Введение в математическое программирование

Алгоритм метода множителей Лагранжа для задачи (4.2.1)–(4.2.2)

1. Составляем функцию Лагранжа

m

F(x1, x2, ..., λ1, λ2 , ..., λm) = f (x1, x2 , ..., xn ) + ∑λi (bi −ϕi (x1, ..., xn )).

i=1

2. Находим частные производные функции Лагранжа по x j

3.Решаем систему (4.2.3) и определяем точки, в которых функция f (x1, x2 , ..., xn ) может иметь экстремум.

4.Проверяем полученные точки на экстремум (например,

сприменением достаточных условий локального экстремума)

и определяем экстремальное значение функции f (x1, x2 , ..., xn )

в найденной точке.

Пример 13

Фирма реализует автомобили двумя способами: через магазин и через торговых агентов. При реализации x1 автомобилей

через магазин расходы на реализацию составляют 4x1 + x12 у.е., а при продаже x2 автомобилей через торговых агентов расходы

составляют x22 у.е. Найти оптимальный способ реализации ав-

томобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет

200 штук.

Составим математическую модель задачи.

Пусть x j – число автомобилей, реализуемых первым и вто-

рым способом( j =1,2) .

91

Целевая функция Z = 4x1 + x12 + x22 (min)

(суммарные издержки минимизируются). Ограничения задачи:

x1 + x2 = 200,

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Итак, математическая модель задачи имеет вид

Z = 4x1 + x12 + x22 (min) ;

x1 + x2 = 200,

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Для решения задачи применим метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид

F(x1, x2 , λ)= 4x1 + x12 + õ22 + λ(200 – x1 − x2 ).

Найдем частные производные по х1, х2 и λ и приравняем их к нулю. Получим следующую систему уравнений:

Решая систему, найдем

x1 =99, x2 =101, λ = 202; F(x1, x2 ) = 20 398.

Составим определитель из частных производных 2-го порядка для функции F(x1, x2 ) по x1 и x2 :

92

Следовательно, в силу достаточного условия существования условного экстремума, функция F(x1, x2 ) в точке x1 =99 ,

x2 =101 имеет экстремум.

Так как

F(x1, x2 ) имеет условный минимум.

Итак, оптимальное решение: X * = (99,101), экстремальное значение целевой функции:

Z(X *) = Zmin = 20 398 у.е.

Таким образом, нужно продать 99 автомобилей через магазин и 101 автомобиль через торговых агентов, при этом расходы минимизируются и составляют 20 398 у.е.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. В табл. 4.2.1 приведены данные о предприятии, производящем продукцию двух видов Р1 и Р2. Для изготовления этой продукции использованы три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов равны соответственно b1, b2, b3. Расход i-го ресурса Si на изготовление единицы продукции вида Рj равен

aij (i =1,3; j =1,2) .

Доход, получаемый предприятием от реализации единицы j-го вида продукции, равен cj ( j =1,2) .

Составить план производства, обеспечивающий предприятию максимум дохода.

Решитьзадачугеометрическимспособомисимплекс-методом.

93

в пунктах отправления А1, А2, А3, А4; b1, b2 , b3, b4 – потребности в грузе в пунктах назначения B1, B2, B3, B4; cij – стоимость

перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Требуется составить план перевозок, при котором суммарные транспортные издержки минимизируются. Решить транспортную задачу методом потенциалов.