Биомеханика - 2016

Выводы

1.Рассмотрена задача о нелинейном изгибе упругого элемента протеза стопы. Сформулирована математическая постановка задачи, построен алгоритм численного решения.

2.На основе решения задачи представлено численное решение контактной задачи о совместном нелинейном изгибе двухлистового упругого элемента, моделирующего двухлистовую автомобильную рессору или упругий элемент протеза стопы, и построен график изгиба.

3.Полученные результаты допускают дальнейшие исследования в этой области.

Список литературы

1.Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. – М.: Машиностроение, 1978. – 232 с.

2.Osipenko M.A., Nyashin Yu.I., Rudakov R.N. A contact problem in the theory of leaf spring bending // International Journal of Solids and Structures. – 2003. – № 40. – P. 3129–3136.

3.Биомеханика стопы [Электронный ресурс]. – URL: http://kardea.com.ua/ru/stati/podologija/biomehanika stopi.html (дата обращения: 18.08.2016).

4.Осипенко М.А., Брынских С.И. Отыскание толщин листов равнонапряженных листовых рессор // Вычислительная механика: сб. науч. тр. – Пермь, 2004. – № 2. – С. 51–54.

5.Няшин Ю.И., Осипенко М.А., Рудаков Р.Н. К теории изгиба листовой рессоры // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2002. –

№6. – С. 134–143.

21

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАТИВНОСТИ РЕШЕТЧАТОЙ ПЛАСТИНЫ

А.О. Ватульян1, 2, О.А. Потетюнко1

1Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук, Россия, 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а

2Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, Россия, 362027, г. Владикавказ, ул. Маркуса, 22

Ключевые слова: решетчатая пластина, внутриглазное давление, неоднородность, упругое закрепление, метод Ритца, реконструкция.

В работе изучается деформирование заднего отдела склеры – решетчатой пластины (РП), которую принято моделировать круглой пластиной переменной жесткости, поскольку модуль упругости в плоскости изотропии убывает от центра к краю. Принципиально важен учет неоднородности РП, поскольку это оказывает существенное влияние на ее деформирование при повышении внутриглазного давления. Пластина считается упруго закрепленной по краю, что характеризуется двумя дополнительными коэффициентами в граничных условиях. Оценка влияния упругости опирания позволяет уточнить модель деформирования пластины и точнее определять величину внутриглазного давления, что имеет важное практическое значение в диагностике ряда заболеваний, таких как глаукома.

Рассмотрено деформирование РП под действием внутриглазного давления при различных граничных условиях. На основе вариационного подхода составлен функционал Лагранжа, получены уравнение изгиба и два граничных условия, содержащие два параметра закрепления. Задачи о нахождении прогиба и точек перегиба решены численно методом Ритца для различных законов неоднородности и значений параметров закрепления. В рамках этой модели поставлены две обратные задачи определения параметров закрепления и, кроме того, нагрузки по известному прогибу в нескольких точках. Для решения было сформулировано несколько вспомогательных задач, которые не содержат искомые параметры, выведено представление прогиба в любой точке в виде дробно-

22

рациональной функции от параметров закрепления. Искомые параметры находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений, реконструкция параметров имеет приемлемую погрешность – не более 10 %.

Также была поставлена и решена задача об определении влияния упругости заделки на деформирование под действием равномерной нагрузки. Установлено, что неучет параметров упругости закрепления ведет к существенным ошибкам реконструкции в определении амплитуды нагрузки.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОЙ ТРУБКИ

ПРИ ПРОТЕКАНИИ ЧЕРЕЗ НЕЕ ЖИДКОСТИ ПРИ ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЯ

В.В. Веденеев1, Ю.С. Зайко2, А.Г. Кучумов3, А.Д. Сударикова2

1Механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Россия, 119991, г. Москва, Ленинские горы, 1, vasily@vedeneev.ru

2НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Россия, 119992, г. Москва, Мичуринский пр., 1

3Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Россия, 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, kychymov@inbox.ru

Ключевые слова: упругая трубка, граница устойчивости, предельный цикл колебаний.

