Введение в математическое программирование

Переменные yi ( i =1,4 ) называют двойственными оценками

или теневыми ценами.

Задачи (3.7.1)–(3.7.3) и (3.7.4)–(3.7.6) называют парой вза-

имно двойственных задач. Так как обе задачи записаны в симметричной форме, их принято называть парой симметричных двойственных задач.

В общем виде пара симметричных взаимно двойственных задач имеет следующий вид:

Можно показать, что если в качестве прямой принять задачу (3.7.4)–(3.7.6) об определении оптимальных оценок на сырье, то двойственная к ней будет задача (3.7.1)–(3.7.3) об определении оптимального плана выпуска продукции.

Очевидно, что, имея математическую модель одной из пары взаимно двойственных задач, можно построить модель двойственной к ней задачи.

Сопоставляя модели (3.7.1)–(3.7.3) и (3.7.4)–(3.7.6) пары двойственных задач, можно установить следующие правила построения взаимно двойственных задач.

1.Если в прямой задаче требуется максимизировать целевую функцию, то в двойственной к ней целевая функция минимизируется, и наоборот.

2.Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче, а число переменных в прямой задаче равно числу ограничений в двойственной.

3.Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи транспонированием.

41

4.Коэффициенты сj целевой функции прямой задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи.

5.Свободные члены bi системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

6.Если прямая задача задана на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа ≤. Двойственная ей задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа ≥.

7.Все переменные в обеих задачах неотрицательны.

Несимметричные двойственные задачи

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме:

n

Z = ∑c j x j (max); (3.7.7)

j=1

Для того чтобы составить задачу, двойственную к задаче (3.7.7)–(3.7.9), преобразуем ее к симметричной форме.

Заменим ограничения – равенства системы (3.7.8) системой равносильных неравенств:

Умножив второе из неравенств (3.7.10) на (–1), получим задачу в симметричной форме:

n

Z = ∑c j x j (max); (3.7.11)

j=1

42

Согласно правилам составления двойственных задач вводим двойственные переменные yi′ и yi′′ для каждой системы

ограничений (3.7.12) и (3.7.13). Задача, двойственная к зада-

че (3.7.11)–(3.7.14), примет вид

Если переменную yi считать соответствующей i-му огра-

ничению (3.7.8) прямой задачи, то из соотношений (3.7.15)– –(3.7.17) получим двойственную задачу в виде

m

F = ∑bi yi (min) ; (3.7.19)

i=1

m

∑aij yi ≥ c j ( j =1, n) . (3.7.20)

i=1

Из соотношений (3.7.17)–(3.7.18) следует, что переменные yi могут принимать как положительные, так и отрицательные

значения, а также быть равными нулю.

Задачи (3.7.7)–(3.7.9) и (3.7.19)–(3.7.20) представляют собой пару несимметричных двойственных задач:

43

Теперь рассмотрим задачу линейного программирования в общем виде и составим для нее двойственную задачу:

Итак, двойственная задача для задачи со смешанными ограничениями составляется с соблюдением следующих дополнительных правил:

1. Если на переменную x j прямой задачи наложено условие

неотрицательности, то j-е условие системы ограничений двойственнойзадачи записывается в виде неравенства, инаоборот.

2. Если на переменную x j прямой задачи не наложено ус-

ловие неотрицательности, j-е ограничение двойственной задачи записывается в виде равенства.

3. Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагается условие неотрицательности.

Очевидно, что задача, двойственная к двойственной, совпадает с исходной. Поэтому безразлично, какую задачу принять в качестве прямой, а какую – в качестве двойственной. Следует говорить о паре взаимно двойственных задач.

44

Сформулируем некоторые свойства пары симметричных взаимно двойственных задач.

Теорема 3.7.1

Неравенство (3.7.21) называется основным неравенством теории двойственности.

Экономическое содержание неравенства (3.7.21) состоит в том,

что для любого допустимого плана производства X и любого

допустимого вектора оценок ресурсов Y общая созданная стоимость не превосходит суммарной оценки ресурсов.

Теорема 3.7.2 (критерий оптимальности Канторовича) Если для некоторых допустимых планов X * и Y * пары

двойственных задач выполняется равенство Z(X *) = F(Y*) , то

X * и Y * являются оптимальными планами соответствующих задач.

Экономическое содержание критерия оптимальности Канто-

ровича состоит в том, что план производителя X и вектор оценок

ресурсов Y являются оптимальными, если цена всей производимойпродукции исуммарная оценка ресурсов совпадают.

Теорема 3.7.3 (малая теорема двойственности)

Для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.

Основные теоремы двойственности

Теорема 3.7.4 (первая основная теорема двойственности) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное реше-

ние, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстре-

45

мальные значения целевых функций равны: Z(X *) = F(Y*) .

Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых планов, то система ограничений другой задачи противоречива.

