Первое слагаемое в скобках есть скалярное произведение двух ортогональных векторов, следовательно, оно равно нулю. Кроме того, можно пренебречь величиной е по сравнению с единицей. Окончательное выражение для угла поворота

и третьего порядков изображены на рис. 1, а, б, в.

Геометрия элементов задается координатами узлов с уче­ том изопараметрической формулировки для определения кри­ вой, проходящей через эти узлы. Напомним, что изопараметрические элементы - это элементы, в которых функции, исполь­ зуемые для представления поведения при деформировании, используются также и для описания геометрии элемента. По­ строение изопараметрического элемента представляет собой преобразование безразмерного прямолинейного элемента с за­ данным числом узлов в реальный криволинейный элемент с тем же числом узлов.

Введем вспомогательные отрезки прямой линии. Положе­ ние текущей точки отрезка определяется координатой £ , кото­ рая отсчитывается от его середины и принимает на концах зна­ чения ± 1. Отображение отрезков на конечные элементы выпол­ няется с помощью выражений:

* = 2 Х ( ф г. (2.12)

где суммирование ведется по всем узлам конечного элемента. Каждая из функций формы Nrfe) принимает единичное значе­

ние в узле г и обращается в нуль в остальных узлах конечного элемента. Для ферменного конечного элемента в качестве функ­ ций формы можно выбрать следующие функции:

отображающиеся в узлах конечных элементов. Для элементов

Обычно принимается с0 = 1/3 или с0 =l/V J

В соответствии с изопараметрической формулировкой за­

пишем закон аппроксимации перемещений {и} = {их иу и: ) 7 конечного элемента по узловым перемещениям:

{ф(ЧЬ

Этот результат совпадает с формулами для матрицы жесткости, полученными в первом разделе для ферменного элемента (1.5), но записанными в глобальной системе координат.

Аналогично в глобальной системе координат можно запи­ сать и матрицу жесткости балочного элемента (1.10)

И = [ х г,] [ * ,Ж 1 (г,1 = / , Д

где общая матрица направляющих косинусов имеет вид

Блок - это матрица - строка, состоящая из направ­

ляющих косинусов между осью, перпендикулярной, оси стерж­ ня, и глобальными осями х, у, z. Единица стоит на месте углов поворота нормали <рЛ, так как при переходе от одной системы координат к другой их значение не меняется.

Глава 3 КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАСТИН

3.1. Основные соотношения теории изгиба пластин

В классической теории пластин, чтобы упростить задачу и свести ее к двумерной, с самого начала вводятся некоторые гипотезы, а именно делаются предположения о линейном изме­ нении деформаций и напряжений по нормали к плоскости пла­ стины. Так называемые точные решения теории пластин спра­ ведливы только тогда, когда справедливы эти допущения, т.е. если пластины тонкие и прогибы малы.

Деформированное состояние пластины полностью описы­ вается одной величиной - прогибом w срединной поверхности пластины. Однако теперь условие непрерывности между эле­ ментами должно быть наложено не только на эту величину, но и на ее производные. Это необходимо для того, чтобы пла­ стина оставалась сплошной и не появлялись изломы. Поэтому в каждой узловой точке обычно приходится удовлетворять ус­ ловиям равновесия и непрерывности.

Выбрать подходящую функцию формы теперь гораздо сложнее. В самом деле, если на границе между элементами тре­ буется выполнение условия непрерывности угла наклона, то не­ пропорционально возрастают математические и вычислитель­ ные трудности. Однако относительно просто получить функции формы, которые, сохраняя непрерывность w между элемента­ ми, допускают нарушение непрерывности угла наклона, хотя, конечно, не в узловых точках, где условия непрерывность зада­ ны. Если такие функции удовлетворяют критерию постоянства деформаций, то решение может сходиться. В третьей части это­ го раздела рассматриваются именно такие несогласованные функции формы, во второй части - другие функции, которые позволяют удовлетворить условиям непрерывности. С помощью этих согласованных функций можно получить более коррект­ ное, но, как правило, менее точное решение. Для практического применения рекомендуются функции, описанные в третьей час­ ти этого раздела.

Напряжения определяются по формулам закона Гука, учи­ тывая, что нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной плоскости, малы по сравнению с компонентами

или а уу, т.е. предполагается а ,,= 0. Для случая изотропного материала:

Данные формулы можно взять за основу при выводе мат­ рицы жесткости конечных элементов, осуществляя независи­ мую аппроксимацию функций и,, cpt , ср^ по их узловым значе­

ниям. Совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Но примене­ ние данных элементов к расчету особенно тонких пластин при­ водит к появлению ложных деформаций сдвига, появляющихся при чистом изгибе. Эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование ми­ нимально допустимого порядка интегрирования соответствую­ щих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Дан­ ные конечные элементы могут использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин.

В другом способе построения конечных элементов пласти­ ны используют гипотезу прямых нормалей. В соответствии с этой гипотезой отрезок, нормальный к срединной плоскости до деформации, остается перпендикулярным и к деформирован­ ной срединной плоскости. Такое допущение приемлемо только в случае достаточно тонких пластин, у которых толщина со­ ставляет не более 1/20 от характерного размера в плане. Так как угол между нормалью и срединной плоскостью остается пря-