Исследование потока жидкости и газа при движении вблизи свободной поверхности тела (96

образованием области вихревого течения, рассмотрение которого выходит за рамки данной работы.

2. Моделирование процессов гидромеханики с применением стационарного электрического поля

Моделирование с применением стационарного электрического поля может с успехом использоваться при изучении различных физических полей [3]. В случае физического моделирования модель и натурный объект (натура) может иметь одну и ту же природу, характер эксперимента сохраняется, но изменяются геометрические размеры и выбирается наиболее удобный диапазон изменения физических величин. Полученные результаты пересчитываются на основании теории подобия, оперирующей так называемыми критериями подобия, т. е. безразмерными величинами которые в сходственных точках натуры и модели должны принимать одинаковые значения. Так моделируется, например, обтекание летательного аппарата в аэродинамической трубе. К моделированию приходится прибегать во всех случаях, когда использование натурного объекта по тем или иным причинам невозможно.

Модель может и отличаться от натуры по своей физической природе, когда закономерности разных физических явлений описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и соответствующими им граничными и начальными условиями. Именно это математическое описание позволяет заменить сложное исследование одного явления простым экспериментом из другой области физики. В этом случае используется термин математическое моделирование.

Математическое моделирование может рассматриваться как продолжение эксперимента над натурой, но с применением новых средств (аналоговых, цифровых), основанных на знании закономерностей этого явления.

Моделирование с применением стационарного электрического поля в проводящей среде имеет такие преимущества перед многими другими методами моделирования, как наглядность, возможность построения всей картины поля, простота методов измерений физических величин. Большие возможности данное моделирование открывает в области динамики жидкости и газа, в частности при рассмотрении плоских задач гидродинамики, что можно опре-

12

делить как прямую электрогидродинамическую аналогию

(ЭГДА).

Покажем, что при определенных условиях поле скорости в идеальной жидкости так же, как и электрическое поле, созданное зарядами, описывается уравнением Лапласа, а его граничные условия аналогичны таковым для стационарного электрического поля в проводящей среде. Именно наличие этой физикоматематической аналогии и позволяет изучать поле скорости в потоке жидкости на электрических моделях.

Известно, что поток вектора скорости через некоторую поверхность S имеет смысл объемного расхода (т. е. объема, отнесенного к единице времени) жидкости через эту поверхность [1]:

Если жидкость несжимаема, то поток вектора скорости через любую поверхность, не содержащую источников и стоков, должен быть равен нулю (см. уравнение неразрывности (1) при условии

ρ =const ):

или в декартовых координатах для плоского потока

Если при этом в рассматриваемой области течения можно пренебречь вихревыми течениями, то циркуляция скорости по любой замкнутой кривой будет равна нулю:

(18)

и в эту область можноG ввести потенциал скорости W, связанный с вектором скорости v соотношениями (9) и (10).

Подставив (9) в (17), приходим к уравнению Лапласа

13

Соотношения (17) и (19) тождественны широко применяемым соотношениям [2, 3]

для электрического поля, созданного зарядами.

Функцию тока V для описания плоского потока несжимаемой жидкости можно также ввести с помощью соотношения [1]

как линейный поток вектора v , т. е. расход жидкости, отнесенный к единице длины, или линейный расход. Аналогом этой величины в

электрическом поле служит функция потока ψ вектора E [3]:

Далее используем прямую электрическую модель обращен-

ного потока. При равномерном поступательном движении тела в неподвижной жидкости вызванное им течение удобно рассматривать в системе отсчета, связанной с телом, называя это течение обращенным. Последнее соответствует обтеканию неподвижного тела однородным поступательным потоком. Обращение потока означает переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой со скоростью тела, и, согласно принципу относительности Галилея, не может изменить сил взаимодействия между телом и жидкостью. Если при этом обращенное движение является установившимся, то определение поверхностных сил, приложенных к телу, существенно упрощается, поскольку в этом случае можно применить уравнение Бернулли

[1,3]:

14

где pi и vi – соответственно давление и скорость жидкости в i-й точке в непосредственной близости к поверхности тела; p0 и v0 –

соответственно давление и скорость жидкости в набегающем на тело невозмущенном потоке.