Исследованию устойчивости упругих трубок при протекании через них жидкости посвящено множество экспериментальных, аналитических и численных работ, основными приложениями которых являются течения крови в кровеносной системе, желчи в желчных протоках, воздуха в воздухопроводящих путях и т.п. Подавляющая часть экспериментов [1] выполнена при турбулентном режиме течения в трубке, однако было показано [2], что биожидкости чаще циркулируют при ламинарных режимах.

В данном экспериментальном исследовании проведено сравнение поведения упругой трубки при ламинарном и турбулентном

23

режимах течения. Установка представляет собой так называемый «Starling resistor», в качестве рабочих жидкостей используются вода и растворы глицерина в воде различной концентрации.

Экспериментально показано, что границы устойчивости при ламинарном и турбулентном режимах течения близки, вязкость жидкости слабо влияет на положение границы устойчивости. Установлен характер колебаний трубки после потери устойчивости при различных расходах и перепадах давления в трубке. Показано, что амплитуда колебаний при ламинарных режимах течения значительно меньше, чем при турбулентных. С увеличением перепада давления в трубке при фиксированном расходе частота колебаний растет быстрее в случае ламинарного течения.

Список литературы

1.Pedley T.J., Luo X.Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. – 1998. – Vol. 10. – P. 277–294.

2.Heil M., HazelA.L. Fluid-structure interaction in internal physi-

ological Flows // Ann. Rev. Fluid Mech. – 2011. – 43. – Р. 141–162.

ВЯЗКОСТЬ И УПРУГОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ ТКАНЕЙ ГРУДНОЙ КЛЕТКИ ЧЕЛОВЕКА

М.В. Веремьева1, Е.С. Фомина1, А.И. Дьяченко1, 2, 3

1Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия,

105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, mar33567736@yandex.ru

2Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Россия, 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 38

3ГНЦ РФ – Институт медико-биологических проблем РАН, Россия, 123007, г. Москва, Хорошевское шоссе, 76а

Ключевые слова: сдвиговые вязкость и упругость, вибрационная вискоэластометрия.

Целью исследования является измерение вязкоупругих свойств поверхностных мягких тканей грудной клетки человека и оценка возможных искажений при использовании контактных методов регистрации вибраций этих тканей.

24

Для измерений использовали вибрационный вискоэластометр ВВЭМ-5 (Е.М. Тиманин). Прибор обеспечивает измерение упругости Е и вязкости V слоя, находящегося под индентором, колеблющимся на частоте 40 Гц. Используя модель однородного вязкоупругого слоя, расположенного на жестком основании, нашли также величины модуля сдвига µ и коэффициента сдвиговой вязкости η среды слоя поверхностных тканей. В исследованиях участвовали 12 здоровых добровольцев-мужчин в возрасте от 19 до 22 лет. Измерения проводили в шести областях, расположенных на правой стороне поверхности грудной клетки.

Всего проведено 323 измерения упругости и вязкости поверхностных тканей. Получены значения: E = 3,8; 2,4; 5,6 кПа, V = 8,4; 6,5; 10,8 Па∙с, µ = 1,16; 0,83; 1,72 кПа, η = 2,7; 1,7; 3,7 Па∙с (медиа-

на; нижний квартиль; верхний квартиль). При фиксированном положении индентора у одного человека стандартные отклонения Е, V равны 0,71 кПа и 1,33 Па·с соответственно. Обнаружены локальные различия вязкости тканей.

Оценили возможные искажения при использовании акселерометра массой 5,5 г и диаметром 2,5 см в контактном методе регистрации вибраций. Рассматривая акселерометр как инерционный элемент на вязкоупругом подвесе, нашли амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) передаточной функции. Качественно вид АЧХ одинаков для всех измеренных значений вязкости и упругости. Наличие или отсутствие скачка фазы на ФЧХ зависит от величин вязкости и упругости.

Измерены величины вязкости и упругости поверхностных тканей грудной клетки человека. АЧХ и ФЧХ передаточной функции мягких тканей следует учитывать при измерениях вязкоупругости контактными методами.

