Метод квазинормальных форм в уравнениях с запаздыванием (90

Здесь мы сохраняем множитель i перед о-малым чтобы показать, что все переменные и константы могут принимать только вещественные значения.

Разложим теперь правую часть в асимптотический ряд (используем для этого разложение экспоненты в ряд Тейлора)

a + i z(2n + 1)"1 + "p+1 2 + io("1 ) =

Самое большое по порядку мнимое слагаемое в левой части имеет порядок "1 , в правой "q. Отсюда получаем, что q = 1 , тогда 1 находится из равенства мнимых частей

После сокращения a, в (3.7) самое большое по порядку вещественное слагаемое в левой части имеет порядок "p+1, а в правой таких слагаемых два. Они имеют порядки "2q è "p. Понятно, что "1+p = o("p), следовательно, для существования 2 должно выполняться равенство p = 2q = 2 2 . Тогда если приравнять действительные части, то получается уравнение

o("2 2 ) = "2 2 2 + 12 2"2 2 (2n + 1)2 21 + o("2 2 ):

Отсюда получаем

Таким образом, получаем асимптотическое представление для корней (3.3) (n 2 Z)

Несмотря на то что формула (3.8) зависит от непрерывных параметров z > 0 и 2 (0; 1), уравнение (3.3) имеет лишь счетное число корней. При " ! 0 мы как бы перескакиваем из

31

окрестности одного корня в окрестность другого за счет разрывной функции . Таким образом, модуль каждого n неограниченно растет при " ! 0. Выбор z и влияет лишь на скорость перехода с одного корня на другой.

Аналогичным образом рассмотрим ситуацию b = a. В результате получим, что квазиполином (3.3) также имеет счетное число корней, действительная часть которых стремится к нулю. Для фиксированного (не зависящего от малых параметров) номера корня k 2 Z получаем асимптотику

Для асимптотически больших номеров k, определяемых формулой (3.6), асимптотика имеет вид:

Здесь, в отличие от случая b = a, = (z; ") 2 [0; 1] таково, что выражение "z + (") является целым.

Контрольные вопросы и упражнения

1.В чем принципиальное отличие уравнения с большим запаздываием от уравнения с фиксированным запаздыванием?

2.Докажите существование корня вида + = a" + o(1) у уравнения (3.3).

3.Приведите явный вид (через целые части) для функции(z; "), фигурирующей в равенстве (3.10).

32

Ÿ4. Квазинормальные формы

В Ÿ 3 мы установили, что нулевое решение уравнения

при переходе значения b через a теряет устойчивость. Изу- чим теперь, как происходит потеря устойчивости в близких к критическим случаях.

Так же, как и в Ÿ 2, для упрощения вычислений предположим, что нелинейная функция F (x; y) зависит только от второго аргумента: F (x; y) F (y). Наконец, т. к. мы исследуем поведение решений в окрестности нуля, представим ее в виде

ряда Тейлора

F (y) = f2y2 + f3y3 + : : :

Мы отдельно изучим случаи b близкого к a и b близкого к a.

Как было показано в предыдущем параграфе, при таких значениях параметров у характеристического квазиполинома

нет корней с отделенной при " ! 0 положительной вещественной частью и есть счетное число корней k("), действительная часть которых стремится к нулю при " ! 0. При b = a все такие корни описываются асимптотическими равенствами (3.9) и (3.10), а при b = a равенствами (3.5) и (3.8).

4.1. Пусть сначала b близко к a. Рассмотрим случай, когда

В Ÿ2 мы рассматривали критические случаи, когда только один либо два корня характеристического квазимногочлена стремились к мнимой оси. Несмотря на то что теперь таких корней бесконечное количество, воспользуемся аналогичным методом.

Положим в (4.1)

k=1

33

ãäå = "2t, r = (1+"a 1 +"2a 2)t, а функция x1( ; r) предполагается периодической по второму аргументу с периодом 1. Так

же, как и в Ÿ2, подставим выражение для x в уравнение (4.1) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях ". На первом и втором шагах, приравнивая коэффициенты при "2 è "3 соответственно, получим верные тождества. На третьем шаге придем к уравнению относительно x1.

1!2

X

ke2 ikr

k= 1

в ряд Фурье.

Систему (4.5) можно записать в виде одного параболического уравнения

34

Действительно, если разложить решение задачи (4.6), (4.7) в

ряд Фурье

1

X

u( ; r) = k( ) exp(2 ikr);

k=1

то для определения амплитуд k( ) получим в точности систему (4.5).

Решения задачи (4.6), (4.7) через формулу (4.4) определяют решения уравнения (4.1). Поэтому мы будем говорить, что задача (4.6), (4.7) является квазинормальной формой для исходного уравнения (4.1). Как известно, устойчивыми решениями такой краевой задачи могут быть только пространственнооднородные состояния равновесия, которым, в силу формулы (4.4), будут соответствовать устойчивые решения (4.1), близкие к постоянным. В силу этого, динамика (4.1) в случае (4.3) описывается следующей теоремой.

Теорема 4.1 Пусть a1 > 0. Тогда нулевое решение уравнения (4.1) неустойчиво, и в его окрестности существует асимптотически устойчивое стационарное решение x0(t; "), причем

x0(t; ") = "2 aa1 (1 + o(1)): f2

Åñëè æå a1 < 0, то нулевое решение уравнения (3.2) асимптотически устойчиво.