Отметим, что во многих задачах рассматриваемого типа допустимо пренебречь изменением гидростатического давления, и тогда давление жидкости на поверхность тела можно определить с помощью формулы (24), из которой несложно получить величину безразмерного избыточного (по отношению к давлению набегающего потока) давления:

где vi = vi / v0 .

Отметим, что значения pi в соответственных точках геомет-

рически подобных тел равны.

Твердое тело непроницаемо для жидкости, поэтому на его поверхности нормальная составляющая скорости жидкости в обращенном потоке равна нулю, и в плоской задаче функция тока имеет постоянное значение (условие непротекания)

что соответствует граничному условию стационарного электрического поля в проводящей среде с постоянным током на поверхности раздела между этой средой и диэлектриком [3]

тока, которая связанна с напряженностью электрического поля в проводнике с током, протекающим в нем, известным соотношени-

ем [3]

Gj = 1 EG.

ρуд

Погрузив модель тела, выполненную, например, из диэлектрика, в электролитическую ванну, где с помощью электродов создано

15

однородное стационарное электрическое поле (рис. 3), получим

физико-математическую модель обращенного течения жидкости.

Рис. 3. Электролитическая ванна

Если ванна достаточно велика, а модель тела находится в ее средней части, то стационарное электрическое поле в электролите будет подобно полю скоростей, возникающему при обтекании тела

неограниченным потоком.

Напряженность электрического поля можно рассматривать как аналог скорости течения жидкости.

При малых размерах ванны модель будет соответствовать случаю ограниченного потока, причем ванна должна иметь удлиненную форму, чтобы поле вблизи электродов оставалось неискаженным.

Моделью плоского обращенного течения жидкости, возникающего при поступательном движении цилиндрического тела, может служить стационарное электрическое поле в прямоугольном проводящем листе, имеющем отверстие, геометрически подобное профилю тела. В качестве примера на рис. 4 показана картина обтекания (спектр течения) плоской пластины, а на рис. 5 – обращенный поток при симметричном и несимметричном движении некоторого симметричного профиля. Подчеркнем, что приведенные спектры получены не в жидкости, а с использованием рассматриваемого моделирования.

Для установления количественных соответствий между натурой и моделью необходимо использовать безразмерные величины: скорости частиц жидкости нужно отнести к скорости набегающего

потока v0 , значение вектора E – к напряженности невозмущенного стационарного электрического поля E0 :

16

Рис. 4. Спектр поперечного обтекания плоской пластины

а

б

Рис. 5. Спектры обтекания симметричного профиля:

а – несимметричное обтекание; б – симметричное обтекание

17

В свою очередь, потенциалы скорости W относят к произведению скорости набегающего потока на характерный размер тела L, а электрические потенциалы – к произведению напряженности внешнего однородного поля на характерный размер l отверстия, имитирующего профиль:

Значения соответственных безразмерных величин в сходственных точках модели и натуры должны быть равными, т. е.

Следовательно, измерения на электрической модели позволяют находить скорость и ее потенциалы в соответственных точках потока, причем и размеры тела, и скорости набегающего потока могут быть произвольными:

Таким образом, по данным, полученным на электрической модели, можно найти распределение избыточного давления на поверхности тела

атакже оценить результирующие силовые воздействия.

3.Проведение измерений в стационарном электрическом поле

Спомощью электролитической ванны (см. разд. 2) можно в принципе исследовать трехмерное стационарное электрическое поле и соответствующее ему поле скоростей. Однако значительно проще (и с большей наглядностью получаемых результатов) исследовать плоское стационарное поле. В этом случае нет необходимости устанавливать зонд измерительного прибора внутрь проводящей среды для измерения напряженности и потенциала вблизи плоской модели на поверхности тонкого слоя электролита, фольги или электропроводной бумаги.

Электролит является наиболее однородной средой, однако измерения в электролитической ванне осложняются электролизом.

18

Твердые модели, т. е. выполненные из фольги или электропроводной бумаги, обладают электронной проводимостью. При их применении получается меньшая точность, но существенно упрощается эксперимент.

