Численный расчет стержневых систем

vj x = λ0xvj . Эти равенства устанавливают связь между перемеще-

ниями va и перемещениями v(e):

в краткой записи

где λa – прямоугольная матрица 2×12,

31

Удобнее, однако, преобразовать эту форму таким образом,

чтобы избежать формирования полных матриц k и λ. Для этого нужно в правой части этого равенства выполнить перемножение блочных матриц:

Отметим, что если общая система координат совпадает с местной, то матрицы v и v(e) (или P и P(e) ) отличаются лишь порядком перечисления компонент. В этом случае

λ0 x = [1 0 0]; λ0 y = [0 1 0]; λ0z = [0 0 1].

Преобразование k(e) = λт kλ будет заключаться в простой пе-

рестановке строк и столбцов матрицы k. В результате такой перестановки расположение элементов матрицы жесткости будет согласовано с порядком следования сил и перемещений в матрицах P(e)

и v(e).

Рассмотрим особо частый случай, когда брус является элементом плоской рамы. При этом каждый узел получает поступательное перемещение в направлении двух координатных осей и угловое перемещение в плоскости этих осей.

Если деформация бруса происходит в плоскости x y (рис. 1.12),

то матрицы сил и перемещений в местной системе координат имеют вид

34

2.УЧЕТ ВНЕУЗЛОВОЙ НАГРУЗКИ

Вглаве 1 была получена связь между узловыми силами и узловыми перемещениями для бруса при отсутствии какой-либо внеузловой нагрузки. Рассмотрим случай, когда помимо узловых сил на брус действуют также внеузловые нагрузки (распределенные или сосредоточенные).

Рассмотрим конструктивный элемент в местной системе координат. Если узловые перемещения элемента равны нулю (концы стержня защемлены), то внеузловая нагрузка вызовет появление ре-

акций в виде сил и моментов. Образуем из них подматрицы

P0a , P0b , P0c , P0d , соблюдая тот же порядок перечисления сил,

что и в матрицах Pa , Pb , Pc , Pd . Таким образом, в подматрицу

P0a войдут реакции, действующие на стержень вдоль оси; P0b ,

P0c будут состоять из поперечных сил и моментов, действующих

на концах стержня соответственно в плоскостях xy, xz ; наконец,

в P0d войдут моменты относительно оси x. Объединив эти под-

матрицы, получим матрицу узловых сил, уравновешивающих при неподвижных узлах внеузловую нагрузку:

Положительные направления реакций примем совпадающими с положительными направлениями сил и моментов, указанными на рис. 1.9, б.

При вычислении матрицы P0 предполагалось, что узловые перемещения отсутствуют. Если же узлы бруса получают перемеще-

ния, определяемые матрицей v, то дополнительные узловые силы, необходимые для их создания, определяются, как и ранее, произве-

дением kv. Таким образом, при наличии внеузловой нагрузки мат-

рицу узловых сил P можно найти по формуле

37

Здесь P0(ie) , P0(ej ) – подматрицы сил, уравновешивающих внеуз-

ловую нагрузку, для узлов i и j соответственно. Как и в Pi(e) , первые три элемента матрицы P0(ie) – проекции силы, действующей в узле i, на координатные оси x, y, z, а последние три – моменты относительно этих осей. Аналогичным образом располагаются компоненты сил и моментов в подматрице P0(ej ).

Таким образом, при действии внеузловой нагрузки необходимо

сформировать матрицу реакций P0 и по формуле (2.3) найти матрицу P0(e). Значения реакций, составляющие матрицу P0 , для мно-

гих встречающихся на практике видов нагружения имеются в справочной литературе. При отсутствии справочных данных можно вычислить их, пользуясь известными методами сопротивления материалов. Для наиболее часто встречающегося случая действия на брус поперечной нагрузки можно вывести простую формулу для расчета матрицы реакций.

Например, при действии равномерно распределенной нагрузки

Рис. 2.1

39

При действии сосредоточенной силы S, приложенной на расстоянии x0 от левого конца балки (рис. 2.1, б), матрица имеет вид

40