Экономическое содержание первой основной теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем доход, полученный при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов.

Следовательно, план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Теорема 3.7.5 (о дополняющей нежесткости)

Для того чтобы планы X * (x1*, x2* , ..., xn* ) и Y * (y1*, y2* , ..., ym* )

Условия (3.7.22) и (3.7.23) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом должно быть равенством.

n

Таким образом, если ∑aij x*j < bi , то yi* = 0 ;

j=1

46

n

если же yi* > 0 , то ∑aij x*j = bi .

j=1

m

Точно так же, если ∑aij yi* > c j , тоx*j = 0 ;

i=1

m

если же x*j > 0 , то ∑aij yi* = c j .

i=1

С экономической точки зрения это означает, что если по оптимальному плану X * производства расход i-го ресурса строго

меньше его запаса bi, то в оптимальном плане Y * соответствующаядвойственнаяоценка единицыэтогоресурсаравнанулю.

Если же в некотором оптимальном плане оценок его i-я компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу.

Отсюда вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полностью) имеет нулевую оценку.

Вернемся к задаче определения оптимального плана выпуска продукции. Предположим, что запасы ресурсов могут изменяться. Как эти изменения отражаются на экстремальном значении выручки предприятия?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 3.7.6 (об оценках)

Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования, точнее

∂bi i

Выясним экономическое содержание этой теоремы. Из равенства (3.7.24) следует, что ∆Z(X *) ≈ yi* ∆bi .

47

При ∆bi = 1 имеем ∆Z(X *) ≈ yi* . Следовательно, величина

двойственной оценки численно равна приращению целевой функции при изменении соответствующего свободного члена системы ограничений на единицу.

Отметим, что мы выяснили экономическое содержание двойственных оценок, применительных только кусловиям примера1.

Пример 4

Сформулировать задачу, двойственную к следующей задаче:

Z = 4х1 + 6х2 – х3 + 2х4 (min).

Задача записана в канонической форме. Будем действовать согласно сформулированным правилам. Каждому ограничению

задачи ставится в соответствие переменная yi ( i =1,3 ) произвольного знака, так как все ограничения в данной задаче – уравнения. Поскольку все неизвестные хj в исходной задаче неотрицательны и эта задача на минимум, то все четыре ограничения в двойственной задаче, соответствующие неизвестным х1, х2, х3, х4, имеют форму неравенств вида «≤» и целевая функция двойственной задачи задается на максимум. Итак, записываем задачу, двойственную к данной.

3y1 +2 y2 + y3 ≤ 4,− ó1 −4 y2 − y3 ≤ 6,4 y1 +5y2 +2 y3 ≤ −1,

2 y1 + y2 −3y3 ≤ 2,

yi – произвольного знака ( i =1,3 );

F = 6y1 + 4y2 – y3 (max).

48

Пример 5

Сформулировать задачу, двойственную к следующей задаче:

2õ1 −3õ2 + õ3 +3õ4 − õ5 =10,õ1 −6õ2 + õ3 + 2õ4 + õ5 ≥8,2õ1 − õ2 +3õ3 − õ4 + 2õ5 ≤ 4,

õ1 ≥ 0, õ3 ≥ 0, õ4 ≥ 0;

Z = 2х1 – х2 – х3 – 3х4 + х5 (min).

Задача записана в общем виде. Поскольку задача на минимум, то неравенство вида «≤» в системе ограничений следует привести к виду «≥», умножив обе его части на (–1).

Получим следующую задачу:

x1 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 ;

Z = 2х1 – х2 + х3 – 3х4 + х5 (min).

По числу ограничений в данной задаче двойственная задача содержит три неизвестные y1, y2, y3, причем неизвестное y1 произвольно, так как соответствует первому ограничению в исходной системе ограничений – уравнению. Неизвестные y2, y3 неотрицательны, так как им соответствуют ограничения – неравенства в исходной системе ограничений.

Система ограничений двойственной задачи состоит из трех неравенств вида «≤» (они соответствуют неотрицательным неизвестным х1, х3, х4) и двух уравнений (они соответствуют неизвестным х2, х5). В двойственной задаче требуется найти максимум формы F. Учитывая правила составления двойственных задач со смешанными ограничениями, получим задачу, двойственную к данной:

49

ó2 ≥ 0, ó3 ≥ 0;

F = 10у1 + 8у2 – 4у3 (max).

Пример 6

Составить задачу, двойственную к задаче из примера 1, и, зная оптимальное решение этой задачи, найти оптимальное решение двойственной, используя вторую основную теорему двойственности.

Итак, снова рассмотрим задачу

Z = 7x1 +5x2 (max).

Оптимальное решение этой задачи получено: X * = (5, 3);

Zmax* = 50.

Задача, двойственная к данной, имеет вид

F = 19y1 + 13y2 – 15y3 + 18y4 (min).

50