287702

Соотношение (15) представляет собой формулу Парсеваля для ортогональной системы функций Rnm (ρ)cos mϕ, а из соот-

ношения (16) следует, что коэффициент А00 характеризует среднее запаздывание волнового фронта относительно сферы сравнения.

Формулы (14)–(16) показывают, что средний квадрат отклонения волнового фронта Fr выражается через коэффициенты ортого-

нального разложения Anm. Значение V 2 вычисляют как сумму квадратов коэффициентов отдельных аберраций, умноженных на норму полинома. При этом каждая отдельная аберрация увеличи-

вает значение V 2 независимо от других аберраций.

Выражение (15) справедливо для круглого зрачка, нормы полинома для зрачка кольцевой формы с коэффициентом экранирования ε приведены в табл. 5 [10].

Таблица 5

Нормы ортогональных полиномов для экранированного зрачка

Примечание. При любом ε нормы полиномов составляют: для А20 – 0,333,

для А40 – 0,020, для А60 – 0,143.

3.3. Свойства отдельной ортогональной аберрации

Ортогональным отдельным аберрациям свойственны чрезвычайно полезные соотношения между коэффициентами при составляющих их отдельных классических аберрациях [2]. Коэффициенты соотносятся друг с другом таким образом, что классические отдельные аберрации, включающиеся в ортогональную отдельную аберрацию, взаимно компенсируют друг друга. Любая ортогональная аберрация содержит наряду с классической аберрацией высшего порядка такие аберрации низших порядков, при которых

21

интенсивность в рассматриваемой точке изображения максимальна. Например, при наличии классической сферической аберрации 3-го порядка w40ρ4 для получения максимальной интенсивности необходимо ввести расфокусировку w20ρ2 с заранее определенным коэффициентом w20 = –w40. В то же время радиальный полином, определяющий ортогональную сферическую аберрацию 3-го порядка, имеет вид

R40 (ρ) = 6ρ4 −6ρ2 +1.

Следовательно, ортогональная сферическая аберрация уже по своей структуре кроме классической сферической аберрации 3-го порядка 6ρ4 содержит расфокусировку – 6ρ2, необходимую для получения максимальной интенсивности.

Докажем в общем случае сформулированное выше утверждение об оптимальной балансировке аберраций. Пусть волновая аберрация описывается одним членом в зональном разложении по полиномам Цернике

и состоит из определенной конечной суммы отдельных классических аберраций. Для случая малых аберраций коэффициент Штреля, равный отношению максимальной интенсивности в данной плоскости наблюдения к максимальной интенсивности, создаваемой в изображении точки безаберрационной системой, определяется выражением [5]

2 ∑ A2

i =1− 2π nm . (18)

nm n +1

Введение любой отдельной классической аберрации wrsρrcossφ, где r < п и s ≤ т, вызывает в представлении (5) волновой аберрации

не сказываясь на уже имеющемся члене Anm Rnm (ρ)cos mϕ, что и при-

водиткуменьшению коэффициентаШтреля.

Рассмотрим пример [2]. Пусть волновая аберрация (5) имеет вид V = A44 R44 (ρ)cos 4ϕ и, следовательно, состоит из суммы

22

8A44ρ4cos4φ – 8A44ρ4cos2φ + A44ρ4 классических отдельных аберра-

Введя дополнительно произвольную классическую отдельную аберрацию, например сферическую аберрацию третьего порядка w40ρ4, для волновой аберрации получаем следующее разложение:

V= 8A44ρ4 cos4 ϕ−8A44ρ4 cos2 ϕ+ A44ρ4 +{w40ρ4} =

=A44R44 (ρ)cos 4ϕ +{A40 R40 (ρ) + A20 R20 (ρ) + A00R00 (ρ)},

где A40 = w640 , A20 = w240 , A00 = w340 .

