Наноматериалы для радиоэлектронных средств. Ч. 2. Исследование наноматериалов с помощью сканирующего туннельного микроскопа (96

ходится из условия нормировки f(P) с применением определяющего свойства δ-функции:

Электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, т. е. не могут перейти в состояние 2 (рис. 7.3), если в нем уже есть электрон (спин не рассматриваем). Чтобы учесть эту статистику, надо в формулу (7.6) для плотности W потока следует добавить вероятность (1 – f2(P)) того, что конечное состояние 2 свободно. Кроме того, нужно учесть обратный поток W21, в формуле которого начальное состояние 1 и конечное 2 меняются местами:

Рассмотрим наноматериал между иглой 1 и подложкой 2 в виде слоистой структуры «металл — среда — металл» (рис. 7.4). Предположим следующее.

1.Эта структура совершенно однородна вдоль слоев.

2.Важен поток только поперек слоев, т. е. в формуле (7.8) скорость v направлена вдоль оси Z.

3.Распределение f(P) электронов внутри металла есть распределение f(Екин) Ферми — Дирака: f(Е) ≡ 1/{exp[β(E – EF)] + 1}, т. е.

зависит не от отдельных составляющих импульса РХ, РY, PZ, а от кинетической энергии Екин = (РХ2 + РY2 + РZ2)/2m.

4.Вероятность перехода электрона через среду между слоями есть величина Т(Екин), которая подобно f(Екин) зависит только от

31

энергии Екин ≡ ε + Е, где ε — кинетическая энергия движения электрона вдоль слоя, а Е — поперек слоя.

При этих предположениях формула (7.8) принимает вид

W = h13 ∫∫ dPX dPY ∫ dPZ v(E)[ f1(E + ε) − f2 (E + ε)]T (E + ε). (7.9)

Теперь можно перейти от трехмерного импульсного Р-пространства к одномерному энергетическому, введя двумерную плотность энергетических состояний N2(ε):

где ε ≡ PX + PY .

2m

Иными словами, плотность состояний N(E) есть производная dVP/dE по энергии Е от объема VP в импульсном пространстве. Для двумерного движения в плоскости слоя импульсный объем VP есть площадь круга πP2 радиуса P, а энергия ε = P2/(2m). Отсюда VP =

=πP = π2mε и N2(ε) = dVP/dε = π2m.

Врезультате формула (7.9) принимает вид

W = 2π3m ∫ v(E)N1(E)dE ∫ dε[ f1(E + ε) − f2 (E + ε)] T (E + ε). (7.11) h

Здесь ε обозначает энергию движения вдоль слоев, а Е — поперек (см. рис. 7.4); N1(E) — одномерная плотность состояний поперечного движения, а v(E) — его скорость, v(E) = (2E/m)1/2. Вычисление N1(E) проводится аналогично N2(E), только вместо площади

πP2 круга радиуса Р импульсный объем VP (одномерный) здесь равен длине отрезка 2Р. Поэтому N1(E) = (2m/E)1/2 и v(E)N1(E) = 2.

Далее предполагаем, что прозрачность Т(Екин) зависит только от движения электронов поперек слоев, т. е. Т(Е+ε) = Т(Е). Тогда можно провести интегрирование по ε в формуле (7.11) и получить выражение

32

странства, но число его измерений невелико (обычно меньше пяти). Частотные спектры сильно уширены, особенно на низких частотах;

7) сильный широкополосный хаос. Число измерений фазового пространства велико (обычно больше семи). Для этого самого общего случая нет моделей.

Траектория движения системы в фазовом пространстве описывается системой эволюционных дифференциальных уравнений первого порядка:

dX dt F ( X ,Y,..., Z),

dY dt F ( X ,Y,..., Z),

(7.14)

...

dZ dt FM ( X ,Y,..., Z).

Число М этих уравнений равно числу степеней свободы системы. В правой части стоят известные функции F, зависящие от координат, но не зависящие от времени. Если на такую систему c М координатами действует гармоническая внешняя сила f cos(ωt), то число М уравнений увеличивают на единицу. Фазу внешней силы превращают в новую (М + 1)-ю координату Ф ≡ ωt, уравнение для которой dФ/dt = ω уже не содержит времени в правой части.

После нахождения траекторий в фазовом пространстве на протяжении большого промежутка времени можно построить частотную гистограмму попадания точек траектории в окрестность любой заданной точки Ω, т. е. найти распределение вероятности Р(Ω) в фазовом пространстве.

