Метод конечных элементов широко используется для рас­ чета различных конструкций. На его основе создано множество пакетов прикладных программ, тем не менее знание основ мето­ да необходимо для правильного выбора аппроксимирующих функций, типа и формы конечных элементов. В данном учебном пособии рассматривается метод конечных элементов в переме­ щениях применительно к линейным задачам строительной механики, объектами изучения которой являются стержни

истержневые системы, пластины и оболочки. В силу геометри­ ческих особенностей к данным конструкциям не применимы конечные элементы массивных тел, которым посвящены прак­ тически все монографии по методу конечных элементов, поэто­ му целью работы является приложение данного метода именно к расчету тонкостенных конструкций.

Основы метода, построение конечно-элементных соотно­ шений подробно рассмотрены на примере стержней: элементов ферменных конструкций (стержневой или ферменный элемент)

иэлементов рам (балочный элемент). Так же построены матри­ цы жесткости для четырехугольных конечных элементов пла­ стин, конечных элементов оболочек вращения и оболочек про­ извольной формы. Каждый раздел начинается с основных мате­ матических формул и сведений из теории стержней, тонких пластин и оболочек. Кроме того, в скобках приведены названия соответствующих конечных элементов из прикладного пакета ANSYS, который широко используется на кафедре вычисли­ тельной математики и механики и которому обучаются студен­ ты специальности «Компьютерная механика» после изучения курса «Строительная механика».

Раздел «Применение численных методов к расчету строи­ тельных конструкций» (в том числе и метода конечных элемен­ тов) идет параллельно с изучением курса «Вычислительная ме­ ханика», где данный метод подробно излагается. Поэтому неко­ торые вопросы, связанные с построением глобальных матриц, учетом граничных условий, решением систем алгебраических уравнений в данном учебном пособии опущены, предполагает­ ся, что студенты с ними знакомы.

Третий раздел посвящен расчету пластин. В нем показано, как строятся конечно-элементные соотношения для совместного изопараметрического четырехугольного конечного элемента (рисунке, б) и несовместного прямоугольного элемента. Дан об­ зор треугольных конечных элементов (рисунке, в).

и несимметричной нагрузках (рисунке, г), а также самый общий случай произвольной оболочки (рисунке, д, е).

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ

1.1. Основные сведения из теории метода конечных элементов

Существует три основные группы методов построения конечно-элементных уравнений: методы перемещений (жестко­ сти), методы сил (податливости) и смешанные методы. В дан­ ном учебном пособии рассматривается вывод уравнений жесткости, т.е. вид соотношений между узловыми силами и уз­ ловыми перемещениями. Уравнения жесткости для элемента яв­ ляются линейными алгебраическими уравнениями, которые за­ писываются в виде

И=М{«Ь

где \к\ - матрица жесткости элемента, а {/*}, {и} - соответ­ ственно векторы сил и перемещений для элемента.

Таким образом, непрерывное тело представляется в виде совокупности конечных элементов, жесткостные свойства каж­ дого из которых рассматриваются независимо от остальных. На границах между конечными элементами выбираются неко­ торые точки - узлы, перемещения узлов в направлении коорди­ натных осей, а также производных от перемещений принимают­ ся в качестве узловых неизвестных.

Для того чтобы определить перемещения (а затем дефор­ мации и напряжения) внутри конечного элемента, зная переме­

в некоторых подходах, используемых в конечно-элементном анализе, чаще предпочтительнее задавать рассматриваемые поля непосредственно в терминах степеней свободы, т.е. в виде функции формы. Это можно осуществить с помощью процеду­ ры интерполяции. Рассмотрим применение этой процедуры к функциям формы в одномерном случае.

Интерполяция Лангранжа

Интерполяция Лангранжа позволяет определить коэффици­ енты полиномиального представления функции через значения

Рис. 1.2. Интервалы для интерполяции Лагранжа

Расположение точек определяется физическими координа­ тами х\,хг, ..., -Xmi 1- Требуется определить функцию и, прини­ мающую определенные значения щ, и2, ит+) точках. Это можно осуществить, придавая полиному m-го порядка в данных точках указанные значения. Результирующее выражение име­ ет вид

Для одномерного случая уже имеется в наличии формула, полу­ ченная Лагранжем:

ЛЦ*) = П 7 ----- ^ /=I (х, -X j)

где символом ]Д обозначено произведение указанных разно­

стей [(* - или (л:/—д:,)] в заданном диапазоне изменения j.

Вразвернутой форме рассмотренные выражения запишутся

вследующем виде:

N ( х - * 2Х * -* 2 )-(* -* » + |)

' (*| - *2 К * !" *3 )••(*, - * т +1) ’

2 (* 2 -* ,)(* 2 -* э )-(* 2 -*«+ !)’

