Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ ПОЛИНОМОВ (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

705.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Теорема (основная о симметрических многочленах). Всякий

симметрический многочлен от п переменных f (х1, ..., хп ) с

действительными коэффициентами может быть представлен в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов с действительными коэффициентами и притом единственным образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть члены симметрического многочлена

f (х1, х2 , ..., хп ) расположены лексикографически, и его высший член имеет вид:

ах 1	х 2	... х п .		(1)
1	2	п
1. Покажем, что для симметрического многочлена показатели
переменных в высшем члене удовлетворяют цепочке неравенств:
...				(2)
		...
1 2 3 i i1			п
Докажем это утверждение методом от противного. Предположим,
что в каком-то месте эта цепочка неравенств			не выполняется, т. е.

i i1. Наряду с высшим членом (1) симметрический многочлен содержит и член

ах

...х

i 1

...х

п .

(3)

i 1

Сравним (1) и (3) по высоте:

.............

i 1

(по предположению). Следовательно, член (3) выше, чем (1), что

противоречит тому, что (1) – высший член								f (х1, х2 , ...,	хп ) . Поэтому наше
предположение неверно, и цепочка неравенств (2) выполняется.
2. Введем в рассмотрение многочлен
	1	,	2	, ...,	п	а 1	2	2 3 ...	п .
1	1		2		п	1		2	п
Действительно, это многочлен,						т. к. в силу утверждения, доказанного в

п. 1, получаем, что 1 2 0, 2 3 0, ..., п 0 . Покажем, что его высший член совпадает с высшим членом многочлена f (х1, х2 , ..., хп ) :

1 х1 х2 ...хп ,

2 х1х2 х1х3 ...хп1хп ,

............................................

п х1х2 х3...хп .

Подчеркнуты высшие члены элементарных симметрических многочленов.

На основании леммы о высшем члене многочлена получаем, что высший

член многочлена 1( 1, 2 , ...,

п )

имеет вид:

ах 1

2 (х х

) 2

3 (х х

х ) 3

4 ... (х х

...х

) п

ах 1 2 2 3 ... п х 2 3 3 4 ... п ... х п

ах 1 х 2 ... х п ,

т. е. он равен высшему члену f (х1,

х2 , ...,

хп ) .

Построим разность f

1 f1 . При этом высшие члены многочленов

f и 1 взаимно уничтожаются, и высший член многочлена

f1 будет ниже,

чем высший член многочлена

f . Используя высший член многочлена f1 ,

строим 2 ( 1,

2 , ..., п )

по

тому

же

правилу,

что и

1 ,

и снова

составляем	разность: f1 2		f2 .	Теперь получим, что высший член
многочлена	f2	ниже, чем высший член многочлена f1 . И так далее.
Покажем,		что процесс построения многочленов i ( 1, 2 , ..., п )
конечен. Предположим, что получилось такое равенство:
			fs 1 s fs .
Пусть высший член fs имеет вид:
			а' хv1	хv2	... хvп .
			1	2		п
В процессе составления f1, f2 , ...,				fs		мы получили, что их высшие члены
были ниже	высшего члена		f ,	следовательно, показатели степени в
высшем члене		fs удовлетворяют неравенствам:
		v v ...v 0
		1 1 2				п ,

а это означает, что числа v1, v2 , ..., vп образуют невозрастающую последовательность целых чисел, ограниченную сверху числом 1 , а снизу числом 0. Таких последовательностей целых чисел может быть только конечное число, и, следовательно, на некотором шаге f s 0 .

Выпишем все полученные равенства:

f 1	f1
f1 2	f2
f2 3	f3

....................

fs 1 s 0

Сложив почленно эти равенства, получим:

f 1 2 ... s 0 ,

то есть

f ... .

1 2 s

Итак,

f(х1, х2 , ..., хп )

1( 1, 2 , ..., п ) 2 ( 1, 2 , ..., п ) ... s ( 1, 2 , ..., п )

g( 1, 2 , ..., п ) .

Это и есть искомое представление многочлена f от элементарных симметрических многочленов.

3. Коэффициентами многочлена g( 1, 2 , ..., п ) являются снова действительные числа, т. к. в процессе доказательства над коэффициентами многочлена f (х1, х2 , ..., хп ) , т. е. действительными числами, производились только действия сложения, вычитания и умножения, в результате которых снова получаются дейс твительные числа.