Для анализа хаотического поведения измеряют координаты точек траектории Ωп(t) в псевдофазовом пространстве {Ωп}, а также частотный спектр F(ω) и автокорреляционную функцию G(τ). Сначала получают выборку большого (порядка 104) числа N последовательных измерений тока I(tn), причем моменты времени tn разделены одинаковыми интервалами τ.

Для построения траектории в псевдофазовом пространстве сначала задают его предполагаемую размерность М. Точка псевдофазового пространства Ωп — это набор М чисел Ωп = = {I(tn), I(tn+τ), …, I(tn+(М–1)τ)}, т. е. в качестве координат точки

34

рию. Если траектория заполняет объем V и для его покрытия нужно K кубиков, то V = KδD, т. е. K = Vδ–D, поэтому ln(K) = ln(V) –

Dln(δ). Покрываемый объем V постоянен, поэтому при стремлении размера δ кубика к нулю величина ln(V)/ln(δ) стремится к нулю, и мы приходим к формуле (7.17). Для обработки экспериментальных данных применяется более удобный способ вычисления фрактальной размерности

Здесь размерность D (средняя поточечная размерность) есть среднее арифметическое размерностей Dk, вычисленных в каждой из S точек траектории (рис. 7.8). Выражение для размерности Dk в k-й точке похоже на формулу (7.17), только вместо функции ln[1/K(δ)] стоит аналогичная убывающая функция ln[Рk(δ)], где Рk < 1. Здесь Рk(δ) — число точек траектории, отстоящих от k-й точки на расстояние Lkm, меньшее величины δ, и поделенное на число S всех точек. Иными словами, Рk(δ) — среднее число близких по времени точек в кубике размером δ около k-й точки, т. е. Рk(δ) — это вероятность найти другие точки в δ-окрестности вокруг k-й точки. Для малых δ такая вероятность должна быть пропорциональна объему V(δ) этой окрестности: Рk(δ) = ρV(δ), где ρ — некоторая плотность. Отсюда для V(δ) = δd , т. е. для «обычных»

36

объемов (d = 3), площадей (d = 2) и длин (d = 1) по формуле (7.18) получаем Dk = d.

При экспериментальном определении размерности D нужно подбирать оптимальные значения числа S точек и диапазона размеров δ кубика. С одной стороны, S должно быть достаточно большим (обычно более 104), чтобы можно было убедиться, что траектория прошла по всем «своим» областям фазового пространства. С другой стороны, слишком большие S (более 106) увеличивают время обработки, не давая новой информации. Аналогично размер δ кубика должен быть достаточно мал (обычно менее 10–2 от характерного размера траектории), но не меньше, чем характерное расстояние между точками траектории (чтобы в δ-окрестности всегда было несколько точек).

Процедуру измерения размерности D траектории нужно повторять, последовательно увеличивая предполагаемую размерность М пространства. Когда М приближается к «настоящей» размерности М0 фазового пространства, значения D должны меняться все меньше, стремясь к «настоящей» размерности D0.

Если М0 > 7, рассмотренные методики перестают работать. Это связано не столько с вычислительными сложностями, сколько с принципиальными трудностями описания движения в пространстве большого числа измерений. В частности, начиная с М0 = 5, объем V0 шара единичного радиуса с ростом М0 падает (при М0 = 1, 2, 3 этот объем равен соответственно V0 = 2, π и 4π/3, т. е. растет) и по форме этот шар все больше похож на тонкую сферическую оболочку.

Длительным измерениям тока I(t) (порядка 10 мин) мешают различные причины, рассмотренные в работе № 4. Из них для анализа шумовых и фрактальных характеристик нанослоев особенно важны следующие: 1) тепловой дрейф подложки относительно иглы (около 1 нм/мин); 2) сильные изменения зазора «игла — подложка» из-за вибраций (более 1 нм из-за ударов по полу в здании); 3) стабильность нуля на шине заземления (всплески более 0,1 В, например, из-за сварочных работ в здании). Поэтому после снятия временного ряда значений тока I(tn) длиной N около N = 104 нужно включать ОС и стабилизировать ток в течение примерно 100 мс.

Таким образом, измеряемая траектория Ω(tk) состоит из фрагментов длиной около S = 103 точек, отличающихся начальными условиями Ω(0) в фазовом пространстве (рис. 7.9). Каждый фрагмент

37

траектории описывает систему на протяжении примерно 1 мин с погрешностью около 1 мс. При благоприятных условиях можно за несколько часов измерений получить несколько сот таких кусков траекторий и построить распределение вероятности P(Ω) найти систему около заданной точки Ω фазового пространства.

7.2.Расчетная часть

•Найти размерность фазового пространства нанослоя и рассчитать траекторию в нем, если заданы следующие условия:

1) в начальный момент времени напряжение U и ток I равны нулю;

2) к нанослою прикладывается известное постоянное напряжение U(t) =U0;

3) известна эквивалентная принципиальная электрическая схема измерения тока I(t) через нанослой (рис. 7.10).

4) электрические свойства нанослоя полностью описываются двумя его характеристиками:

а) статической ВАХ в виде линейной функции I(U) =U/R; б) емкостью С.

•Предположив, что размерность М псевдофазового пространства М = 2, рассчитать точки траектории, взяв интервал τ выборки значений тока I(τn) много меньшим, чем характерное время τ0 = RC заряда емкости С через сопротивление R.

•Найти размерность фазового пространства нанослоя и рассчитать траекторию в нем, если предыдущие условия изменили следующим образом:

38

1)к напряжению добавили гармоническую составляющую известной амплитуды U1 и частоты ω: U(t) = U0 +U1 cos(ω1t);

2)статическая ВАХ нанослоя стала нелинейной функцией I =

=I(U).

•Оценить, как в этих новых условиях будет выглядеть набор точек для траектории в псевдофазовом пространстве. Что произойдет, если интервал выборки τ взять равным Т/n, где n — целое число, а Т — период внешнего возмущения U(t)?

7.3.Экспериментальная часть

•Под руководством преподавателя подготовить иглу, подложку, СТМ и сблизить иглу с подложкой до нанометрового зазора, как описано в работе № 4.

•Получить выборку последовательных измерений тока I(t). Для этого:

1) в меню параметров измерения фрактальных и шумовых ха-

рактеристик установить интервал τ = 50 мкс, число точек N = 104, ток ОС I0 = 1 нА, время действия ОС ТОС =10 мс, отключить усреднение, сглаживание и внешнее возбуждение U(t);

2)включить режим выборки I(t). Зарисовать примеры серий I(tn)

сэкрана ПЭВМ и осциллограммы тока I(t) с экрана осциллографа;

3)повторить измерения с другими значениями N и ТОС, добиваясь минимальных всплесков I при работе ОС и максимальной длительности напрерывной серии I(t);

4)включить режим фурье-спектра и корреляционной функции.

Зарисовать примеры спектров F(ω) и корреляционных функций G(τ) с экрана ПЭВМ. По графикам спектров I(ω) определить ширину и высоту областей сплошного спектра и узких спектральных линий. По графикам функций G(τ) определить корреляционное время τкор как время, за которое значение функции G(τ) уменьшается в е раз.

• Построить траектории Ωп(t) в псевдофазовом пространстве, измерить их среднюю фрактальную размерность D и распределение вероятности Р(Ω). Для этого:

1) в меню параметров фазового пространства установить размерность М = 2 и диапазон размеров кубика δ от 0,01 до 0,1;

39

2)включить режим фазового пространства;

3)зарисовать примеры траекторий Ωп(t), величину D и сечения графиков Р(Ω) с экрана ПЭВМ.

• Повторить измерения с другими значениями параметров τ, N, I0, ТОС, а также с включенным внешним возбуждением U(t). Проанализировать связь этих параметров с видом траекторий.

7.4.Контрольные вопросы

1.Каковы характерные значения напряжений и токов в нанослоях при измерении их шумовых и фрактальных характеристик?

2.Каковы основные этапы перехода от многочастичной функции F(Ω) распределения вероятностей к одночастичной функции f(P) в импульсном пространстве?

3.Проведите интегрирование и получите результат по формуле (7.12).

4.Поясните рисунком, почему ток через квазижидкие нанослои может хаотически меняться во времени.

5.Какие типы движений наблюдаются для диссипативных нелинейных систем?

6.Какие измерения проводят для анализа хаотического поведения системы, через которую протекает ток I?

7.Как по экспериментальной выборке I(tn) строят траекторию в псевдофазовом пространстве и определяют ее фрактальную размерность?

8.Какие предположения делаются при вычислении частотного

спектра F(ω) и корреляционной функции G(τ)?

9.Поясните рисунком наглядный смысл фрактальной размерности D траектории для случая D = 2.

10.Что мешает проведению непрерывных измерений тока I(t) через нанослои на протяжении приблизительно 1 ч?

11.Как по экспериментальным данным строят распределение вероятности P(Ω) в фазовом пространстве?

40