Исследование потока жидкости и газа при движении вблизи свободной поверхности тела (96

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные сведения из гидромеханики

Механика жидкости и газа – область физических знаний, в которой рассматривается движение деформируемых тел, непрерывно заполняющих пространство и образующих сплошную среду.

Данное рассмотрение может осуществляться при наличии в среде твердых тел, т. е. в условиях тех или иных видов взаимодействий среды с этими телами.

Самым простым видом взаимодействия является взаимодействие механическое, когда определяется силовое воздействие среды на обтекаемое тело. Решение этой задачи связано с изучением движения среды вблизи тела. Требуется в каждой точке потока жидкости найти физические параметры, характеризующие этоG движение. Основными параметрами следует считать скорость v , давление р, плотность ρ и температуру Т. В случае потенциального течения рассмотрение движения системы можно свести к определению поля скоростей, представляющего собой совокупность скоростей частиц жидкости, т. е. к решению кинематической задачи, затем по известному распределению скоростей найти остальные параметры, а также результирующие силы, моменты, тепловые потоки (в случае неизотермических течений).

Решение задач гидромеханики требует принятия той или иной модели жидкой среды, учитывающей лишь те ее свойства, которые существенны в данной задаче. Следует отметить, что понятие «жидкая среда», или просто «жидкость», используется для описания общего характера поведения как собственно жидкостей, часто именуемых в гидромеханике капельными, так и газов, поскольку поведение и тех и других описывается весьма сходными математическими моделями. Основным свойством жидкости следует считать текучесть, т. е. способность под действием малых сил принимать любую форму без нарушения своей структуры.

В основе любой физической модели жидкой среды лежит гипотеза сплошности, когда используется макроскопический масштаб, намного превышающий расстояние между молекулами вещества. Жидкая среда считается в выделенной области пространства

3

непрерывной, а все характеризующие ее величины являются непрерывными функциями выбранных координат и времени. Уравнение неразрывности в локальной форме имеет вид [1, 2]:

Молекулярное (дискретное) строение среды в этом случае учитывается косвенно, через такие ее свойства, как вязкость и теплопроводность. Вязкость – одно из основных свойств жидкой среды, проявляющееся в том, что вследствие молекулярного взаимодействия и диффузии в ней возникают силы внутреннего трения. Сплошная среда, лишенная вязкости, называется идеальной. Еще одним важным свойством жидких сред следует считать сжимаемость – способность среды препятствовать всестороннему сдавливанию. В большинстве практических случаев капельные жидкости можно считать несжимаемыми, что соответствует равномерному распределению ее плотности во всей занимаемой области.

Существуют два метода кинематического исследования жидкой среды: метод Лагранжа и метод Эйлера [2].

Согласно методу Лагранжа, рассматривается движение индивидуальных жидких частиц вдоль своих траекторий, т. е. определяются координаты частиц как функции времени. Выделение указанных частиц осуществляется с помощью координат a, b, c, определяемых в некоторый момент времени t = t0. В соответствии с этим уравнения траекторий представляются либо в параметриче-

ском виде:

r = f (rG0 ,t),

где a, b, c, t – параметры или переменные Лагранжа.

Компоненты скорости v в каждой точке траектории определяются либо как частные производные v =∂rG/ ∂t, либо в проекциях: vx = ∂x / ∂t; vy = ∂y / ∂t; vz = ∂z / ∂t.

4

Согласно методу Эйлера, более широко используемому в механике жидкости и газа, фиксируется не частица жидкости, а точка пространства (точка наблюдения) с координатами x, y, z исследуется изменение скорости в этой точке с течением времени. При этом через данную точку, которой в соответствие можно поставить физически бесконечно малый объем, в различные моменты времени проходят разные жидкие частицы, имеющие свои значения

а x, y, z, t – переменные Эйлера.

Решая систему дифференциальных уравнений dxdt = f1 (x, y, z,t);

dzdt = f3 (x, y, z,t),

можно получить уравнения семейства траекторий в параметрическом виде, совпадающие с уравнениями (2), в которых величины a, b, c выступают как постоянные интегрирования.

Таким образом, от описания кинематики жидкой среды по методу Эйлера можно перейти к представлению течения по методу Лагранжа и обратно. Полная производная от вектора скорости в переменных Эйлера имеет вид

Если частная производная ∂v / ∂t ≠ 0, то такое течение называ-

ется неустановившимся (нестационарным). Течение, в котором

5

скорость, а также другие параметры в любой точке не зависят от времени, называется установившимся (стационарным).

В любой момент времени в потоке можно провести линию, обладающую тем свойством, что каждая находящаяся на ней частица жидкости будет иметь скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой линии, которая называется линией тока (рис. 1).