( х - х {)( х - х 2)...(х-хт)

(хт+1-х,)(д:т+1 - х 2)...(хтА - х т)

В качестве примера рассмотрим простейший стержневой элемент с двумя узлами (см. рис. 1.1), т.е. cm - 1. В этом случае

что является обычным представлением для этого типа элемента. Для трех точек на линии (рис. 1.3) имеем т = 2. Опять

х\ = 0, и при равномерном разбиении х3 = 2х2. Таким образом,

Рис. 1.3. Трехузловой стержневой элемент

Для построения функций формы конечных элементов обычно применяют систему локальных нормированных коорди-

К недостаткам лагранжевой интерполяции следует отнести то, что при большом числе узловых точек (т.е. при использова­ нии полиномов высоких степеней) она не всегда приводит к же­ лаемым результатам. Хотя кривые, отвечающие полиномам, и проходят через заданные точки, в интервалах между точками они могут существенно отличаться от значений и(х) за счет своеобразных колебаний аппроксимирующей функции й(х). Этот дефект полиномиальной аппроксимации называют осцил­ ляцией. Для сглаживания осцилляции целесообразно использо­ вать полиномы более низкого порядка в сочетании с аппрокси­ мацией по методу наименьших квадратов.

Эрмитова интерполяция

В задачах изгиба требуется аппроксимировать как функ­ цию, так и ее производные. В других случаях, когда представле­ ние первой производной не существенно, возможно желательнее ввести первую производную и даже производные более высоко­ го порядка в качестве степеней свободы. Это можно осущест­ вить с помощью эрмитовой полиномиальной интерполяции, ко­ торую рассмотрим на примере балочного элемента с двумя уз­ лами (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Балочный одномерный элемент

Рассмотрим нормированный интервал, соединяющий точки 1 и 2 в координатах ^ = х/l, как показано на рис. 1.5. Требуется

построить функцию и, которая вместе со своими производными до (m -l)-ro порядка включительно удовлетворяет рассматри­ ваемым условиям в граничных точках. Эта функция может быть записана в виде функции следующим образом:

и = N\U\ + N2 щ' + + + Nm+]u2+ Nm+iUi + + N2mu2m'\

где верхние индексы у щ и и2 (например, т -1) означают поря­ док производных по х. Теперь в нашем распоряжении имеется 2т условий для построения каждой функции формы Nh так как каждая функция формы (или ее соответствующая производная) должна равняться 1, если и (или ее соответствующая производ­ ная) вычисляется для степени свободы, отвечающей Nh и долж­

в практике выбору полиномиального описания функции поведе­ ния, заключаем, что существование 2т условий предполагает описание каждой функции У, полиномом порядка 2т коэффици­ ентов.

Далее разрешаем полученные выражения относительно 2т величин ah Указанные операции повторяем для каждой из 2т функций формы N,.

Вышесказанное можно проиллюстрировать на примере простого балочного элемента, изображенного на рис. 1.5. Так как предполагается, что на каждом конце поперечное переме­ щение w и его первая производная непрерывны, то т - 2. Здесь и = w в точке 1 щ = wь

Аналогичные равенства справедливы и для точки 2. Следу­ ет, что каждая функция формы в этом случае имеет вид

М = а ,+ а ^ + а3^ + а4^

Рассмотрим теперь построение функции N\. Вначале пред­ ставим ее в виде

= <3| + а £ + а3 £? + Щ^

Полагая N\ = 1 при х = О, N\ = 0 при х - /, a N\ = 0 на обоих кон­ цах х = 0 и х = /, получим

l = a i (N\ —1 при 4 = 0),

О = а2П (N'\ = 1 при £ = 0),

О = (oi + а2 + о3 + а4) (N'\ = 0 при ^ = 1),

Откуда <3| = 1, а2= 0, о3 = -3, а4= 2, поэтому N\ = 1 - З^2 + 2£3. Аналогичным образом находим, что оставшиеся функции

формы, имеют вид

2JC

При использовании нормированной координаты ^ = —— 1,

которая в узлах принимает значения ±1, для балочного элемента функции формы записываются в следующем виде:

Функции формы должны иметь размерности, которые обеспечат появление членов, имеющих размерность перемеще­ ния. Поэтому появились множители х у выражений N2и N4, т.к. Ф, , ф2 измеряются в радианах.

Подобно тому, как формула Лагранжа позволяет интерпо­ лировать функцию по отдельным ее значениям, заданным

на сетке узловых точек, формула Эрмита Позволяет интерполи­ ровать функцию по значениям как самой функции, так и ее про­ изводных. В этом смысле полиномы Эрмита являются обобще­ нием полиномов Лагранжа.

Графическое представление кубических полиномов Эрмита показано на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Кубические интерполяционные полиномы Эрмита

Анализируя соотношения, вновь отмечаем особенность, присущую этому виду интерполяции. Между полиномами суще­ ствует своеобразное «разделение труда», т.е. каждый полином N, отвечает за выполнение одного из исходных условий в «сво­ ем» узле и не мешает выполнять аналогичную задачу остальным полиномам.

Чтобы обобщить концепцию интерполяции на двумерный случай и построить функции, которые однозначно определяются на каждой стороне прямоугольной с помощью заданных на этих сторонах и вершинах прямоугольника степеней свободы, можно использовать простое перемножение одномерных в направлени­ ях х и у функций форм.

Изображенный на рис. 1.7 прямоугольник с узлами, распо­ ложенными только в его вершинах, для которого требуется най­ ти линейное поле перемещений, служит примером указанной процедуры.