Математическая обработка результатов эксперимента

Вэтом случае критическая область является правосторонней

ипри заданном уровне значимости α область принятия нулевой гипотезы (4.10) определяется неравенством

χ2оп < χ2кр (α;k).

При выполнении этого условия нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу и различие исправленной дисперсии M(S2Х) и генеральной дисперсии DX является статистически незначимым.

4.2.3. Сравнение средней выборочной с предполагаемой генеральной средней нормальной совокупности

Задача сравнения среднего значения случайной величины, представленной выборочной совокупностью опытных значений, с предполагаемым или теоретическим средним значением генеральной совокупности возникает, например, в метрологии.

Предполагается, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами a = MX и σ = DX , но при этом имеются основания предполагать, что, хотя значение a = MX нам неизвестно, его можно считать равным некоторому (гипотетическому) значению a0.

Например, если X – это генеральная совокупность значений размера однородных технических изделий, то можно предположить, что среднее его значение – это нормативный размер a0, установленный проектно-технической документацией.

Далее возможны две ситуации:

А: дисперсия DX генеральной совокупности известна (например, из теоретических соображений или вычислена по выборочной совокупностибольшогообъема, что дает достаточно точнуюоценку);

Б: дисперсия DX генеральной совокупности неизвестна. Рассмотрим ситуацию А: известно значение σ = DX . Имеется выборочная совокупность опытных данных объемом n,

и по ней вычислено среднее значение xср, а значение генеральной

51

средней a = MX нам неизвестно, но есть основания предполагать, что оно равно a0.

Задаем уровень значимости и выдвигаем нулевую гипотезу следующего вида: H0: MX = a0. Но так как среднее значение xср выборочной совокупности опытных значений является несмещенной оценкой генеральной средней, т.е. M(xср) = MX, то гипотезу H0 можно переписать в следующем виде:

Таким образом, необходимо проверить, является ли различие выборочной и генеральной средних незначимым.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина (статистика)

В предположении о справедливости нулевой гипотезы эта величина подчиняется нормальному закону распределения, описываемому стандартной функцией Лапласа Φ(u).

Критическая область принятия гипотезы имеет различный вид в зависимости от вида конкурирующей гипотезы H1.

Возможны три случая:

Первый случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.16). Опытное значение Uоп вычисляется по формуле (4.15). Далее по таблице значений стандартной функции Лапласа надо найти такую точку uкр, в которой будет выполнено равенство

52

Критическая точка uкр определяет границы двухсторонней критической области [10, 16].

Тогда, если │Uоп│ < uкр, то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, а если │Uоп│ > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.

Второй случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.17). Опытное значение Uоп вычисляется по формуле (4.15). Далее по таблице значений стандартной функции Лапласа надо найти критическую точку uкр правосторонней критической области [10], в которой на этот раз должно выполняться равенство

Тогда, если Uоп < uкр, то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, а если Uоп > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.

Третий случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.18). Опытное значение Uоп вычисляется по формуле (4.15). Далее по таблице значений стандартной функции Лапласа надо найти точку uкр, в которой также должно выполняться равенство (4.20).

Но на этот раз критическая область является левосторонней [10] и определяется критической точкой uкр = −uкр. Тогда, если Uоп > −uкр,

то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, а если Uоп < −uкр, то нулевая гипотеза отвергается.

Рассмотрим ситуацию Б: значение σ = DX неизвестно. Такая ситуация возникает, если выборочная совокупность имеет малый объем и оценку дисперсии по ней выполнить нельзя.

Задаем уровень значимости α и гипотезу H0 снова записываем в виде (4.8).

Но в качестве критерия проверки нулевой гипотезы на этот раз принимается случайная величина

где S – исправленное среднее квадратичное отклонение, вычисляемое по формуле (4.2). Величина T имеет распределение Стьюдента с k = n−1 степенями свободы.

Критическая область, как обычно, зависит от вида конкурирующей гипотезы H1.

Снова рассматриваются три случая: (4.16), (4.17) или (4.18). Первый случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рас-

сматривается предположение (4.16). Опытное значение Tоп вычисляется по формуле (4.21). Далее в таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению уровня значимости α, расположенному в верхней строке таблицы, при числе степеней свободы k = n−1 надо найти критическую точку tкр(α;k), определяющую двухстороннюю критическую область.

Тогда, если │Tоп│ < tкр, то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, а если │Tоп│ > tкр, то нулевая гипотеза отвергается.