Для смоделированной ситуации коэффициент Штреля принимает значение i′, при этом i′ < i:

Следовательно, можно сделать вывод, что, зная коэффициенты разложения волновой аберрации по полиномам Цернике, можно судить о степени коррекции системы в смысле компенсации аберраций высших порядков низшими. Так, если для реальной оптической системы волновая аберрация выражается соотношением (5), то это означает, что высшие порядки полностью сбалансированы низшими и стремление улучшить систему введением контролируемых аберраций низших порядков приведет только к ее ухудшению.

Частным случаем использования условия взаимной компенсации аберраций различных порядков является решение вопроса о нахождении плоскости наилучшей установки для получения максимальной интенсивности. Действительно, по своей структуре каждая отдельная ортогональная аберрация уже включает в себя необходимую расфокусировку для сбалансирования классических аберраций высших по-

23

рядков, поэтому член A20 R20 (ρ) = A20 (2ρ2 −1) в разложении (5) оп-

ределяет именно смещение плоскости наблюдения, в которой находится центр сферы сравнения, по отношению к плоскости наилучшей установки, т. е. вредную расфокусировку. Из выражения для коэффициента Штреля видно, что его зависимость от расфокусировки выражается через коэффициент А20 и i принимает максимальное значение, когда А20 = 0. И если А20 не равен нулю, то необходимо ввести расфокусировку А20R02(ρ), что сделает равным нулю суммарный коэффициент расфокусировки. Явная зависимость волновой аберрации от расфокусировки ∆ [10] выражается в виде

V = − 2∆λsin2 σ′ρ2 ,

где σ′ – апертурный угол в пространстве изображений; ∆ – расстояние плоскости установки от плоскости, в которой находится центр сферы сравнения.

Для определения расстояния ∆, характеризующего положение плоскости наилучшей установки, получаем уравнение

− 2∆λsin2 σ′ρ2 = −2A20ρ2 ,

откуда

∆ = sin42λσ′ A20.

Следует подчеркнуть, что при традиционном разложении (3) задачи сбалансирования аберраций в указанном выше смысле и нахождения плоскости наилучшей установки в общем случае не решаются.

3.4. Выражениеаберрационногофункционала черезкоэффициентыразложенияволновойаберрации пополиномамЦернике

Обычно функционал Fr включают в аберрационную часть оценочной функции программ оптимизации в виде средневзвешенной величины

24

F = ∑ pr Fr ,

r

где pr – весовой коэффициент.

Однако наиболее естественно характеризовать качество оптической системы при помощи интегральной величины – так называемого аберрационного функционала [17–18, 23]

U

где U – область интегрирования, определяемая множеством всех точек изображения.

Для осесимметричных оптических систем выражение (19) можно записать в виде

Используя разложение (8) и свойство ортогональности полиномов Цернике, выражение для аберрационного функционала F преобразуем к виду

причем m и k не равны нулю одновременно.

Отдельные аберрации, определяемые разложением (8), ухудшают качество оптической системы независимо друг от друга. Это позволяет, с одной стороны, разделить вклад аберраций различных порядков в оценочную функцию, а с другой стороны, осуществить выбор наиболее значимых коэффициентов аберрационного полинома, которые с требуемой точностью описывают аберрационные свойства оптическойсистемы[22].

Вклад FN аберраций N-го порядка в аберрационный функционал вычисляют с помощью соотношения (21) при условии

2(m + l + k) – 1 = N.

25

Обычно аберрации 1-го и 3-го порядков называют аберрациями низших порядков, а аберрации 5-го, 7-го и больших порядков – аберрациями высших порядков. Обозначим вклад аберраций низших порядков в аберрационный функционал через Fl:

Значения величин Fl, Fh, F1, F3, … иногда полезно рассматривать в процентном выражении относительно F:

FN = (FN /F)·100 %.

