Аналитическая геометрия

Рис. 4.3.2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 4.3.3.

Рис. 4.3.3. Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (4.3.1) a b , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может

9

быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz , вокруг оси

Oz (рис. 4.3.4).

Рис. 4.3.4. Однополостный гиперболоид вращения

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a,b, c – положительные числа.

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy . На этой плоскости z 0, поэтому

Координаты ни одной точки плоскости xOy не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz . На этой плоскости x 0, поэтому

10

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz , где действительная полуось равна c , а мнимая полуось равна b . Построим эту гиперболу (рис. 4.3.5).

Рис. 4.3.5. Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 4.3.6).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z h , h 0. Уравнения этих линий имеют вид

поверхностью только одну точку 0;0;c или 0;0; c . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть h c . Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

11

Рис. 4.3.6. Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 4.3.7.

Рис. 4.3.7. Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (4.3.3) a b , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz , вокруг оси

(рис 4.3.8).

12

Координаты только одной точки плоскости xOy могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz . На этой плоскости , поэтому

y2 z2 0. b2 c2

Это уравнение пары прямых z bc y на плоскости yOz . Построим эти прямые (рис. 4.4.1). Сечение плоскостью xOz также является парой прямых с уравнением z ac x . Нарисуем и эти прямые (рис. 4.4.1).

Рис. 4.4.1. Сечения конуса координатными плоскостями

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z h , h 0. Уравнения этих линий

Нарисуем полученные сечения (рис. 4.4.2).

14

где a и b – положительные числа.

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости xOy , yOz и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy . На этой плоскости , поэтому

x2 y2 0. a2 b2

Координаты только одной точки плоскости xOy могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz . На этой плоскости , поэтому

z y2 . b2

Это уравнение параболы на плоскости yOz . Построим ее (рис. 4.5.1). Сечение плоскостью xOy также является параболой. Нарисуем и ее (рис.

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть h 0. Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

Нарисуем полученное сечение (рис. 4.5.1). При h 0 плоскость поверхность не пересекает.

16

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 4.5.3.

Рис. 4.5.3. Эллиптический параболоид

Если в уравнении (4.5.1) a b , то сечения плоскостями, параллельными плоскости xOy , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости yOz , вокруг оси Oz (рис. 4.5.4).

Рис. 4.5.4. Параболоид вращения

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где a и b – положительные числа.

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось

18