4. Можно показать, что представление симметрического многочлена f (х1, х2 , ..., хп ) в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов 1, 2 , ..., п единственно.

§3. Применение теории симметрических многочленов к решению задач

За д а ч а 1 . Выразить многочлен

f (х1, х2 , х3 ) х13 х23 х33 2х12 х22 2х12 х32 2х22 х32

через основные симметрические многочлены. Р е ш е н и е .

1 способ. Используем основную теорему о симметрических

многочленах.		Составим	вспомогательные						многочлены
1( 1, 2 ,	3 ), 2 ( 1, 2 , 3 ), ... s ( 1, 2 , 3 )						указанным		в	теореме
способом.	Высший	член многочлена		f (х ,	х	2	, х )	равен	х3	(члены
				1		2	3		1

многочлена расположены лексикографически). Показатели при

переменных						в	высшем		члене		–			k 1 3 ,		k2 0 ,			k3	0 .			Поэтому,
(	1	,	2	,	3	) k1 k2 k2 k3 k3						3	. Выразим				1	через		х ,	х	2	, х	3	:
1	1		2		3		1	2	3			1					1			1		2		3
				(х2			х2	х2	2х х 2х х 2х х ) (х х х )
				1		1	2	3	1	2			1	3	2	3		1	2	3

х13 х1х22 х1х32 2х12 х2 2х12 х3 2х1х2 х3 х12 х2 х23 х2 х32

2х1х22 2х1х2 х3 2х22 х3 х12 х3 х22 х3 х33 2х1х2 х3 2х1х32 2х2 х32х13 х23 х33 3х12 х2 3х12 х3 3х1х22 3х1х32 3х22 х3 3х2 х32 6х1х2 х3 .

Определим f1:

f1 f 1 х13 х23 х33 2х12 х22 2х22 х32 2х12 х32 х13 х23 х33

3х12 х2 3х12 х3 3х1х22 3х1х32 3х22 х3 3х2 х32 6х1х2 х3 2х12 х22

2х12 х32 2х22 х32 3х12 х2 3х12 х3 3х1х22 3х1х32 3х22 х3 3х2 х32 6х1х2 х3 .

По высшему члену									f		, равному				2х2			х	2 ,	составим								2	(	1	,	2	,	3	)
									1								1		2									2		1		2		3
указанным выше способом:
			2	2 2 2				2 0 0 2 х х								2	х х х						х		2
			2			1			2			3			1	2			1	3			2	3
2(х2			х2		х2		х2	х2			х2	2х2 х х 2х х2									х 2х х х2 )								;
		1	2			1	3		2		3	1		2	3				1	2	3				1	2	3
f	2	f				2	3х2			х 3х2 х 3х х2									3х х2					3х2			х
	2		1			2			1		2	1	3				1	2			1	3				2	3
		3х х2				6х х х 4х2 х х 4х х2 х 4х х х2 .
				2	3			1	2	3		1	2	3				1	2	3				1	2	3

Высший член f		равен 4х2х х				. Составляем
	2				1 2 3
					2 11 11
			4 4
			3 1 23						13
4 х х х			х х х 4х2				х х 4х х2				х 4х х х2 .
1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3

22 222 2 . ff 3х3х3х3х3х3х6х

323121312132323123

Составляем

	4	3 2 1 1 0 0			3	2	3(х х х )(х х х х х х )
	4	1	2	3	1	2	1	2	3	1	2	1	3	2	3

3х2	х 3х2 х 3х х х 3х х2																3х х х 3х2 х 3х х х 3х х2 3х х2
1	2	1	3		1	2		3				1		2				1		2	3		2	3		1		2		3		1		3		2	3
	3х2		х 3х2 х 3х х2												3х2				х 3х х2					3х х2			9х х х .
		1	2		1			3				1		2			2			3		1	3		2	3				1	2	3
									f4 f3 4 3х1х2 х3 .
Составляем
							5	3			1 1 1 1 1							3			3	3х х х .
							5				1			2			3				3		1	2	3
					f5 f4 5 3х1х2 х3 3х1х2 х3 0 .
Значит, f								2		3					4			5	3			2		2 4				3	3			2	3		3	.
				1				2		3					4			5			1			2		1		3			1	2			3
2 способ. Данную задачу можно решить методом неопределенных
коэффициентов. Этот метод применим только к симметрическим
многочленам, которые являются формами.
Многочлен								f (х , х , х ) х3 х3															х3		2х2		х		2	2х2		х3		2х2 х2
									1				2				3			1		2		3		1		2			1		3			2	3
представим в виде суммы двух многочленов:
		g(х , х ,			х ) х3						х3					х3			(форма третьей степени)
		1		2	3				1					2			3
и
h(х , х , х ) 2х2						х2			2х2				х2				2х2			х2	(форма четвертой степени).
	1	2	3		1			2				1		3				2		3
Выразим g(х1, х2 , х3 )						через элементарные симметрические многочлены.
При составлении многочленов i ( 1, 2 , 3 ) используются высшие
члены	многочленов						gi . Из доказательства																	теоремы						известно,						что
показатели		высших			членов								многочленов										gi		должны					удовлетворять
следующим условиям: 1)									k1 k2						k3 ,					2)	k1 k2			k3		const					и	3) высший

