Метод узловых потенциалов.

Для решения задач большой размерности при использовании ЭВМ для расчета эквивалентных схем применяют 2 метода:

- метод контурных токов;

- метод узловых потенциалов.

С точки зрения большей производительности при выполнении решений более перспективным является метод узловых потенциалов. Т.к. при решении задач различной физической природы мы ищем аналогии между электрическими системами, как более продвинутыми в программном отношении, и соответствующими физическими процессами (тепловыми, механическими, гидродинамическими), то при изложении метода узловых потенциалов будем пользоваться терминами электрических схем.

Обозначим фазовые переменные I, U, 𝜑, которые будут обозначать векторы-столбцы токов, напряжений ветвей и узловых потенциалов соответственно. Напряжение ветви есть разность потенциалов инцидентных ей узлов, поэтому в векторной форме связь между U и 𝜑 устанавливается через матрицу инциденции:

где А^t – транспонированная матрица А.

В процедуре решения по методу узловых потенциалов все ветви эквивалентной схемы разделим на группы: емкостных, резистивных, индуктивных ветвей и ветвей источников (генераторов) тока.

Представим эти группы соответствующими обозначениями:

- для токов:

- для напряжений:

Таким образом в виде компонент матрицы:

где - подматрица инциденций узлов и емкостных ветвей и т.д.

Будем использовать при подготовке решения задач диагональные матрицы емкостей С, сопротивлений R, индуктивностей L. Диагональные элементы в этих матрицах равны внутренним параметрам, входящим в электрическую схему.

Введенные обозначения поясним на примере электрической цепи (рисунок 7).

Для этой схемы матрица А с выделенными подматрицами имеет вид:

	R1	R2	R3	R4	C1	C2	IU	4 – базовый узел матрицы А
1	-1	-1	0	0	-1	0	1
2	0	+1	-1	0	0	-1	0
3	0	0	+1	-1	0	0	0
	AR				AC		AU

Другие векторы и матрицы имеют вид:

Основные положения узлового метода:

В качестве базовых координат используются узловые потенциалы. Исходным топологическим уравнением является уравнение равновесия токов в узлах: (уравнение в векторной форме) (12)

Если учесть все принятые выше обозначения с выделением для всех фазовых переменных соответственно емкостных, резистивных, индуктивных ветвей, то векторное уравнение перепишем в виде:

где I_U в общем случае есть функция 𝜑, , t , т.е. I_U (𝜑, , t).

Эта система неудобна для численного решения. В случае линейной задачи ее сводят к системе линейных алгебраических уравнений с помощью преобразований Фурье и Лапласа. Для этого производят замену:

где h – шаг дискретности (квантования) по оси времени;

n – 1, n – шаги интегрирования.

Такая замена осуществляется на каждом шаге численного решения. Тогда окончательно имеем:

По данному уравнению, которое представляет собой систему алгебраических и трансцендентных уравнений с неизвестными векторами 𝜑_n , и, учитывая, что на предыдущем шаге решения задачи были вычислены фазовые переменные и , появляется возможность по приведенным уравнениям вычислить потенциал 𝜑_n (момент времени t_n). После этой операции, учитывая, что существует связь между напряжением в ветвях U и потенциалом 𝜑_n (), вычисляем все компоненты напряжения U_n , а по остальным компонентам уравнения вычисляем вектор фазовой переменной . Т.к. компонентами векторов 𝜑_n, I_n и U_n являются соответственно потенциалы в узлах, токи и напряжения в ветвях электрической схемы, то после этой процедуры все фазовые переменные и их компоненты в электрической схеме будут определены. Конечной процедурой решения задачи является масштабированный пересчет всех фазовых переменных электрической системы к фазовым переменным эквивалентной ей исследуемой физической системы. Т.о., найдя эквивалент исследуемой физической системы в виде электрической системы и используя пакет программ, появляется возможность обеспечить решение любой физической системы, если для нее существует математическая модель в виде компонентных и топологический уравнений.

Лекция 11.