Благодарность

Работа поддержана грантом РФФИ № 15-01-06246.

25

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ВАЛИДАЦИЯ МОДЕЛЕЙ БИОМЕХАНИКИ ГЛАЗА

Е.Б. Воронкова, Д.И. Журавлева

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 199034, г. СанктПетербург, Университетская набережная, 7/9, e.voronkova@spbu.ru

Ключевые слова: биомеханика глаза, глобальный анализ чувствительности, валидация.

Вработе обсуждается использование методов глобального анализа чувствительности [1] для оценки влияния параметров модели, а также для сравнения результатов моделирования с клиническими данными.

Параметры биомеханических моделей изменяются в широких пределах. Для оценки влияния неопределенности исходных параметров на результаты моделирования обычно применяется локальный анализ чувствительности, при котором сначала выбирается некоторая фиксированная точка области параметров, и об изменениях выходных параметров задачи судят по изменению только одного из исходных параметров (метод «one-at-time»). Глобальные методы анализа чувствительности позволяют не только изучить всю область изменения данных, но и выделить параметры, которые можно зафиксировать для дальнейших исследований.

Вкачестве примера рассматриваются модели корнеосклеральной оболочки глаза для исследования зависимости объем–давление,

атакже модели измерения внутриглазного давления, представленные в обзоре [2]. Показано, как меняются показатели чувствительности в зависимости от распределения параметров модели.

Благодарность

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-06311.

Список литературы

1. Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index / A. Saltelli, P. Annoni, I. Azzini,

26

F. Campolongo, M. Ratto, S. Tarantola // Computer Physics Communications. – 2010. – Vol. 181. – P. 259–270.

2. Бауэр С.М., Воронкова Е.Б. Модели теории оболочек и пластин в задачах офтальмологии // Вестник СПбГУ. Сер. 1. – 2014. –

Вып. 3. – С. 438–458.

БИОМЕХАНИКА ТЕЧЕНИЯ КРОВИ В СОСУДЕ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ

Н.О. Воронова1, М.И. Шмурак2

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Россия, 614990,

г. Пермь, Комсомольский пр., 29, voronova.1994@gmail.com, shmurak2007@yandex.ru

Ключевые слова: моделирование, течение, задача гидродинамики, напряжен- но-деформированное состояние, кровеносный сосуд.

Работа посвящена моделированию процесса течения крови и деформации стенки сосуда.

Математическая постановка связанной задачи выглядит следующим образом: задача гидродинамики представлена уравнениями Навье–Стокса и неразрывности с учетом заданного граничными условиями перепада давления и условий прилипания, непротекания по всей боковой поверхности; задача деформации описана уравнением равновесия, определяющим соотношением и соотношением Коши при наличии жесткого закрепления стенки сосуда по торцам с учетом начальных условий [1, 2]. Расчетная область представлена в виде цилиндра, в котором выделяют область течения жидкости и упругие стенки сосуда. В исследовании используются различные вариации конфигурации расчетной области: сужение по центру сосуда, конусообразное сужение (при продольном сечении – конус), S и С-изгибы.

Результаты иллюстрируют области, в которых действуют повышенные нагрузки ввиду наличия вихря, вследствие которого возникает обратное течение и в итоге суммарное падение скорости по всей исследуемой области.

27

Список литературы

1.Биофизика / В.Ф. Антонов, А.М. Черныш, В.И. Пасечник, С.А. Вознесенский, Е.К. Козлова; под ред. В.Ф. Антонова. – М., 2003. – С. 210–219.

2.Математические модели квазиодномерной гемодинамики: метод. пособие / В.Б. Кошелев, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский. – М., 2010.

