Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

202910

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

780.79 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма (ГЦОЛИФК)»

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации к практическим и семинарским занятиям

МОСКВА – 2011

МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма (ГЦОЛИФК)»

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации к практическим и семинарским занятиям

МОСКВА – 2011

Утверждено и рекомендовано Экспертно-методическим Советом ИТРРиФ ФГБОУ ВПО РГУФКСМиТ

Протокол №8 от 09.06.2011г.

УДК 51(07) М 34

Составители: Конюхова Г.П. – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ;

Конюхов В.Г. – кандидат технических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ;

Яшкина Е.Е. – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ.

Рецензент: Попов Г.И. – д.п.н., профессор кафедры ЕНД РГУФКС-

МиТ.

Методические указания разработаны к практическим и семинарским занятиям по курсу «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям 032100.62 «Физическая культура», 100200.62 «Туризм», 080100.62

«Экономика», по специальностям: 032101.65 «Физическая культура и спорт», 032103.65 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм»,

100201.65 «Туризм», 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (АФК)», 030602.65 «Связи с общественностью»,

080507.65 «Менеджмент организации», 030301.65 «Психология», 040104.65

«Организация работы с молодежью», 050720.65 «Физическая культура».

Введение

Данное учебное пособие предназначено для студентов высших учеб-

ных заведений физической культуры и спорта, изучающих основы высшей математики и математической статистики.

При написании учебного пособия авторы исходили из требований государственного образовательного стандарта и опыта проведения лекци-

онных и практических занятий по данной дисциплине на кафедре естествен-

нонаучных дисциплин и информационных технологий Российского госу-

дарственного университета физической культуры.

Главной целью работы является помощь студентам как очной, так и заочной форм обучения в изучении курса «Математики».

Учитывая прикладной характер изложения основных понятий и мето-

дов в курсе «Математика», наибольшее внимание уделено решению задач по темам, наиболее близким по своей постановке к области физической куль-

туры и спорта. В работе приведены примеры решения типовых задач и за-

дачи для самоконтроля.

Содержание учебного пособия выдержано в рамках учебного плана.

1. Понятие функции

Пример. Найти область определения функции y=2x3-3x+4.

Функция y=2x3-3x+4 определена на всей числовой оси x R.


Пример. Найти область определения функции y			x 1
					.
			(x 6) (x 3)
Знаменатель дроби не может быть равным нулю. Следовательно,
функция определена, если (x 6) (x 3) 0 . Произведение равно нулю,						ес-
ли равен	нулю, хотя	бы один из сомножителей, поэтому x 6 0				и
x 3 0 ,	или x 6 и	x 3. Следовательно, функция y		x 1

				(x 6) (x 3)

определена на всей числовой оси, за исключением точек -3 и 6: x (- ,-3) (- 3,6) (6,+ ).

Пример. Найти область определения функции y

1 x2 .

Подкоренное выражение не может быть отрицательным. Следователь-

но, функция определена,

если 1 x2 0

или (1 x)(1 x) 0 .

Методом ин-

тервалов получаем, что

x [ 1, 1]. Область определения заданной функции

иметь вид x [-1,1].

Пример.

Найти область определения функции y

ln( x 2)

)

x 2 2x 3)

Заданная

функция

определена, если определен

ln( x 2) ,

то есть

x 2 0, и подкоренное выражение в знаменателе положительно,

то есть

x2 2x 3 0.

Решением

неравенства

x 2 0, является

x 2 , или

x ( 2, ) . Для

решения

неравенства

x2 2x 3 0 найдем предвари-

тельно корни уравнения

2x 3 0 . Ими являются x =-1 и x =3. После

этого методом интервалов получаем, что x ( , 1) (3, ). Учитывая оба

полученные условия, получаем, что, область определения заданной функ-

ции иметь вид x ( 2, 1) (3, ).

Пример. Исходя из определения, предела показать, что lim (3x 5) 1.
						x 2
Зададимся произвольным					0 . Необходимо найти такое 0 , что для
всех x, удовлетворяющих					неравенству \|x-2\|<δ, выполняется неравенство
\| (3x 5) 1\| .	Раскрывая скобки,					запишем последнее неравенство в виде
\| 3x 6 \| , или		x 2		. Выбирая		, получим, что для всех x, удовле-

			3			3

творяющих неравенству				\|x-2\|<δ выполняется неравенство \| (3x 5) 1\| .

Значит lim (3x 5) 1.

x 2

Пример. Сравнить порядок функций α=4x3 и β=5x3 при x→∞.

( x)

4x3

Поскольку lim

lim

, то функции α(х) и β(х) являются беско-

( x)

x 5x3

нечно малыми одного порядка при x→∞.

Пример. Найти асимптоты графика функции y

x 6

Поскольку

lim

x2 x 6

, и

lim

x 6

, то прямая x=-4

x 4

x 4 0

является вертикальной асимптотой.

Вычисляя

значения

пределов

k lim

x 6

x x( x 4)

b lim [

x 6

x] lim

3x 6

(аналогично и при x→-∞), получа-

x 4

ем, что прямая y=x-3 является наклонной асимптотой.

	y=	1-x 4, x≠0
		0,
Пример. Исследовать на непрерывность функцию			.