Коэффициенты Alkm в (21) вычисляют независимо друг от друга и от длины аберрационного полинома, т. е. от числа вычисляемых коэффициентов. Это дает возможность реализовать методику автоматического выбора наиболее значимых коэффициентов аберрационного полинома, которые с требуемой точностью описывают аберрационные свойства оптической системы, т. е. определить степени l, k, m по переменным r, ρ, ϕ. Установлено [24], что для описания

аберрационных свойств оптических систем в 80–90 % случаев вполне достаточно использовать аберрации до 7-го порядка включительно. При использовании же аберраций до 9-го порядка можно описать аберрационные свойства практически всех встречающихся на практике систем. Поэтому для заведомо точного вычисления интегрального значения среднеквадратичного отклонения волнового фронта F можно ограничиться аберрациями до 11-го порядка включительно и степенями l = 6, k = 6, m = 6 аберрационного полинома

(8) по переменным r, ρ и ϕ. Для установления ограничения длины

рядов после вычисления коэффициентов Alkm и точного значения величины F последовательно отбрасывают вклады аберрационных коэффициентов при максимальных степенях переменных r, ρ и ϕ,

т. е. производят постепенное ограничение длины ряда (8) по каждой из переменных в отдельности. При этом критерием окончания процедуры ограничения длины ряда является заранее задаваемая относительная погрешность определения величины F.

26

С помощью вышеописанной процедуры определяют максимальные степени аберрационного полинома (8) по переменным r, ρ, ϕ. Оставшиеся аберрационные коэффициенты Alkm, входя-

щие в укороченный ряд, и образуют искомое множество значимых коэффициентов аберрационного полинома (8). Действительно, именно они характеризуют аберрационные свойства оптической системы с требуемой точностью, а отбрасывание хотя бы одного из этих коэффициентов ведет к вычислению функционала F с недопустимо большой погрешностью.

В качестве примера приведем коэффициенты разложения Аlkm (табл. 6), значения аберрационного функционала F и его составляющих (табл. 7) для оптической системы (патент 598803 Япония, МПК F02 В9/34).

Таблица 6

Коэффициенты Alkm глобальнойаппроксимацииволновойаберрации

пополиномамЦерникедляобъективапопатенту59-8803, Япония

Таблица 7

Аберрационный функционал F и его составляющие различных порядков для объектива по патенту 59-8803, Япония

27

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЦЕРНИКЕ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Принципы автоматизации выбора корригируемых аберраций для оптимизации оптических систем

Опыт использования программ автоматизированной коррекции аберраций оптических систем (программ оптимизации) показал, что их эффективность в значительной степени зависит от выбранного набора корригируемых аберраций или, точнее, лучей, аберрации которых корригируются. Вопросы определения минимально необходимого количества лучей и выбора наиболее целесообразного разбиения лучами трехмерной области «поле–зрачок» широко обсуждались многими авторами. Так, в работах [14, 26] высказывается общее утверждение, что разбиение трехмерной области «поле–зрачок» необходимо определять из исследования результатов расчета хода большого количества лучей через исходную оптическую систему для нахождения наиболее важных точек разбиения по полю и зрачку. Рекомендуют на начальных стадиях коррекции использовать небольшое число лучей и по мере улучшения достигнутой аберрационной коррекциипостепенноувеличиватьчислокоррекционныхусловий.

Что касается алгоритма разбиения лучами области «поле– зрачок», то существуют различные рекомендации. Во многих случаях при разбиении зрачка используют только меридиональные и сагиттальные сечения. Распределение точек разбиения поля и зрачка может быть равномерным или определяться по некоему правилу, например, в соответствии с эмпирическим правилом выбора лучей [27]. Однако указанные правила не учитывают степень коррекции оптической системы и особенности ее схемы. В целом выбор целесообразного при оптимизации количества лучей и разбиения области «поле–зрачок» является достаточно сложной процедурой, которая в значительной степени зависит от оптических характеристик систем (числовые значения поля зрения, апертуры), оптической схемы, достигнутой аберрационной коррекции, виньетирования. В настоящее время ее зачастую осуществляет оптик-расчетчик интуитивно. А.П. Грамматин и другие авторы указывали, что степень автоматизации этапа оптимизации может быть в значительной мере повышена в том случае, если автоматизировать выбор количества аберрационных функций, характеризующих оптическую систему.

