Топологические уравнения на иерархическом уровне б:

Топологические уравнения систем записываются к узлам и контурам этой системы. Следовательно, сама форма топологических уравнений требует отождествления участков реальной структуры объектов или характеризующих эти участки величин с некоторыми ветвями и узлами, которые входят в структуру исследуемой системы. В данном случае реальный объект отображается при решении задачи некоторым графическим представлением, состоящим из связанных между собой ветвей. Эти отображения в графической форме реализуются с помощью графов, которые позволяют получить эквивалентную схему исследуемого объекта. С помощью теории графов создаются структурные модели сложных исследуемых объектов, а также отображаются возможности выполнения математических операций с графами при описании и преобразовании структурных схем объектов.

Термины и определения из теории графов:

Графом называют совокупность вершин (узлов) и связывающих их ребер (ветвей), которая в математическом выражении имеет вид: , где

Г – граф;

У – множество вершин;

Р – множество ребер;

U – инцидентор (указатель способа соединения ребер друг с другом).

Если для ребер графа указаны определенные направления, то граф называют направленным графом (ориентированным или оргграфом). Ребра направленного графа называют дугами.

Подграфом называют такую часть графа, которая включает в себя некоторые вершины и ребра графа, причем среди ребер могут быть только те ребра, которые связывают вершины подграфа.

Рисунок 4а – связанный граф;

Рисунок 4б – несвязанный граф.

У^| (1, 2, 3), P^| (a, в, с). Если в входят все вершины графа, т.е. У^| = У и P^| = Р, то подграф превращается в суграф (полный граф) (рисунок 4а).

Маршрутом называют любую последовательность S ребер, в которой соединения ребер инцидентны (принадлежат) одной и той же вершине. На рисунке 4 последовательность ребер (a, c, f, e, d) можно назвать маршрутом, а последовательность (а, f) – нельзя. Если в маршруте нет повторяющихся ребер, то его называют цепью. Если цепь начинается и заканчивается в одной и той же вершине, то имеет место цикл (или контур). Длина маршрута определяется количеством ребер, входящих в него.

Связным графом называют граф, в котором можно указать маршрут, связывающий любые его вершины. Математически это записывается:

т.е. если для любых вершин х, у , принадлежащих множеству У, существует маршрут S, то граф связный.

Дерево связного графа – связный подграф без циклов.

Рисунок 5. Примеры деревьев для связного графа.

Остовом дерева называют связный суграф без циклов, т.е. дерево является фундаментальным, если его ветви охватывают все вершины графа и не образуют при этом циклов.

Ветвями дерева называют ребра графа, вошедшие в дерево, а хордами называют ребра графа, не вошедшие в дерево.

На рисунке 5 изображено функциональное дерево. Здесь ветви В = {a,d,e,h}, хорды Х = {в,c,f,g}. Контуром R-ой хорды называют множество ребер, образующих цикл в графе, получившемся при добавлении R-ой хорды к дереву. Например, контуром хорды f для графа на рисунке 4а и дерева на рисунке 5б будет множество ребер {f,e,d,h}.

Сечением ветви дерева называют множество ребер, пересекаемых линией сечения, если: а) среди ветвей дерева пересекается единственная; б) линия сечения замкнутая и любое ребро может пересекаться не более одного раза.

На графе (рисунок 6) выбранное дерево выделено жирными линиями; пунктирными линиями здесь показаны линии сечения: сечением ветвей «а» будет множество ребер {a,e}, сечением ветви «в» - множество ребер {в,e,f} и т.д.

Рисунок 6.

С помощью матрицы инциденций А = [a_ij] может быть выражена та же информация, которая содержится в графе. В этой матрице β–1 строк и α столбцов, где β – вершины (узлы); α – ребра. Каждому узлу β_i , за исключением одного, принимаемого за базовый, в матрице соответствует одна строка, каждому ребру – один столбец. В столбце записываются 1 на пересечении со строками тех узлов, которым инцидентно ребро данного столбца. Если граф направленный, то знаки единиц указывают направления дуг: «+1» соответствует строке узла, к которому направлено ребро; «–1» – строке второго узла. Во всех оставшихся клетках матрицы записываются нули. Матрица инциденций для графа на рисунке 6 в случае, когда базовым узлом является узел 4, представлена в таблице 1.

Таблийа 1.

узлы/ребра	а	в	с	d	e	f	g	4 – базовый узел
1	-1	0	0	0	-1	0	0
2	+1	-1	0	0	0	-1	0
3	0	+1	-1	-1	+1	0	0
5	0	0	0	+1	0	0	-1

Итак, совокупность компонентных и топологических уравнений формирует математическую модель объекта. В разных методах моделирования по-разному выбирают совокупность исходных топологических уравнений и системы базисных координат. Одной из форм математической модели является форма Коши: , где V – вектор базисных координат, F – вектор-функция. В этой форме вектор базисных координат явно выражен через вектор-функцию F. Эта форма удобна при применении методов численного решения и позволяет рассчитывать переходные процессы в объекте. Если принять , то можно получить математическую модель для анализа статических состояний. В частном случае система дифференциальных уравнений для линейной системы записывается: (9) , где В и Д – матрицы с постоянными или зависящими от времени элементами; U – вектор внешних источников.

Лекция 9.