в = №]{«},
где [Р] - матрица преобразований перемещений в деформации. Введем соотношения между напряжениями и деформация
ми с помощью матрицы упругих констант [£>]. В случае стерж невого элемента
I ]_
[Z)] = Е, а = (Ух = Ее = Е
I I
или
a = [Z>HP].
Напомним, что матрица жесткости вводилась с помощью равенства {Р} = [к]{и}у которое позволяет оценивать усилия в заданных точках. Поэтому следующий шаг - преобразование напряжений в узловые силы. Вектор узловых сил для данного элемента имеет вид
-1
F
1
ь II > Л
fel /
1 -1
-1 |
1 _ |
где F - площадь поперечного сечения стержня.
Таким образом, матрица жесткости ферменного элемента имеет вид
-1
(1.5)
1
Балочный элемент (BEAM)
Алгоритм построения матрицы жесткости аналогичен стержневому элементу. Функции формы выберем в виде (1.3), вектор перемещений имеет вид
V
М Ч w2я>1
<p2 J
Деформации в случае изгиба равны кривизнам (вторым
производным), т.е. w" Следовательно,
(1.6)
гас N ;= - N ; = ^ - \ ) , щ = |
3S- 2) , к = |
з^ - i). |
Кроме того, напряжениями в этом случае можно считать внутренние изгибающие моменты, и определяющее соотноше ние запишется в виде
М* = EIw" ,
где I - момент инерции сечения. Согласно (1.5) получим
щ
w. |
- 6 |
41 |
6 |
21 |
Я>1 >= №]{«}. |
(1.7) |
\w-, |
6 |
-21 |
- 6 |
|
||
-41 w, |
|
|||||
Фз
Рассматривая условия равновесия сил, необходимо заме тить, что внутренние моменты М\ и Мг в узлах 1 и 2 соответст венно считаются положительными, если им отвечает положи
тельная кривизна (см. рис. |
1.8 и 1.5). Поэтому М \= М Х, |
а М\ = -М 2 . |
|
М' |
М' |
Рис. 1.8. Положительное направление внутренних изгибающих моментов
' P i' |
'-1 |
1" |
|
|
м , |
_ 1 / |
0 |
( 1.8) |
|
< |
1 |
-1 |
||
|
||||
|
|
|||
М 2 . |
0 |
- 1 |
|
учитывая физические соотношения,
I м х |
L - |
О w, |
|
|
• |
|
|
|
|
I м : |
= Е1 |
W, |
• = Р]{е}, |
(1.9) |
|
Окончательно объединяя уравнения (1.7)—(1.9), получим выражения для матрицы жесткости балочного элемента
' |
6 |
-31 |
- 6 |
-31 |
|
|
2EI |
-31 |
и 1 |
31 |
12 |
(1.Ю) |
|
1г |
- 6 |
31 |
6 |
31 |
||
|
||||||
|
-31 |
12 |
31 |
2/2 |
|
1.4. Численное интегрирование методом Гаусса
При вычислении матрицы жесткости многих конечных элементов, рассмотренных ниже, приходится прибегать к чис ленному интегрированию. Поскольку интегрирование матрицы осуществляется интегрированием каждого ее элемента, то дос таточно рассмотреть интегралы от скалярных функций вида
-1 |
J |
1 / Ы ^ л - |
-1 |
-I |
1
Начнем с простого интеграла ]/(£,)<#,. -I
Обычный способ приближенного интегрирования заключа ется в следующем. В нескольких точках £, = £,, взятых на ин тервале интегрирования, вычисляют значения подынтегральной
функции |
f-, = /(£ ,,). Далее на |
№ « о / |
|
ходят полиномиальную функ |
|
||
цию (p(f,), проходящую через |
|
||
точки |
($ „ /;), |
>/2) |
|
(рис. 1.9), и вычисляют инте- |
|
||
грал |
величину коРис, , 9. Численное интагрирова- |
|
торого принимают в качестве |
ние |
|
|
||
приближенного значения интеграла от /(^ ) . В итоге получают формулы численного интегрирования (или квадратурные фор мулы), имеющие вид
) т я , = Ъ , т ) ,
_1 |
<=1 |
|
|
где п - число точек интегрирования; а, - |
так называемые весо |
||
вые коэффициенты, значения |
которых |
зависят от |
количества |
и расположения точек интегрирования |
. Точки |
, в которых |
|
необходимо вычислять подынтегральную функцию, выбирают различными способами.