член многочлена gi выше высшего члена многочлена gi 1 . Используя это,

можно составить все системы показателей высших членов gi ,

восстановить сами высшие члены, а по ним составить i ( 1, 2 , 3 ) .

Неопределенные коэффициенты появляются потому, что при нахождении

gi gi 1		i , fi		fi 1	i		высшие члены уничтожаются,																и неизвестно,
какой коэффициент имеет высший член многочлена gi .																				Все вычисления
запишем в таблицу:
					g(х , х , х ) х3								х2		х3 .
							1		2	3		1	2		3

	Показатели					Высшие						Многочлены
	высших членов gi				члены gi ,						fi			i
		k1 , k2 , k3
g		3 0 0						х	3				3							1		х х х
								х					1		1					1			1	2	3
									1				1		1
g																	х х х х х х
g		2 1 0						2				а					х х х х х х
1		2 1 0					ах1 х2						2		1 2		2					1 2		1 3	2 3
g2		1 1 1					bх1х2х3						3 b 3								3 х1х2 х3

	Никакой другой системы показателей высших																						членов		gi ,
удовлетворяющей требованиям 1 – 3, составить нельзя.
	Так как			g		2			3	,	то	g 3			а	2		b			3		(*),	причем,
				1		2			3				1		1	2					3
равенство (*) справедливо при любых значениях х1 ,																		х2 ,		х3 , т. е. является
тождеством.
	Для определения коэффициентов а и b выберем любые две системы
значений х1 , х2 , х3 ,					причем, обычно выбирают те значения,																			которые
удобны для вычислений значений 1 ,													2 ,		3 . Эти вычисления удобно
записать в таблицу:

	х1		х2		х3						g				1				2					3

1			1		0						2				2						1				0

1			1		1						3				3						3				1

Составим систему двух уравнений, используя равенство (*), из которой найдем коэффициенты а и b :

2 8 2а 0b,				2а 6,	а 3,
	27	9а b,
3			9а b 24,		b 3.

Подставляя а 3 и b 3 в равенство (*), получим:

g 13 3 1 2 3 3 .

Аналогично выразим многочлен h(х1, х2 , х3 ) 2х12 х22 2х12 х32 2х22 х32

через основные симметрические многочлены:

Показатели высших членов hi						Высшие члены hi				i
	к1 , к2 , к3
2 2 0							2х2	х	2	2	2
							1		2		2

2		1	1				ах2х х			а		3
							1	2	3	1		3

					2
				h 2 а .
					2		1 3

х1		х2		х3		h			1	2		3

1		1		1		6			3	3		1

				6 18 а;			а 4.
Значит,

h 22 4 ,

2 1 3

и так как

f ххх gh,

123

то

f (х1, х2 , х3 ) 13 3 1 2 3 3 2 22 4 1 3 ,

и, если переставить слагаемые, то получим тот же ответ:

3 2 . f 24 3 3

1 2 13 12 3

З а д а ч а 2 . Вычислить значение многочлена

f (х1, х2 , х3 ) х13 х23 х32 2х1х2 х3

от корней уравнения х3 5х2 2х 7 0 .

Р е ш е н и е . Обозначим корни данного уравнения через 1 , 2 , 3 .

Тогда, по формулам Виета, найдем:

5; 2; 7.

