Аналитическая геометрия

Полученное равенство и является уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

§1.2. Каноническое уравнение прямой

(Уравнение прямой, проходящей через данную точку

параллельно данному вектору)

(Прямая на плоскости. Способы задания)

Даны точка M 0 x0;y0 и вектор p p1; p2 :

M 0

p

Проведем через данную точку прямую параллельно данному вектору:

M 0

p

Записать уравнение прямой – это значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x;y :

M

M 0

p

Определим вектор M 0M :

3

M

M 0

p

Векторы M 0M и p коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Найдем координаты вектора M 0M :

M 0M x x0;y y0 .

Запишем условие коллинеарности:

x x0 y y0 . p1 p2

Полученное равенство является уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

ВАЖНО:

1)Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой.

2)Вектор p называется направляющим вектором прямой.

3)В каноническом уравнении прямой числа, стоящие в знаменателе определяют координаты направляющего вектора.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A 2; 7

параллельно прямой l : x 41 y 53.

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка A, прямая l .

Проверим, лежит ли точка A на прямой l . Для этого необходимо подставить координаты точки A в уравнение прямой l . Если получится верное равенство, то точка лежит на прямой, если не верное, то точка не лежит на прямой. При

l

A

4

Прямая l задана каноническим уравнением, следовательно, можно указать направляющий вектор прямой, координатами которого являются числа, стоящие в знаменателях дробей в левой и правой частях уравнения, т.е.

p 4; 5 – направляющий вектор прямой l .

l

A

p

Проведем через точку A прямую параллельно прямой l :

l

A

p

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

M

l

A

p

Определим вектор AM :

M

l

A

p

Векторы AM и p коллинеарны, следовательно, их координаты

пропорциональны. Найдем координаты вектора AM :

AM x 2;y 7 x 2;y 7 .

5

Запишем условие коллинеарности векторов:

Полученное уравнение является каноническим уравнением искомой прямой.

§1.3. Общее уравнение прямой

(Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно к данному вектору)

(Прямая на плоскости. Способы задания)

Даны точка M 0 x0;y0 и вектор N A;B :

M0 N

Проведем через точку M 0 x0;y0 прямую перпендикулярно к вектору

N A;B :

M0 N

Записать уравнение прямой – это значит связать координаты произвольной точки прямой некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x;y :

M

M0 N

Определим вектор M 0M :

6

M

M0 N

Векторы M 0M и N перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0. Найдем координаты вектора M 0M :

M 0M x x0;y y0 .

Запишем условие перпендикулярности:

M 0M N 0 A x x0 B y y0 0.

Последнее равенство и является искомым уравнением. После преобразований,

получим: Ax By Ax0 By0 0.

Обозначив Ax0 By0 C , получим уравнение

Ax By C 0.

ВАЖНО:

1)Полученное уравнение называется общим уравнением прямой.

2)Вектор N называется нормальным вектором прямой.

3)В общем уравнении прямой коэффициенты при x и y определяют

координаты нормального вектора.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку B( 2;7) параллельно прямой l : 5x y 9 0.

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка B и прямая l . Проверим, лежит ли точка B на прямой l . Для этого необходимо подставить координаты точки B в уравнение прямой l . Если получится верное равенство,

l

B

Прямая l задана общим уравнением, следовательно, можно указать координаты нормального вектора прямой, которыми являются коэффициенты при x и y в

уравнении прямой: N 5; 1 .

7

N

l

B

Проведем через точку B прямую перпендикулярно к прямой l (параллельно вектору N )

N

l

B

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

N

M

l

B

Определим вектор BM :

N

M

l

B

Найдем координаты вектора BM :

8

BM x ( 2);y 7 x 2;y 7 .

Векторы BM и N коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Запишем условие коллинеарности:

Полученное равенство является каноническим уравнением искомой прямой.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку C 3; 5 параллельно прямой l : 7x 4y 11 0.

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка C и прямая l . Проверим, лежит ли точка C на прямой l . Для этого необходимо подставить координаты точки C в уравнение прямой l . Если получится верное равенство, то точка лежит на прямой, если не верное, то точка не лежит на прямой. При подстановке получаем: 7 3 4 5 11 0 или, после преобразований, 52 0. Равенство неверно, следовательно, точка C не лежит на прямой l .

C

l

Прямая l задана общим уравнением, следовательно, можно указать координаты нормального вектора прямой, которыми являются коэффициенты при x и y в

уравнении прямой: N 7; 4 .

N

C

l

Проведем через точку C прямую параллельно прямой l (перпендикулярно к вектору N )

9

N

C

l

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

N M

C

l

Определим вектор CM :

N M

C

l

Найдем координаты вектора CM :

CM x 3;y ( 5) x 3;y 5 .

Векторы CM и N перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0:

7 x 3 4 y 5 0.

После преобразований получаем:

7x 4y 41 0

Полученное уравнение является общим уравнением искомой прямой.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку D 2;3

перпендикулярно к прямой l : x 31 y121.

10