Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы

Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления

a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k,

где «,» – разделитель целой и дробной частей; a_i, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления

(a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k)_n,

определяется по формуле

a_mn^m + a_m–1n^m–1 + … + a₁n¹ + a₀n⁰ +

+ a_–1n^–1 + a_–2n^–2 + … + a_–kn^–k =

В информатике и вычислительной технике широко используются следующие системы счисления:

- двоичная n = 2; используемый алфавит: A = {0, 1}; например, 0111000₂;

- десятичная n = 10; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; например, 102₁₀; в дальнейшем числа без указания основания системы счисления будем считать десятичными;

- шестнадцатеричная n = 16; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; цифры A, B, C, D, E, F имеют десятичные количественные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно; например, AB034D₁₆.

Представление цифр в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления представлено в таблице.

Десятичная	Двоичная	Шестнадцатеричная
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

В вычислительной технике используется двоичная система счисления, то есть все числа и данные представляются в виде последовательности нулей и единиц (бит). Двоичная система счисления обладает следующими преимуществами перед системами счисления с другими основаниями:

- для реализации двоичных цифр необходимы технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: «ток есть» – «ток отсутствует», «намагничено» – «не намагничено» и т. п., а не с десятью – как в десятичной системе счисления;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- для выполнения арифметических операций используется простой аппарат алгебры высказываний (булевой алгебры).

В вычислительной технике процессы ввода, вывода и обработки числовых данных связаны с преобразованием чисел из одной системы счисления в другую. Поэтому рассмотрим правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.

Перевод целого или дробного числа из n-й системы счисления в десятичную - число из n-й системы счисления в десятичную переводится с использованием формализованного представления числа.

Перевод целых чисел

Правила перевода числа в другую, не десятичную систему счисления различаются для целых и дробных чисел.

Перевод целого числа X осуществляется по следующему алгоритму:

1) получить цифру числа n-ой системы счисления как остаток от деления числа X на основание новой системы счисления n; полученную цифру приписать слева от имеющихся цифр;

2) принять за X частное от деления числа X на основание системы счисления n;

3) выполнять шаги 1-2, пока X  0.

Пример. Перевести число 25 в двоичную систему счисления.

Решение. Удобно представить перевод числа в виде столбца, каждая строка которого содержит частное и остаток от деления числа X на основание двоичной системы счисления n = 2.

В результате получим число 11001₂ – результат перевода числа 25 в двоичную систему счисления. □

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления - каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется тетрадой (четырьмя битами), являющейся представлением этой цифры в двоичной системе счисления.

Пример. Перевести число 3BC₁₆ в двоичную систему счисления.

Решение. Цифра 3₁₆ представляется числом 0011₂, B₁₆ – 1011₂, C₁₆ – 1100₂. Тогда результат перевода числа 3BC₁₆ в двоичную систему счисления будет равен 001110111100₂. □

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления - двоичное число делится на тетрады справа налево. Каждая тетрада заменяется соответствующей ей цифрой. Если самая левая тетрада неполная, то есть содержит меньше четырех цифр, то слева от числа дописываются нули.

Пример. Перевести число 1110111100₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение. Разделим число на тетрады и поставим в соответствие каждой тетраде шестнадцатеричную цифру. В самой левой тетраде только две единицы, поэтому дополним ее слева двумя нулями.

11	1011	1100
		
0011	1011	1100
		
3	B	C

В результате получаем число 3BC_16. С помощью шестнадцатеричной системы счисления удобно записывать значения байт, так как восемь бит записываются двумя шестнадцатеричными цифрами. Например, число 11110001₂ будет записано как число F1₁₆.