202910

ществует. Приравнивая выражение для производной нулю и решая полу-

ченное уравнение, получим стационарную точку x=2 . Таким образом, рас-

сматриваемая функция имеет две критические точки: при x=2 производная обращается в ноль, а при x=0 не существует. Эти точки разбивают числовую ось на три части: (- ,0), (0,2) и (2,+ ). Исследуем знаки производной:

Следовательно, точка x=2 является точкой минимума, ymin=3. Точка x=0 не является точкой экстремума, ибо она не принадлежит области определения.

6. Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную:

y (1 x83 ) 24x4 . Так как вторая производная положительна при всех зна-

чениях аргумента из области определения, то график функции является всюду вогнутым и, следовательно, не имеет точек перегиба.

Исходя из полученных данных строим график функции (см. рис. 3).

21

y

y x3 4 x2

y=x

Рис. 3

Упражнения

1. Найти интервалы возрастания и убываний и экстремумы функций:

Пользуясь свойством интеграла от суммы, представим данный инте-

грал в виде суммы трех интегралов. Затем в каждом из полученных инте-

гралов вынесем постоянные множители (3, 6 и 5 соответственно) за знак ин-

теграла. Далее воспользуемся формулами основных табличных интегралов:

(3x4 6x2 5)dx 3x4dx 6x2dx 5dx 3 x4dx 6 x2dx 5 dx

53 x5 63 x3 5x C 53 x5 2x3 5x C .

Пример. Найти интеграл (5cos x 6ex )dx .

(5cos x 6ex )dx 5cos xdx 6exdx 5 cos xdx 6 exdx 5sin x 6ex C .

.

23

В полученном интеграле переменной интегрирования служит выражение x3.

Относительно этой переменной получается табличный интеграл от косинуса

cos x3dx3 sin x3 C . Следовательно,

x2 cos x3dx 13 cos x3dx3 13 sin x3 C .

Пример. Найти интеграл (3x 6)21dx методом замены переменной.

Введем новую переменную t следующим образом: t=3x+6. Дифференцируя обе части равенства, получим: dt=(3x+6)'dx=3dx. Выразим дифференциал dx

Ответ необходимо выразить через старую переменную x. Подставим t=3x+6

в полученный результат интегрирования и получим

x2 cos x3dx 13 cos tdt 13 sin t C 13 sin x3 C .

Пример. Найти интеграл x sin dx методом интегрирование по частям.

Этот интеграл относится к первому типу. Поэтому положим u=x, dv=sinxdx. Тогда du=dx, v=-cosx. Используя формулу интегрирования по частям, получаем

xsin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C .

Пример. Найти интеграл ln xdx методом интегрирование по частям.

Поскольку данный интеграл следует отнести ко второму типу, то при-

мем, что u=lnx, dv=dx. Тогда du= dxx , v=x. Применяя формулу интегриро-

вания по частям, получаем

ln xdx x ln x x dxx x ln x dx x ln x x C .

Пример. Вычислить интеграл ex sin xdx методом интегрирование по частям.

Данный интеграл относится к третьей группе. Обозначим его через I.

Примем, что u=ex, dv=sinxdx. Тогда du=exdx, v=-cosx. Следовательно,

I ex sin xdx ex cos x ex cos xdx.

Применим метод интегрирования по частям к интегралу ex cos xdx , входя-

щему в правую часть полученного выражения, считая, что u=ex и dv=cosxdx.

Тогда du=exdx, v=sinx и

Iex cos x (ex sin I ) ex cos x ex sin x I .

Врезультате получено линейное уравнение относительно неизвестного ин-

теграла I. Решая это уравнение, получим искомый интеграл

25

I ex (sin x cos x) C . 2

На последнем шаге решения к первообразной была прибавлена произволь-

ная постоянная.

Упражнения

1. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

26

5. Определенный интеграл

1

Пример. Вычислить определенный интеграл x4 dx .

0

Одной из первообразных для функции y=x4 является функция x5 , по-

5

этому по формуле Ньютона – Лейбница имеем:

следовательно, по формуле Ньютона – Лейбница получим:

b

Пример. Вычислить определенный интеграл cos xdx .

a

b

Поскольку cos xdx sin x C , то cos xdx sin x |ba sin b sin b .

a

Пример. Вычислить интеграл (3sin x 2x)dx .

0

Воспользовавшись свойствами, представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов, а затем вынесем постоянные множители за знаки интегралов:

27

Определим первообразные для каждой из подынтегральных функций по таблице основных интегралов и воспользуемся формулой Ньютона-

Лейбница:

ции под знак дифференциала.

Сперва внесем x под знак дифференциала. Для этого проинтегрируем

под знак дифференциала можно внести постоянный множитель и добавить произвольную постоянную:

В преобразованном интеграле переменной интегрирования служит выраже-

ний 3х2+1. Интеграл относительно этого выражения является табличным,

поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

ной.

Введем новую переменную t следующим образом: t=ln2x. Продиффе-

ренцировав обе части этого равенства, находим связь между дифференциа-

28

лами новой и старой переменной: dt=(ln2x)'dx= dxx . При замене переменной интегрирования необходимо одновременно заменить и пределы интегриро-

вания. Учитывая связь между новой и старой переменными, получим, что

если x=1/2, то t ln( 2 12 ) ln 1 0 , а если x=e/2, то t ln( 2 2e ) ln e 1 . Под-

ставим в исходный интеграл новую переменную, выражение для частного

dx через дифференциал новой переменной dt и заменим пределы интегри- x

рования. В результате получим интеграл

стям.

Введем функции u и v следующим образом: u=x и dv=exdx. Тогда du=dx, а v=ex. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=3x2, осью абсцисс и прямыми x=1 и x=2.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и y x .

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого ре-

шим систему уравнений

y = x2

y x .

Приравнивая правые части этих уравнений, получим:

x2 x , или x(x32 1) 0 .

Произведение обращается в ноль, если один из сомножителей равен нулю.

Приравнивая каждый из сомножителей нулю, получаем два корня x=0 и x=1.

Подставим производную в формулу для длины дуги кривой и проведем ин-

тегрирование. Дописывая под знаком дифференциала единицу, получаем: