Лекция 9

Компонентные и топологические уравнения

на иерархическом уровне Б.

При получении математических моделей (ММ) элементов уровня Б чаще применяют теоретический подход. При этом сложный объем разбивается на элементы (участки). Далее производится усреднение значений параметров и фазовых переменных в пределах выделенного участка.

Исходными уравнениями для получения ММ элементов являются уравнения предыдущего уровня (В), например, уравнения (1) и (5).

Усреднение значений параметров и фазовых переменных заключается, прежде всего, в замене частных производных на отношения , где l – длина участка (элемента) в направлении оси Х; и - значения фазовой переменной на границах участка.

В простейших элементах связи между фазовыми переменными выражаются в одном из следующих трех видов:

где U, I, 𝜑 – фазовые переменные (I – фазовая переменная типа потока; 𝜑 – фазовая переменная типа потенциала; R, c, l – внутренние параметры).

Уравнения (6) называют компонентными уравнениями.

Полные ММ систем получают объединением ММ элементов в общие системы уравнений. Такое объединение осуществляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения, объединяющие фазовые переменные элементов, называют топологическими уравнениями.

Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для большинства различных физических систем (механических, тепловых, гидродинамических и т.д.). Это обстоятельство обуславливает наличие аналогий между разнородными физическими системами. Установление аналогий в математических записях имеет существенное значение для эффективности использования САПР, т.к. появляется возможность использовать одни и те же математические методы и программы для решения проектных задач самого различного физического содержания. Появляется возможность создать универсальную программное обеспечение, которое применимо при расчетах различных физических систем.

Электрические системы.

Основными фазовыми переменными этих систем являются токи и напряжения в элементах (резисторах, конденсаторах, катушках индуктивности, трансформаторах, источниках тока и напряжения и т.д.).

Компонентные уравнения элементов:

I – ток; U – напряжение, равное разности потенциалов на концах элемента; R – сопротивление; L – индуктивность; c – емкость.

При соединении элементов друг с другом образуется электрическая цепь (система элементов).

Приведенные выше компонентные уравнения для электрических цепей объединяются в топологические уравнения исходя из условий равновесия и непрерывности фазовых переменных. Топологические уравнения записываются относительно узлов и контуров в сложной схеме, в которую входят все базовые элементы. Формально эта запись соответствует 1-ому и 2-ому законам Кирхгофа:

Аналогия между компонентными и топологическими уравнениями в механической и электрической системах.

От компонентных и топологических уравнений электрических схем, для анализа которых имеется обширное программное обеспечение, можно перейти к их аналогам других физических процессов. Например, построить эквивалентную электрическую схему, адекватно описывающую процессы механической поступательной системы, механической вращательной системы, тепловой системы. Аналогии описаний строятся из аналогии компонентных уравнений элементов.

Покажем это на примере механической вращательной и тепловой системах. Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид:

– вращательный момент; – угловые скорости на концах элемента; – вращательное сопротивление (в опорах вращения); – вращательная гибкость элемента; – момент инерции элемента.

Аналогии с компонентными уравнениями вращательной системы и электрической:

В электрической схеме задаются параметры R, c, L.

Тогда для вращательной системы имеем схему:

Эквивалентная электрическая схема:

Граф для электрической цепи:

Матрица инциденции:

ветви узлы	I1	L1	L2	R2	R1	c
а	1	-1	0	0	-1	0
б	0	1	-1	0	0	-1
в	0	0	1	-1	0	0

Лекция 8.

Аналогия между тепловой и электрическими системами.

Основные фазовые переменные в тепловой системе – температура Т и тепловой поток q_т.

При рассмотрении теплопередачи в твердом теле оно (твердое тело) разбивается на отдельные участки. Каждый участок характеризуется теплопроводностью С_Т, причем связь между приращением количества теплоты dQ в элементе и приращением температуры dT дается выражением:

C_T = C·ρ , где С – удельная теплоемкость.

Поэтому,

Отсюда

Кроме того, каждый участок твердого тела обладает теплопроводностью, характеризуемую параметром λ (коэффициент теплопроводности), которая через закон Фурье (5) связывает плотность теплового потока J_Q (поток через единицу площади) и изменение температуры Т:

Умножая уравнение (5) на площадь поперечного сечения участка (элемента) S и заменяя gradT на отношение разности температур (Т₁ - Т₂) к длине участка l, получим:

где – тепловое сопротивление.

Аналогии в параметрах: температура Т эквивалентна потенциалу 𝜑; теплоемкость С_Т эквивалентна электрической емкости С; тепловое сопротивление R_Т эквивалентно электрическому сопротивлению R; тепловой поток q_T эквивалентен току I.

Для участка контакта твердого тела с жидкой или газообразной фазой тепловое сопротивление определяется теплоотдачей через конвекцию. При этом в соответствии с законом Ньютона , получаем:

Пример тепловой системы и ее эквивалентная электрическая система.