РАЗРАБОТКА БИОМЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ИМЕТОДИКИ ПЛАНИРОВАНИЯ ХИРУРГИЧЕСКОГО ИСПРАВЛЕНИЯ ДЕФЕКТОВ ГРУДНОЙ КЛЕТКИ

С.С. Гаврюшин1, Д.А. Грибов2

1Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия,

105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, gss@bmstu.ru

2ЗАО «ПЕТРОХИМ ИНЖИНИРИНГ», Россия, 129090, г. Москва, Протопоповский пер., 25Б, gribov_denis@mail.ru

Ключевые слова: грудная клетка, воронкообразная деформация, биомеханическое моделирование, метод конечных элементов.

Врожденные и приобретенные деформации грудной клетки встречаются у 4 % населения. Среди врожденных деформаций грудной клетки примерно 90 % составляет воронкообразная и около 8 % килевидная деформации. Наиболее распространенный способ хирургического исправления врожденных деформаций основан на исправлении имеющегося дефекта при помощи установки внутри грудной клетки корректирующих пластин, изготавливаемых из стали или титана1.

Основной задачей исследования в данном направлении является разработка биомеханической модели и методики планирования хирургического исправления врожденных деформаций грудной клетки, позволяющих проводить моделирование, оценивать резуль-

1 Торакальная хирургия: руководство для врачей / Л.Н. Бисенков

[и др.]. – СПб.: Гиппократ, 2004. – 1918 с.

28

таты и осуществлять выбор оптимальных параметров будущих операций.

Методика моделирования хирургического исправления врожденных деформаций грудной клетки была построена с использованием современных программных комплексов. Разработка математических моделей осуществлялась на основе обработки предоперационных компьютерных томограмм грудных клеток пациентов с применением программного пакета AMIRA. Моделирование процесса исправления осуществлялась в конечно-элементном комплексе ANSYS.

В результате исследования разработана комплексная методика, позволяющая оценивать послеоперационное напряженно-де- формированное состояние компонентов грудной клетки, а также определять оптимальную форму, количество и место расположения корректирующих пластин. Выполненная оценка адекватности разработанной методики показала возможность ее использования в клинической практике для прогнозирования результатов хирургического исправления и планирования операций.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОЛГОВРЕМЕННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ЗУБНОГО РЯДА ПРИ ОРТОДОНТИЧЕСКОМ ЛЕЧЕНИИ

С.С. Гаврюшин, Э.Б. Демишкевич

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия,

105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, mail@edtech.ru

Ключевые слова: ортодонтическое перемещение зуба, метод конечных элементов, периодонтальная связка.

Ортодонтическое лечение ставит своей целью исправление и предупреждение нарушения положения зубов и аномалий прикуса. Его основополагающей концепцией является применение на практике принципов биомеханики. Процесс лечения заключается в приложении к элементам зубочелюстной системы пациента нагрузок, порождаемых различными ортодонтическими устройства-

29

ми. Под воздействием приложенных сил в элементах зубочелюстной системы протекает сложный биологический процесс, приводящий в конечном счете к перемещению зубов сквозь поддерживающие их костные ткани. Поведение клеток периодонта, воспринимающих нагрузки, не зависит от типа брекетов и формы дуги – оно определяется только напряженно-деформированным состоянием в них [1]. От правильности выбора нагрузок зависит успех проводимого лечения. В сложных клинических случаях трудно обеспечить эффективность лечения без предварительного анализа биомеханического состояния зубочелюстной системы пациента.

Авторами разработана методика моделирования силового и деформационного взаимодействия элементов биомеханической системы в процессе ортодонтического лечения. В качестве исходных данных используются томографические снимки зубочелюстной системы пациента, на основе которых были построены конеч- но-элементные модели [2]. Моделирование долговременных ортодонтических перемещений проводится методом конечных элементов, при помощи итерационного процесса.

Список литературы

1.Вершинин В.А., Рогожников Г.И. Биомеханические аспекты перемещения зубов // Российский стоматологический журнал. – 2004. – № 6. – С. 26–34.

2.Арутюнов С.Д., Гаврюшин С.С., Демишкевич Э.Б. Конеч- но-элементное моделирование ортодонтических перемещений зубочелюстной системы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. – 2014. – № 3 (54). – С. 108–120.

30