В методе Гаусса их определяют из условия, чтобы квадра турная формула при фиксированном числе п имела максимально
высокий порядок. Здесь в качестве |
неизвестных выступают |
|
не только весовые коэффициенты |
а„ но и значения |
и |
можно потребовать, чтобы данная формула давала точный ре
зультат для функций 1, £ , £,2, ^2п“| Получающиеся отсюда
2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и . Фор
мулы численного интегрирования, построенные таким спосо бом, имеют порядок (2п - 1) и носят название квадратурных формул Гаусса.
Положение точек Гаусса определяются иррациональными числами. Приведем некоторые значения:
для п = 1 £ = 0; а\ = 2;
для п = 2 = -£ , = l/л /з; а\ = а2= 1;
ДЛЯ п = 3 |
= Тз/5; ^2 = 0; <3, = а3= 5/9; а2= 8/9. |
При вычислении интеграла |
|
|
-I -1 |
от функции двух |
переменных можно принять сначала, что |
т| = const, и проинтегрировать по £,:
-I /=1
где щ - число точек Гаусса в направлении £ •
Затем интегрируем вторично в направлении т |:
-|<=1 |
/=| у=1 |
где л2число точек Гаусса в направлении т|. Отсюда оконча
тельная формула интегрирования имеет вид
! |
|
= E Z a ,a y/(^ ,T iy). |
|
-1 |
-1 |
|
/=1 7=1 |
Координаты |
точек |
Гаусса |
и веса а,-,**. совпадают |
с соответствующими значениями для одномерного случая. Очень важен вопрос о выборе числа точек интегрирования.
Точность будет тем выше, чем больше этих точек. Существует минимально допустимый порядок интегрирования, ниже кото рого исчезает сходимость метода при сгущении сеток.
Ниже приведены минимально допустимые и рекомендуе мые числа точек Гаусса для элементов, которые будут рассмот рены далее.
стью на растяжение-сжатие. Изгибной жесткостью стержня пре небрегают, учитывая, что она мала по сравнению с изгибной жесткостью поперечного сечения балки в целом. Таким обра зом, можно считать, что все величины, характеризующие на пряженное состояние стержня, зависят только от одной пере менной, обычно от дуговой координаты.
Пусть уравнение осевой линии стержня задано в парамет рической форме:
z = zfe)- |
(2Л) |
Каждому значению параметра £, соответствует некоторая точка М (дг, у, z). В совокупности эти точки образуют простран ственную кривую, и параметр £, можно рассматривать как кри
волинейную координату этой кривой.
Если дать параметру \ малое приращение dt, , то получим
точку N с координатами x+dx, y+dy, z+dz, где dx, dy, dz опреде ляются формулами
dx = — dt„ |
dy = ^-d $ , |
dz = — dt, |
(2.2) |
d~ |
d$ |
dt, |
|
и представляют собой проекции отрезка MN на координатные |
|||
оси. Длина этого отрезка |
ds = ydx2 +dy2 +dz2 может быть за |
||
писана с учетом (2.2) как |
|
|
|
|
ds - Adt,, |
|
(2.3) |
где
А=. Гdx>2+м 2+f- 1 1U ; k J А
Из формулы видно, А - коэффициент, на который нужно умножить приращение dt, , чтобы получить длину соответст вующего отрезка рассматриваемой кривой.
Отрезок ds составляет с осями х, у, z углы, косинусы кото рых обозначим через Х ^,Х ^,Х ^. Разделив координаты dx, dy, dz на длину ds, получим
1 |
dx |
1 dy i |
1 dz |
(2.5) |
|
^ ~ A |
d t ; |
iy ~ A d $ ; |
* = A d t,' |
||
|
Предполагается, что отрезок ds имеет направление от точ ки М к точке N, т.е. в сторону возрастания параметра £.