1 1 2 3 2 12 13 23 3 1 2 3

Но 1 , 2 , 3 – элементарные симметрические многочлены от трех переменных. Поэтому задача состоит, во-первых, в представлении многочлена f (х1, х2 , х3 ) через элементарные симметрические и, во-вторых, в вычислении значения f ( 1, 2 , 3 ) . Первую часть задачи дадим без пояснения (см. задачу № 1).

	Показатели высших членов fi					Высшие члены fi									i
3		0	0							х	3				3
										1					1

2 1			0					ах12 х2							а 1 2

1 1			1					bх1х2х3							b 3

					3
				f а b
					1		12					3.


	х1	х2		х3			f					1		2		3

1		1		0			2						2	1		0

1		1		1			1						3	3		1

				2 8 2а
											;
					1 279а b

						а 3
									;
						b 1
				f	3		3			2		3	.		(*)
					1			1		2		3

Во-вторых, вычисляем значение многочлена																						f	от корней уравнения.
Значения	1 и		2	от		корней				уравнения найдены в															начале				решения
( 1 5; 2		2) . Подставим их в (*), получим:
		f	( 5)3 3 ( 5) 2 7 125 30 7 88.
Ответ:		f ( 1, 2 , 3 ) 88 .
З а д а ч а			3 .	Составить квадратное уравнение, корнями которого
являются	числа		х3	2х			и		х3	2х		,		где		х		,	х		2		–	корни квадратного
			1		2				2		1					1					2
уравнения х2 х 3 0 .
Р е ш е н и е . По формулам Виета, имеем:
			1 х1 х2 1,											2 х1х2 3 .
Требуется	составить				квадратное						уравнение								z2 рz q 0 ,										корнями
которого являются числа z									х3	2х		2	и z		2	х3			2х . Поэтому
							1		1			2			2			2					1
				z z			2	р х3				2х х3							2х
					1		2				1			2				2					1
и
					z z q (х3						2х )(х3 2х ) .
					1	1				1				2		2			1
Выразим	симметрические								многочлены р									и				q		через элементарные
симметрические: 1				и 2 . Подставив значения 1																	1 и 2					23 , вычислим
коэффициенты р и q .
р х3 х3 2(х х ) (х х )3 3х2																	х 3х х2 2(х х )
	1		2		1		2			1		2				1		2					1	2		1			2
(х х )3				3х х (х х ) 2(х х )																3		3			2	2	1	.
		1	2		1	2			1	2				1		2				1				1	2		1
Так как
				(х х )3 х3 3х2										х 3х х2						х3				,
				1		2				1		1		2			1		2				2
то
				х3	х3			(х х )3					3х2 х 3х х2											,
				1		2			1		2				1	2						1	2

q(х13 2х2 )(х23 2х1) х13 х23 2х24 2х14 4х1х2

(х1х2 )3 2(х14 х24 ) 4х1х2 .

Так как

(х1 х2 )4 х14 4х13 х2 6х12 х22 4х1х23 х24 ,

то

х14 х24 (х1 х2 )4 4х13 х2 4х1х23 6х12 х22(х1 х2 )4 4х1х2 (х12 х22 ) 6(х1х2 )2

(х1 х2 )4 4х1х2 (х1 х2 )2 2х1х2 6(х1х2 )2

(х1 х2 )4 4(х1 х2 )2 х1х2 8(х1х2 )2 6(х1х2 )2

(х1 х2 )4 4(х1 х2 )2 (х1х2 ) 2(х1х2 )2 .

Тогда

q(х1х2 )3 2 (х1 х2 )4 4(х1 х2 )2 (х1х2 ) 2(х1х2 )2 4(х1х2 )

(х1х2 )3 2(х1 х2 )4 8(х1 х2 )2 (х1х2 ) 4(х1х2 )2 4(х1х2 )

23 2 14 8 12 2 4 22 4 2 .

Итак,

р 13 3 1( 3) 2 1 8 ,					р 8 .
q ( 3)3 2 14 8 12	( 3) 4 ( 3)2				4( 3) 101.
Искомое уравнение имеет вид:
z 2 8z 101 0 .
З а д а ч а 4. Решить систему уравнений:
	3	у	3	8,
х		у		8,

	2	у	2	4.
х		у		4.

Р е ш е н и е . Введем новые переменные:		1 х у			и 2 ху .
Тогда
х3 у3 (х у)3 3х2 у 3ху2 (х у)3 3ху(х у) 3					3	2
				1	1	2
и
х2 у2 (х у)2 2ху 2	2		2	.
1			2

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]