28

Описание волновой аберрации с применением полиномов Цернике позволяет предложить методику [22] выбора с помощью ЭВМ наиболее значимых аберраций, которые с требуемой степенью точности описывают аберрационные свойства оптической системы. В методике для определения как достигнутого качества, так и степени точности описания аберрационных свойств оптической системы используется среднеквадратичное отклонение волнового фронта Fr.

Принцип выбора наиболее значимых коэффициентов основан на выражении аберрационного функционала через коэффициенты Аlkm разложения волновой аберрации. Вычисляется точное значение величины F, затем по определенному алгоритму из него последовательно отбрасываются вклады аберрационных коэффициентов при максимальных степенях переменных r, ρ, φ, т. е. производится постепенное ограничение длины ряда. При этом критерием окончания процедуры ограничения длины ряда является заранее задаваемая относительная погрешность вычисления величины F. Следовательно, на каждом шаге процесса автоматизированной коррекции с помощью вышеописанной процедуры автоматически определяются минимально необходимые степени полинома (8) по переменным r, ρ, φ, т. е. выбирается достаточная ограниченная длина ряда.

Оставшиеся аберрационные коэффициенты Alkm, входящие в укороченный таким образом ряд, и образуют искомое множество корригируемых аберраций. Именно они характеризуют аберрационные свойства оптической системы с требуемой точностью, а отбрасывание хотя бы одного из этих коэффициентов ведет к вычислению значения F с недопустимо большой погрешностью. Увеличение же числа используемых аберрационных коэффициентов приводит к появлению избыточности корригируемых аберраций и, следовательно, к увеличению количества требуемого числа лучей для их определения.

Итак, задаваемая относительная погрешность вычисления среднеквадратичного отклонения волнового фронта определяет как выбираемый набор корригируемых аберраций, так и точность вычисления аберрационной части оценочной функции, используемой в программе автоматизированной коррекции аберраций. Следовательно, эта погрешность оказывает существенное влияние на сходимость итерационного процесса оптимизации и эффективность работы программы. Проведенные исследования влияния указанной

29

погрешности на некоторые эксплуатационные характеристики алгоритма показали следующее.

1.Достигаемое при завершении оптимизации оптической системы минимальное значение оценочной функции незначительно зависит от задаваемой погрешности в определении значения F, составляющей несколько процентов. Задание погрешности в 5–7 %

ивыше приводит к существенному возрастанию значения оценочной функции.

2.При уменьшении погрешности число итераций, осуществляемых программой автоматизированной коррекции, в целом уменьшается или в некоторых случаях остается приблизительно постоянным, т. е. сходимость по числу итераций улучшается. Однако, так как при этом используется большее число корригируемых аберраций, для их определения требуется просчет большего числа лучей. Это приводит к тому, что суммарное время оптимизации при уменьшении погрешности увеличивается. Детальные исследования указанных зависимостей позволили сделать вывод, что оптимальным значением допускаемой погрешности вычисления среднеквадратичного отклонения волнового фронта можно считать погрешность, приблизительно равную 1 %.

Вышеописанная процедура ограничения длины ряда обеспечивает выбор различных значений степени полинома (8) по отдельным переменным r, ρ и φ в зависимости от внутренних свойств оптической схемы и ее оптических характеристик (поле зрения, апертура).

Эта зависимость проявляется в том, что во многих случаях часть аберраций определенного порядка входит в оценочную функцию, а другую часть аберраций того же порядка из процесса коррекции исключают. Особенно эта тенденция заметна при коррекции светосильных систем с небольшими углами поля зрения или широкоугольных систем с малыми апертурами. Так, при коррекции светосильного объектива с небольшим полем зрения для ИК-области спектра используемый набор корригируемых аберраций состоял из четырех аберраций третьего порядка и четырех аберраций пятого порядка. При этом степень аберрационного полинома по полевой координате r и степень тригонометрического полинома равнялись двум, а степень по апертурной координате – шести. Так же вышеуказанная зависимость проявляется в том, что при коррекции оптических систем, относящихся к однотипному схемному решению, в целом используется одинаковый набор корригируемых аберраций. Это означает, что тип схемы характеризу-

30