Обозначим матрицу-строку направляющих косинусов как
|
{^5} = |
|
• |
(2 .6 ) |
|
Пусть |
точки кривой |
получают |
малые |
перемещения |
|
«(& v ( a |
w(4) в направлении осей х, у, z соответственно. Де- |
||||
картовые |
координаты |
деформированной |
кривой будут |
||
х" =х + и, у' = y + v, z* —z + w |
|
|
|||
Найдем параметр А* деформированной кривой, подставив |
|||||
для этого х*, у *,z* вместо х, у, z: |
|
|
|||
|
Гd(x + u) |
2 |
d{y + v) 2 |
d{z + w) |
|
|
L |
+ |
[ |
J L ^ |
J J |
Учитывая малость перемещений и их производных, отбро сим слагаемые, содержащие произведения этих величин. Тогда, с учетом формулы (2.3),
А* = .\а 2+ 2 dx du dy dv dz dw
J
Обозначим
dx du dy dv |
dz dw |
e = |
(2.7) |
и приведем это выражение к виду А* = А у 1 + 2е
Разложим последнее выражение в степенной ряд по степе ням 8 , удержим в разложении два первых слагаемых и получим
Л*=(1 + е)Л.
Длина деформированного отрезка MN аналогично будет
ds' = A'd^ = (l + z)Adt,. |
(2.8) |
Известно, что осевая деформация равна |
отношению |
ids' -d s)/d s, подставив сюда формулы (2.3), (2.8), |
можно убе |
диться, что е есть искомая деформация в точке М.
Введем матрицу-столбец перемещений {и} = [м v w]r ,
тогда выражение для деформации с учетом (2.5) и (2.6) можно переписать в виде
|
|
е = |
(2.9) |
где ^{и} |
du |
dv dw IT |
матрица производных от переме |
А |
- |
||
|
А |
|
щений по переменной £,.
Выведем формулу для вычисления углов поворота отрезка ds при деформировании. Для этого введем единичный вектор
ё^, направленный по касательной к недеформированной осевой
линии стержня |
ds от точки М до точки N . Его проекции на оси |
|||
x,y,z есть направляющие косинусы отрезка ds : |
||||
|
|
—"К^свх + "К^ву + |
, |
|
где |
ёх,ёу,ёг |
- орты |
осей х, у, |
z. Пусть, далее, |
ё0 - |
\ хёх +Х0уёу + ?L0.e, - |
некоторый единичный вектор, орто |
||
гональный вектору ё^ . |
|
|
||
|
В результате деформации отрезок ds повернется и угол ме |
|||
жду векторами |
ё^ и ё0будет отличаться от прямого на величину, |
|||
которую обозначим со0 . Величина ш0 считается положитель ной, если угол между ё0 и единичным вектором ё \ , касатель ным к деформированной кривой в точке М становится острым. Косинус угла л /2 -со 0 определим из скалярного произведения
векторов ё0 и е \ :
cos(n/2 - (о0 ) = ё0 • Ц .
Но cos(m/2-(o0) = sin(co0)« (o 0, так как угол о>0-величина малая. Отсюда приходим к выражению
®0 = е0' ^4 = |
А-ОуА.^, |
’ |
или в матричной форме |
|
|
ю0 = { М ( Ч Г}. |
(2.10) |
|
где (ЧМ ч» % ч . - |
матрица направляющих косинусов |
|
деформированного отрезка ds* Проекции этого отрезка на ко ординатные оси имеют вид
Разделив эти проекции на длину ds* = (l + z)Ad^, получим
направляющие косинусы:
А* = • |
1 |
. |
1 du |
|
|
А,,. + ------ |
|||
|
1 + S |
* |
Ad!; |
|
4 v = - |
|
|
. |
1 dv |
1 + е |
А-tv ^------ |
|||
|
^ |
AdE, |
||
K ,= - |
|
A-EZ |
1 dw'' |
|
|
A ~ ^ ; |
|||
|
1 + E |
|
||