В точке x=0 функция имеет устранимый разрыв,	поскольку в этой

точке существует предел функции, равный 1 ( lim y( x) 1), который не равен

x 0

значению функции в этой точке y(0)=0. Чтобы функция стала непрерывной в

точке x=0 следует определить ее значение в этой точке равным ее предель-
ному значению в этой точке y(0) lim y(x) 1.
					x 0
							y=	x2, x<1
							y=	2x, x≥1
	Пример. Исследовать на непрерывность функцию							2x, x≥1		.
	Пример. Исследовать на непрерывность функцию									.
	Функция	имеет	в	точке	x=1 разрыв	первого	рода,		поскольку
lim	y(x) 1, а	lim y( x) 2 .
x 0 1		x 0 1
							y=	x,	x<0
							y=	1/x, x>0
	Пример. Исследовать на непрерывность функцию							1/x, x>0
	Пример. Исследовать на непрерывность функцию
	Функция	имеет	в	точке	x=0 разрыв	второго	рода,		поскольку
lim	y(x) 0 , а	lim y(x) - правый предел в точке x=0 не существует.
x 0 0		x 0 0
	Пример.	Исследовать на непрерывность функцию y=cos(1/x).
	Точка x=0 является точкой разрыва второго рода для функции

y=cos(1/x), поскольку не существует ни левого, ни правого предела этой функции при x 0.

Упражнения

1. Установите области определения функций:

	y 2x2 3x 1
1.1.	y 2x2 3x 1		1.6.	y (x 5)(2x 8)

	y 2x10 3x5 1
1.2.	y 2x10 3x5 1		1.7.	y	4x2	x 7x
			1.7.	y	( x 8)( x 5)
					( x 8)( x 5)

		8

5x 10

1.3.

1.8.

x2 9x 14

x(2x 10)

1.4.

2x 7

1.9.

3x 5

x2 5x 6

4x2 1

1.5.

x 2

1.10.

(x 1)( x 8)

(x 2)( x 5)

2. Используя определение, покажите, что следующие функции являются бесконечно большими:

2.1.

y x2 1,

x +

2.2.

, a=2

x 2

3. Вычислите значения следующих пределов:

3.1.

lim

2x2 2

lim

x 5 2

3x2 2x 1

x 1

3.2.

x 1

4. Исследуйте данные функции на непрерывность на отрезке [c,d], если:

5.1. y	3x 10	а) [c,d]=[-10, 20], б) [c,d]=[-0.5, 0.5]

	(x 2)( x 1)
	(x 2)( x 1)

2. Понятие производной

Пример. Найти производную функции y=5sinx. y'=(5sinx)'=5(sinx)'=5cosx.

Пример. Найти производную функции y=2x3+4cosx. y'=(2x3+4cosx)'=(2x3)'+(4cosx)'=2(x3)'+4(cosx)'=2·3x3-1+4·(-sinx)=6x2-4sinx.

Пример. Найти производную функции y=2x·tgx.

y'=(2x·tgx)'=(2x)'·tgx+2x·(tgx)'=2x·ln2·tgx+2x·

=2x·tgx·(ln2+

cos2 x

sin 2 x

Пример. Найти производную функции

sin x

(5x ) sin x 5x (sin x)

5x ln 5sin x 5x

cos x

y (

)

sin x

sin 2 x

Пример. Вычислить производную функции u=earcsinx.

Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=ev, где v=arcsinx. Используя первую формулу для дифференцирования сложной функции, получим

u (ev ) (arcsin x) ev	1	earcsinx	1	.


	1 x2		1 x2
	1 x2		1 x2

Пример. Вычислить производную функции u=sin5x.

Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=v5, где v=sinx.

Применим вторую формулу для дифференцирования сложной функции и получим

u'=5sin5-1x·(sinx)'=5sin4x·cosx.

Пример. Вычислить производную функции, заданной параметрически

x=5(t-sint) y=5(1-cost)

Здесь (t)= 5(t-sint), а (t)==5(1-cost), поэтому

	(5(1 cost))		(1 cost)			sin t


yx	(5(t	sin t))	(t	sin t)		cost
					1

	t				t
2sin		cos					t
2sin	2	cos			2	ctg	t	, t ≠ πn, n- целое.
2sin			2 t			ctg	2	, t ≠ πn, n- целое.
			2 t				2
				2
				2

Пример. Найти производную неявной функции y', заданной уравнени-

ем x2+y2=5.

Поскольку y является функцией переменной x, то будем рассматривать y2 как сложную функцию переменной x. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (y2)'=2yy'. Дифференцируя по x обе части исход-

ного уравнения, получим уравнение

2x+2yy'=0

для определения искомой производной. Из него находим

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022493.57 Кб22024.doc
#
15.11.2022425.95 Кб0202442.pdf
#
15.11.2022306.88 Кб1202897.pdf
#
15.11.2022270.08 Кб0202899.pdf
#
15.11.2022271.42 Кб4202901.pdf
#
15.11.2022780.79 Кб1202910.pdf
#
15.11.2022418.06 Кб0202916.pdf
#
15.11.2022542.91 Кб3202926.pdf
#
15.11.2022305.67 Кб0203245.pdf
#
26.02.202386.08 Кб3203320.pdf
#
15.11.2022945.58 Кб4203445.pdf