Второй случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается гипотеза (4.17). Далее в таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению уровня значимости α, расположенному в нижней строке таблицы, при числе степе-

ней свободы k = n−1 надо найти критическую точку tправ.кр(α;k), определяющую правостороннюю критическую область.

Тогда, если Tоп < tправ.кр(α;k), то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, а если Tоп > tправ.кр(α;k), то нулевая гипотеза отвергается.

Третий случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.18).

Далее в таблице критических точек распределения Стьюдента сначала надо найти вспомогательную критическую точку tправ.кр(α;k). Тогда границу левосторонней критической области определит точка

tлев.кр(α;k) =− tправ.кр(α;k).

Если Tоп > −tправ.кр(α;k), то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет, аеслиTоп < −tправ.кр(α;k), то нулевую гипотезу отвергают.

В заключение раздела отметим, что с надежностью (доверительной вероятностью) γ = 1−α двухсторонняя критическая область определит соответствующий доверительный интервал.

54

Например (см. формулу (4.15) и первый случай ситуации А), неравенство │Uоп│ < uкр, эквивалентное двойному неравенству

можно записать в виде

2γ . Неравенство (4.23) определяет довери-

тельный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения при известном значении среднего квадратичного отклонения σ с надежностью γ.

4.3.Совместное исследование двух случайных величин

Вэтом разделе приведем примеры процедур проверки статистических гипотез, позволяющих:

– сравнивать числовые характеристики двух различных случайных величин, представленных выборочными совокупностями опытных данных;

– выяснять степень взаимной статистической зависимости двух случайных величин с помощью коэффициента их корреляции, оцениваемого по опытным данным.

4.3.1.Сравнение исправленных выборочных дисперсий

двух нормальных генеральных совокупностей

Проблема сравнения генеральных дисперсий двух совокупностей, имеющих нормальное распределение, возникает, если необходимо сравнить точность двух приборов или методов измерений. Например, измерительный прибор был усовершенствован, но необходимо убедиться, что в результате он обеспечивает более высокую точность измерений.

55

Пусть имеются две случайные величины X и Y, представленные каждая своей генеральной совокупностью со своим нормальным законом распределения вероятностей, но возникает предположение, что дисперсии этих совокупностей равны между собой. Тогда выдвигается соответствующая нулевая гипотеза H0:

С целью проверки этой гипотезы задается некоторый уровень значимости α, а из генеральных совокупностей выбираются независимые выборки объемами n1 и n2 соответственно. Для каждой из совокупностей по формулам (4.2) вычисляются значения исправленных дисперсий (SX)2 и (SY)2. Напомним, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками дисперсий соответствующих генеральных совокупностей: M(S2X) = DX и M(S2Y) = DY. Поэтому выдвигаемую нулевую гипотезу (4.24) о равенстве двух дисперсий можно записать в следующей форме:

Таким образом, проверка нулевой гипотезы H0 сводится к проверке предположения (4.25).

Если предположение (4.25) справедливо, то различие исправленных выборочных значений незначимо. В случае сравнения точности двух приборов это означает, что приборы одинаково точны. Если же нулевая гипотеза отвергается, то различие выборочных исправленных дисперсий статистически значимо, оно вызвано неслучайными причинами, а точность приборов различна.

Для проверки нулевой гипотезы (4.25) при заданном уровне значимости α в качестве критерия принимается случайная величина F, имеющая, при условии справедливости нулевой гипотезы, распределение Фишера – Снедекора F(α;k1;k2) со степенями свободы k1 = n1−1 и k2=n2−1, где n1 – это объем выборочной совокупности с большей

дисперсией Sб2 , а n2 – это объем выборочной совокупности с меньшей дисперсией Sм2 .

56

Опытное значение Fоп критерия вычисляется по формуле

Критическая область имеет различный вид в зависимости от вида конкурирующей гипотезы H1.

Возможны два случая:

Первый случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.27). Тогда критическая область является правосторонней [10] и определяется критическим значением Fкр(α;k1;k2) распределения Фишера – Снедекора, которое зависит от уровня значимости α и двух степеней свободы k1 и k2 (где k1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии). Значение

Fкр(α;k1;k2) находится по таблице.

Тогда, если Fоп < Fкр(α;k1;k2), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0 о равенстве двух генеральных дисперсий.