Особые преимущества при моделировании имеет электропроводная бумага, обладающая большим удельным сопротивлением, так как при этом можно подавать на модель достаточно высокое, причем постоянное напряжение.

Фольга является более однородной, при наклеивании на бумагу удобна в обращении, но требует применение переменного напряжения, что усложняет измерительную схему.

При изготовлении электропроводной бумаги с высоким удельным поверхностным сопротивлением (от нескольких килоомов до мегомов) в качестве электропроводного наполнителя обычной бумаги используется сажа, частицы которой адсорбируются волокнами бумажной массы и равномерно покрывают их. Для изготовления электропроводной бумаги с меньшим удельным поверхностным сопротивлением (десятки и сотни омов) применяется графит. Отметим, что электропроводная бумага обладает отрицательным температурным коэффициентом сопротивления – с повышением температуры ее удельное сопротивление уменьшается.

Разности потенциалов между одной из подводящих шин, плотно прижатой к листу электропроводной бумаги, имитирующей поле течения, и произвольной точкой данного поля можно измерить, например, цифровым вольтметром, настроенным на соответствующий режим измерений. При этом один из зондов вольтметра закрепляется на выбранной шине, а второй плотно прижимается к выбранной точке поля листа. Аналогичным образом можно найти точки равных потенциалов и построить по ним изопотенциальные линии. Построив необходимое число таких линий и проведя ортогонально к ним силовые линии, получим полное представление о конфигурации исследуемого поля.

Определение проекций вектора E в выбранной системе ко-

ординат можно осуществить с помощью так называемого двойного зонда (рис. 6), который представляет собой закрепленные на планке из изолятора на небольшом расстоянии l друг от друга два заостренных металлических штифта. Зонд позволяет сравнивать напряженности в разных точках неоднородного стационарного поля.

19

К мультиметру

Рис. 6. Двойной зонд:

1, 2 – штифты металлические

Действительно, если база зонда достаточно мала, а силовые линии поля не слишком искривлены, то стационарное поле в окрестности зонда можно считать однородным. При этом условии напряжение между иглами зонда Uэ можно выразить через проек-

цию напряженности поля в средней точке зонда на прямую, проходящую через его штифты (иглы): Uэ = El l , откуда

Размер l называется также базой данного устройства.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

1. Определение параметров потока путем построения линий тока и эквипотенциальных поверхностей

В данной лабораторной работе по результатам прямых измерений в поле проводящего листа вначале строится семейство линий напряженности, а затем с использованием свойства ортогональности строится семейство эквипотенциальных поверхностей (линий). Для проведения указанных измерений проводящий лист (поле течения) разбивается горизонтальными и вертикальными линиями на квадратные ячейки (рис. 7), размер h которых на один-два порядка меньше характерного размера исследуемой области течения (проводящего листа). Другими словами, вводится сетка с шагом h. Вырез условно имитирует обтекаемое плоское тело, именуемое в дальнейшем профилем.

20

y

x

Рис. 7. Разметка проводящего листа

Исходными точками для построения линий напряженности являются нижние левые угловые точки ячеек столбца А, выделенные на рис. 7 значками «х». Помимо этого в соответствие сетке ставится система координат x0y. С помощью двойного зонда измеряются

величины проекций Ex и Ey вектора E в нижних левых угловых точках каждой ячейки. Поскольку в проводящем листе имеется вырез, то ячейки, расположенные целиком внутри него (полностью недоступные ячейки), а также частично затронутые вырезом ячейки (частично недоступные ячейки) требуют внесения в общий алгоритм обработки результатов измерений определенной коррекции.

Объем информации, получаемой по результатам измерений, достаточно велик, поэтому ее обработку, а также построение соответствующих линий необходимо осуществлять на ПЭВМ. Вначале целесообразно массив измеренных значений Ex и Ey занести в ячейки рабочего листа среды Excel, чтобы непосредственно в этой среде провести дальнейшую обработку экспериментальных данных. Возможна также последующая переадресовка этого массива в другие среды (более приспособленные, по мнению пользователя) для обработки, например, в программе, реализованной в среде

21