Выберем произвольное положительное число !. Положим= 1 p=2. Через , как и в Ÿ3, обозначим такое значение из полуинтервала [0; 1), что выражение !" + является целым.

Подставим в (4.1) следующий ряд:

k=1

ãäå = "pt, r = (!" + + "1 (a 1! + o(1)))t, à x2( ; r) периодична по второму аргументу с периодом 1. Действуя так же,

35

как и выше, т. е. собирая коэффициенты при одинаковых степенях ", получим систему для определения амплитуд k, которую можно представить в виде одного уравнения параболического типа

Отметим, что выбор ! был абсолютно произволен. Следовательно, если мы возьмем другое значение параметра ! = !1, то получим аналогичную (4.10), (4.11) краевую задачу, но краевые условия будут уже иными. Таким образом, мы получили сразу целый класс уравнений, являющихся квазинормальными формами. Так же, как и у системы (4.6), (4.7), у краевой задачи (4.10), (4.11) могут быть устойчивы только пространственнооднородные состояния равновесия (которые от выбора ! не зависят).

Теорема 4.2 Пусть a1 > 0. Тогда нулевое решение уравнения (4.1) неустойчиво, и существует асимптотически устойчи- вое стационарное решение, допускающее представление вида

x(t; ") = "p aa1 (1 + o(1)): f2

Åñëè æå a1 < 0, то нулевое решение уравнения (3.2) асимптотически устойчиво.

Таким образом, в результате бифуркации при переходе b через значение a у исходной системы (4.1) от нуля отходит устойчивое при b > a и неустойчивое при b < a ненулевое состояние равновесия.

4.2. Изучим теперь поведение решений (4.1) в малой окрестности нулевого состояния равновесия при значениях b, близких к a. Положим сначала

36

Рассмотрим асимптотический ряд, аналогичный (4.4),

k=1

(4.13) где все параметры такие же, как и в предыдущем случае:

= "2t, r = (1 + "a 1 + "2a 2)t, а функции x2( ; r) è x3( ; r)

периодичны по r с периодом 1. Обозначим для краткости

1

X

u( ; r) = k( )e i(2k+1)r:

k=1

Понятно, что u( ; r) является антипериодической по r функцией, т. е.

u( ; r + 1) = u( ; r):

Подставим ряд (4.13) в (4.1) и последовательно будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях ". При "1, как легко убедиться, получим верное тождество. Из уравнения, получившегося при "2 после очевидных сокращений,

0 = ax2 + ax2( ; r 1) + f2u2;

используя периодичность x2, получим

x2( ; r) = 2fa2 u2:

Приравнивая коэффициенты при "3, приходим к уравнению

В левой части стоит периодическая по r функция. Значит, выражение в правой части тоже периодически зависит от r. Однако функция справа антипериодическая (т. к. содержит только нечетные гармоники). Следовательно, правая часть равна нулю. т. е. справедливо равенство

37

Краевая задача (4.14), (4.15) является квавзинормальной формой для уравнения (3.2) при условии (4.12). Для того чтобы сформулировать итоговые результаты, введем определение асимптотического по невязке решения.

Будем говорить, что x (t; ") является асимптотическим по невязке решением уравнения L(x; ") = 0 с точностью "n, если выполняется L(x (t; "); ") = o("n) ïðè " ! 0.

Теорема 4.3 Пусть краевая задача (4.14), (4.15) имеет ограниченное периодическое по решение u ( ; r). Тогда уравнение (4.1) имеет асимптотическое по невязке решение

x (t; ") = "u("2t; (1 + a 1" + a 2"2)t) + o("):

Теперь рассмотрим случай

Опять фиксируем произвольное положительное !. Положим= 1 p=2. Через , как и в Ÿ3, обозначим такое значение из полуинтервала [0; 2), что !" + является целым и нечетным.

Подставим в (4.1) следующий ряд:

x(t; ") = "p=2u( ; r) + "px2( ; r) + "3p=2x3( ; r) + : : : ; (4.17)

ãäå = "pt, r = (!" + + "1 (!a + o(1)))t, а через u( ; r)

обозначено

1

X

u( ; r) = k( )e (2k+1)ir:

k=1

Понятно, что u( ; r + 1) = u( ; r). Функции x2( ; r) è x3( ; r) предполагаются периодическими по второму аргументу с пери-

îäîì 1.

38

Действуя так же, как и выше, т. е. собирая коэффициенты при одинаковых степенях ", получим для определения u( ; r) уравнение параболического типа

с антипериодическими краевыми условиями

Так же, как и в предыдущем пункте, мы получили в качестве квазинормальной формы семейство краевых задач (4.18), (4.19), зависящее от непрерывного параметра ! > 0. При различных значениях параметра динамика этой задачи может быть, вообще говоря, различной.

Теорема 4.4 Пусть при каком-то фиксированном ! > 0 краевая задача (4.18), (4.19) имеет периодическое по решение u ( ; r). Тогда исходное уравнение (4.1) имеет асимптотиче- ское по невязке решение вида

Из этой теоремы нельзя сделать вывод, существует ли у (4.1) точное решение с приведенной асимптотикой. Можно утверждать, что если u неустойчиво, то даже если точное решение и существует, то оно заведомо неустойчиво. Поэтому рассматривать нужно только устойчивые решения (4.18), (4.19).

4.3. Применим полученные результаты для анализа локальной динамики одного из наиболее простых нелинейных уравнений с запаздыванием вида

В случае, когда запаздывание T достаточно велико, т. е.

39