Математическая обработка результатов эксперимента

Решив систему (5.5), получаем искомые значения коэффициентов a0, a1, …, an и подставляем их в уравнение регрессии (5.4).

После того, как формально уравнение регрессии построено, требуется дать ответ на самый важный вопрос: насколько можно ему доверять?

Уравнением регрессии нельзя пользоваться до тех пор, пока не будут выполнены три процедуры:

1)проверка значимости коэффициентов линейного уравнения множественной регрессии;

2)проверка значимости линейного уравнения множественной регрессии в целом;

3)оценка точности линейного уравнения множественной рег-

рессии.

5.2.1. Проверка значимости коэффициентов линейного уравнения множественной регрессии

Проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения (5.4) означает, что если коэффициент при некоторой переменной незначим, то доверять влиянию этой переменной на значения результи-

71

рующей функции y нельзя. Незначимый коэффициент следует положить равным нулю, т.е. соответствующую переменную следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Для проверки значимости каждого из коэффициентов a0, a1, …, an используется t-статистика Стьюдента, опытное значение которой вычисляется по формуле:

где σy – среднее квадратичное отклонение для значений переменной y; σxi – среднее квадратичное отклонение для значений xi; Ryx2 1...xn – коэффициент множественной детерминации [18] для уравнения рег-

ции, характеризующий зависимость между фактором xi и остальными факторами (x1, x2, …, xi-1, xi+1, …, xn) уравнения регрессии.

Каждое из опытных значений статистики taоп сравнивают с кри-

i

тическим значением taкр =t(α;k) (i = 1, 2, …, n), которое ищется по

i

таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k, равном k = m − n − 1. Тогда, если

a> taкр , то гипотеза о значимости коэффициента ai не отвергается,

ii

исоответствующая переменная xi остается в уравнении. В противном случае коэффициент ai считается незначимым и соответствующую ему переменную следует исключить из уравнения регрессии.

72

5.2.2. Проверка значимости линейного уравнения множественной регрессии в целом

Необходимо также проверить значимость уравнения в целом. Если окажется, что при заданном уровне значимости α уравнение незначимо, то пользоваться им нельзя, а найденной зависимостью следует пренебречь.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют опытную F-статистику Фишера:

i=1

где m – объем выборки; n – число переменных в уравнении множественной регрессии; f(xi1, xi2, …, xin) – i-е расчетное значение переменнойy; y – среднее опытных значений случайной величины Y.

Полученное опытное значение Fоп критерия Фишера сравнивается с критическим (табличным) значением Fкр = F(α;k1;k2). Уровень значимости α снова выбирается исследователем. На этот раз число степеней свободы k1 = m − n − 1, а число k2 = n.

Если Fоп < Fкр, то следует сделать вывод о том, что с вероятностью α уравнение в целом незначимо, и, следовательно, им нельзя пользоваться как основанием для принятия решений.

В противном случае, если выполняется неравенство

Fоп > Fкр,

то с вероятностью α мы поступим неверно, если отвергнем гипотезу

означимости уравнения регрессии (5.4) в целом. Так как гипотеза

означимости уравнения не отвергается, мы получаем определенные основания доверять построенному уравнению регрессии.

73

5.2.3. Оценка точности линейного уравнения множественной регрессии

Заключительная статистическая процедура – оценка точности построенного уравнения регрессии.

Оценка близости опытных значений yi случайной величины Y и ее расчетных значений f(xi), получаемых с помощью уравнения (5.4) линейной регрессии, выполняется с помощью среднеквадратической погрешности σ по следующей формуле:

В случае парной регрессионной зависимости эту оценку можно проиллюстрировать графически (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Оценка точности линейного уравнения парной регрессии:

– опытные точки с координатами (xi;yi);

– расчетные точки с координатами (xi;f(xi))

Строим на плоскости xy график регрессионной функции y = ax + b и наносим на плоскость xy точки с координатами (xi;yi), определяемые опытными значениями xi и yi (i = 1, 2, …, m) случайных величин X и Y. На построенной прямой отмечаем также расчетные точки с координатами (xi;f(xi)).

74

Контрольные вопросы

1.Что такое корреляционно-регрессионный анализ?

2.Что такое парная регрессия?

3.В чем состоит метод наименьших квадратов?

4.Запишите систему уравнений для нахождения коэффициентов парной линейной регрессии.

5.Приведите примеры линеаризуемых нелинейных зависимостей. В каждом примере укажите ту замену переменной, с помощью которой каждую их этих нелинейных зависимостей можно свести к линейной.

6.Что такое множественная регрессия?

7.Зачем нужно проверять значимость коэффициентов регрессии? Как это сделать?

8. Как и зачем проверяется значимость уравнения регрессии

вцелом?

9.Как оценить точность уравнения регрессии? Поясните с помощью графика на рис. 5.1, как подсчитать сумму квадратов откло-

m

нений θ(a,b) = ∑[yi −(axi +b)]2 .

i=1

75

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основной

1.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 270 с.

2.Ашмарин И.П., Васильев Н.Н., Амбросов В.А. Быстрые методы статистической обработки и планирования эксперимента. – Л.:

Изд-во ЛГУ, 1971. – 78 с.

3.Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. – Саратов: Изд-во СарГУ, 2001. – Ч.4. – 103 с.

4.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2000. – 74 с.

5.Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1991. – 173 с.

6.Постников В.С., Белова С.А. Эмпирическое моделирование. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 47 с.

Дополнительной

7.Бердышев О.В. Методы статистического анализа: практ. руководство по дисциплине «Математическая статистика» / Перм. обл. ин-т повышения квалификации работников образования. – Пермь, 2005. – 36 с.

8.Борисов А.И., Алексеев А.В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, 1989. – 124 с.

9. Винарский М.С., Лурье М.В. Планирование эксперимента

втехнологических исследованиях. – Киев: Технiка, 1975. – 168 с.

10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2007. – 479 с.

11.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982. – 256 с.

76

12.Лялькина Г.Б. Надежность технических систем и техногенный риск. Ч.1. Надежность технических систем: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 90 с.

13.Лялькина Г.Б. Математические основы теории принятия решений: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.

ун-та, 2012. – 90 с.

14.Острейковский В.А. Теория надежности: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2003. – 463 с.

15.Первичная обработка одномерной статистической совокупности / сост. В.П. Карандашов, В.Н. Кетиков, И.Ф. Саврасов; Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1979. – 28 с.

16.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 496 с.

17.Саутин С.Н. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. – Л.: Химия, 1975. – 48 с.

18.Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.

77

Учебное издание

ЛЯЛЬКИНА Галина Борисовна, БЕРДЫШЕВ Олег Вячеславович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебное пособие

Редактор и корректор Е.В. Копытина

Подписано в печать 15.05.13. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 5,0. Тираж 100 экз. Заказ № 105/2013.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.