При Fоп > Fкр(α;k1;k2) нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Задается уровень значимости α, и в качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.28). Оказывается, что в этом случае критическое значение Fкр(α/2;k1;k2) распределения Фишера – Снедекора определяется значением уровня значимости α/2, т.е. в два раза меньшим, чем заданное α [10]. Критическое значение Fкр(α/2;k1;k2) определяется двумя степенями свободы и ищется в таблице (k1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии, а k2 – число степеней свободы меньшей исправленной дисперсии).

Тогда, если выполняется неравенство Fоп < Fкр(α/2;k1;k2), то оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет.

Если же Fоп > Fкр(α/2;k1,;k2), то нулевую гипотезу (4.24) о равенстве двухгенеральных дисперсий нормальных совокупностей отвергают.

57

4.3.2.Сравнение генеральных средних двух нормальных совокупностей с известными дисперсиями

Предполагается, что генеральные совокупности X и Y распределены по нормальному закону, причем их дисперсии DX и DY предполагаются известными. Величины DX и DY могут быть известны

из теоретических соображений (например, в качестве σ = DX может выступать минимальная цена деления прибора, используемого в опытах для измерений).

Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий MX и MY необходимо из каждой из генеральных совокупностей значений величин X и Y по отдельности выделить независимые выборки объемами n и m соответственно и вычислить средние выборочные значения: xср MX и yср MY.

используется то обстоятельство, что выборочные средние xср и yср являются несмещенными оценками соответствующих математических ожиданий исследуемых генеральных совокупностей, т.е. выполняют-

ся равенства M(xср) = MX и M(yср) = MY. Поэтому нулевую гипотезу H0 можно записать в следующем виде:

Для проверки гипотезы (4.24) рассматривается случайная вели-

чина

Доказано [16], что если исследуемые выборочные совокупности независимы, то, при справедливости нулевой гипотезы, случайная величина Z имеет нормальное распределение, описываемое стандартной функцией Лапласа Φ(z).

58

Вид критической области зависит от вида конкурирующей гипотезы H1. Возможны три случая:

Первый случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.32).

Для нахождения границ критической области достаточно найти точку zкр. При заданном уровне значимости α точка zкр определяется как то значение аргумента стандартной функции Лапласа Φ(z), при котором эта функция принимает значение, равное 0,5(1 − α):

Таблицу значений функции Лапласа Φ(z) можно найти в справочниках и учебниках по статистике и по ним определить соответствующее значение аргумента zкр, при котором справедливо равенство (4.35). Опытное значение zоп случайной величины Z вычисляется по формуле (4.31).

Тогда, если выполняется неравенство │zоп│< zкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу и различие средних выборочных значений xср и yср статистически незначимо.

Если же│zоп│> zкр, то нулевую гипотезу следует отвергнуть. Различие выборочных средних значений, которое обычно реги-

стрируется в опытах, может оказаться незначимым. В этом случае гипотезу (4.29) о равенстве генеральных средних можно считать справедливой. Например, если две физические величины имеют одинаковые истинные размеры, то значимость неравенства xср ≠ yср свидетельствует о наличии систематических ошибок измерения. В отсутствие систематических ошибок измерения различие средних арифметических xср и yср результатов измерений незначимо.

59

Второй случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 при уровне значимости α рассматривается предположение (4.33).

Доказано, что в рассматриваемом случае для нахождения границ критической области достаточно найти точку zкр, которая определяется как то значение аргумента z стандартной функции Лапласа Φ(z), при котором функция принимает значение, равное 0,5(1 − α) (см.

формулу (4.35)).

Тогда, если опытное значение zоп случайной величины Z, вычисляемое по формуле (4.31), удовлетворяет неравенству zоп > zкр, то нулевую гипотезу следует отвергнуть.

При zоп < zкр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу и можно считать, чторазличиегенеральных средних статистически незначимо.

Третий случай. В качестве конкурирующей гипотезы H1 рассматривается предположение (4.34). Задается уровень значимости α и по формуле (4.31) вычисляется опытное значение zоп критерия Z. Далее по таблице значений функции Лапласа Φ(z) надо найти точку zкр, в которой выполнится равенство

Тогда, если опытное значение zоп случайной величины Z, вычисляемое по формуле (4.31), удовлетворяет неравенству zоп > −zкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу и можно считать, что различие генеральных средних статистически незначимо.

При zоп < −zкр нулевую гипотезу следует отвергнуть.

4.3.3. Сравнение генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями

Изложенный метод сравнения генеральных средних двух нормальных совокупностей непригоден, если их дисперсии DX и DY неизвестны.

Однако в этом случае можно дополнительно предположить, что эти неизвестные дисперсии равны между собой: DX = DY. Такая си-

60