для определения самой кривой применяется приближенная аппроксимация. Для оболочек простой геометрической формы, например сфериче­ ской, можно определить все необходимые геометрические па­ раметры точно.

4.3. Изопараметрические конечные элементы оболочки вращения

Рассмотрим построение матрицы жесткости конечного элемента оболочки вращения изопараметрического типа. На рис. 4.4 представлены конечные элементы первого (рис. 4.4, а), второго (рис. 4.4, б), и третьего порядков (рис. 4.4, в), имеющие

Рис. 4.4. Конечные элементы осесимметричных оболочек

соответственно два, три и четыре узла. Исходными данными для них служат координаты узлов хг,у г и значения толщины h

в узловых точках. Уравнение меридиана в общем случае можно задавать приближенно с помощью равенств

х = iw ,te )* r> у = Z N fe ) y r >