303208

2885

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Составитель С.А. Суслова

Липецк Липецкий государственный технический университет

2012

УДК 519.6(07) C904

Рецензент – Н.П. Гвозденко, канд. техн. наук, доц.

Суслова, С.А.

Численные методы [Текст]: методические указания к выполнению лабораторных работ / С.А. Суслова. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. –

33 с.

В методических указаниях приведены краткие сведения и формулы по темам «Приближенное вычисление определенных интегралов», «Решение нелинейных уравнений», «Решение системы линейных уравнений», «Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений». Рассматриваются алгоритмы реализации численных методов.

Предназначены для студентов технических специальностей.

Табл. 4 . Ил. 14.

ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2012

2

Содержание

Лабораторная работа №1

Приближенное вычисление определенных интегралов (метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона)

Лабораторная работа №2

Решение нелинейного алгебраического уравнения (метод деления отрезка пополам, метод касательных, метод хорд)

Лабораторная работа №3

Решение системы линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, метод итераций)

Лабораторная работа №4

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Библиографический список …………………………………………………….32

3

Лабораторная работа №1 Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Методические указания к выполнению работы

Численное интегрирование основано на геометрическом смысле опреде-

ленного интеграла, который заключается в том, что значение

= ∫ ( )

равно площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми = , = и

кривой подынтегральной функции. Эту фигуру (криволинейную трапецию) разбивают на ряд элементарных фигур с легко вычисляемыми площадями, суммирование которых дает искомое значение интеграла.

Метод прямоугольников

Разбиение интервала интегрирования [; ] на n частей приводит к воз-

можности рассмотрения площадей криволинейных трапеций на каждом небольшом отрезке , + .

Учитывая малую величину шага разбиения = −, площадь такой фи-

гуры можно считать приближенно равной площади прямоугольника со сторонами и h (рис.1).

Y

Рис.1. Графическая интерпретация метода прямоугольников

4

Метод трапеций

Замена интеграла

Блок-схема метода прямоугольников представлена на рис.3.

Метод Симпсона (парабол)

Разбиение промежутка [ ; ] на четное число ( = ) отрезков поз-

воляет на каждой паре отрезков [ ; + ] заменить подынтегральную функцию параболой ( ) = + + . Площадь фигуры, ограниченной сверху параболой, считается по формуле:

+2

∫ ( 2 + + ) = 3 ( + 4 +1 + +2) .

Суммирование таких интегралов (площадей, ограниченных параболами) приводит к более точной, чем предыдущие, формуле:

∫ ( ) ≈ 3( 0 + 4( 1 + 3 + … + 2 −1) + 2( 2 + 4 + … + 2 −2) + 2 ) .

Увеличение числа разбиений приведёт к более точным результатам. При вычислении интегралов описанными методами оценить количество разбиений отрезка удается достаточно редко. В таком случае следует выполнить расчёты интеграла для шага h и h/2 и полученные значения сравнить.

6

данной точности ε, то приходится уменьшать шаг до h/4 и т.д., пока на какомто этапе не будет выполнено условие:

− /2 < . 15

Данный алгоритм позволяет вычислить значение интеграла с автоматическим выбором шага. Его схема представлена на рис.4.

Начало

Ввод a, b, ε

F(x)

h=(b-a)/n I1=0

= ( )+( ) 2

x=a+h, b-h, 2h

S=S+2f(x)+f(x+h)

Конец цикла x

I=2hS/3 R=|I-I1|/15 h=h/2

I1=I

Конец

Рис.4. Блок-схема алгоритма метода Симпсона

7

Для удобства программирования использована измененная формула Симпсона:

прямоугольников, трапеций, Симпсона.

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с.10). Номер метода:

метод прямоугольников-1; метод трапеций – 2; метод Симпсона-3.

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи.

3.1.Исходные данные: пределы интегрирования a,b, точность ε задавать при вводе. В результате вычисления должны быть получены значения интеграла , величина погрешности и шага интегрирования h.

3.2.Использовать подпрограмму-функцию для вычисления f(x).

3.3.Использовать подпрограмму для вычисления интеграла при заданном количестве разбиений N отрезка [ ; ].

4.Составить отчет по лабораторной работе.

Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью

вычисленным с заданной точностью. Значение интеграла равно 2.

8

4.В противном случае вычислить 4 – значение интеграла при 4-х разбиениях отрезка [a, b] и сравнить 2 и 4 и т.д., пока точность ε не будет достигнута

(рис.5).

N=1

I0=(b-a)(f(a)+f(b))/2

N=2n

Подпрограмма вычисления I при заданном N

R=| I0-I2|

I0=I

нет

R<ε

да

Вывод I, N

Рис.5. Блок-схема алгоритма вычисления определённого интеграла

4.Контрольные вопросы

1.В чем заключается задача численного интегрирования?

2.Записать указанные преподавателем формулы вычисления интеграла численными методами.

3.Геометрическая интерпретация вычисления интеграла.

4.Объяснить алгоритм численного интегрирования с помощью различных методов.

9