Рис. 1. Построение линий тока в потоке жидкости или газа

Для линии тока выполняется соотношение [dsG, vG]= 0, где dsG =

= dx iG+ dy Gj +dz kG является элементом длины дуги и линии то-

ка.

iG, GjИспользуя,kG очевидное представление векторного произведения

dx,dy,dz = iG(vz dy −vy dz)− Gj (vz dx −vx dz)+ kG(vy dx −vx dy)= vx ,vy ,vz

=0, можно получить систему дифференциальных уравнений, ин-

тегрирование которых дает семейство поверхностей, а пересечение

– семейство линий тока.

Для двумерного плоского течения, когда движение частиц происходит в плоскостях, параллельных координатной плоскости x0y, можно записать:

В отличие от линий тока, построение которых проводится в фиксированный момент времени, понятие о траектории связано с

6

некоторым промежутком времени, в течение которого частица проходит определенный путь. Следовательно, линии тока и траектории совпадают только в случае установившегося течения.

Анализ движения жидкой частицы показывает, что, в отличие от твердого тела, движение которого определяется поступательным перемещением вместе с центром масс и вращением относительно мгновенной оси, проходящей через этот центр, движение жидкой частицы дополнительно характеризуется деформационным движением, в результате которого меняются форма и объем частицы.

Поток, в котором частицы испытывают вращение, называется вихревым. Компоненты вектора угловой скорости частиц в таком потоке связаны с проекциями скорости их поступательного движения следующим образом [2]:

Во многих случаях при исследовании движения жидкости компонентой вращательного движения можно пренебречь, что соответствует модели безвихревого потока.

Для плоского безвихревого потока, когда достаточно руководствоваться одной компонентой угловой скорости частиц, выполняется условие ωz = 0, или

ным дифференциалом некоторой функции, характеризующей поток жидкости так же, как компоненты скорости vx и vy . Обозна-

чив эту функцию W (x, y,t) и рассматривая время t в качестве параметра, можно записать

dW =vx dx +vy dy.

С другой стороны, дифференциал dW можно представить в виде

7

dW = ∂∂Wx dx + ∂∂Wy dy.

Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу о том, что

Функция F называется потенциалом скорости, или потенци-

альной функцией, а безвихревой поток, характеризуемый этой функцией, – потенциальным.

В общем случае связь вектора скорости и потенциальной функции имеет вид

Использование потенциала скорости существенно упрощает исследование движения жидкости, так как вместо двух неизвестных величин vx и vy (в случае плоского потока) достаточно найти

одну неизвестную функцию W и тем самым полностью определить поле скорости. Однако и для некоторых видов вихревых потоков можно ввести функцию, которая единственным образом определяет кинематические характеристики поля.

Рассмотрим двумерное плоское установившееся вихревое движение жидкости.

С использованием уравнения неразрывности (1) можно установить [2], что существует некоторая функция V координат x, y, определяемая соотношениями

Подставляя соотношения (11) в уравнение линий тока (6), получаем выражение

∂∂Vx dx + ∂∂Vy dy = 0,

в котором левая часть представляет полный дифференциал функции V. В результате имеем соотношение dV = 0, интегрируя которое, находим уравнение семейства линий тока в виде

8

Функция V, называемая функцией тока, так же, как и потенциальная функция, исчерпывающим образом определяет скорости вихревого потока в соответствии с соотношениями

Подчеркнем, что функция тока может быть использована как для потенциального, так и для вихревого двумерного (плоского или осесимметричного) потока.

Для плоского потока несжимаемой жидкости связь функций W и V имеет вид

В случае потенциального потока наряду с линиями тока можно провести семейство эквипотенциальных кривых (на плоскости), определяемых уравнениями W (x, y) =const.

Рассматривая скалярное произведение градиентов

приходим к заключению о взаимной ортогональности эквипотенциальных линий (W (x, y) =const) и линий тока (V (x, y) =const).

Построение указанных линий в окрестности обтекаемого тела (спектр течения) позволяет наглядно судить об особенностях этого течения.

На рис. 2 приведены спектры течения при поперечном установившемся плавном обтекании цилиндра (а) и профиля крыла летательного аппарата (б) потоком жидкости или газа при отсутствии вихревых течений.

Отметим, что учет вязкости требует рассмотрения непосредственно вблизи поверхности тела особой области течения, именуемой пограничным слоем (рис. 2, в), в котором скорости частиц монотонно возрастают от нуля на поверхности до некоторого слабо изменяющегося значения vδ в основной области течения. Считает-

ся, что частицы как бы прилипают к поверхности обтекаемого ими тела. В пределах пограничного слоя поперечные градиенты скоро-

9

сти жидкости ∂vx / ∂y существенно выше, чем в остальной области течения, поэтому вязкостью в нем пренебрегать нельзя, что видно, например, из формулы Ньютона τ= η ∂vx / ∂y, где τ – касательные

напряжения между двумя бесконечно близкими слоями жидкости, имеющими различные скорости; η – динамический коэффициент вязкости [1] .

а

Рис. 2. Спектры течения:

а – семейство линий тока при плавном поперечном обтекании цилиндра; б – спектр обтеканий (семейства линий тока и ортогональных им эквипотенциальных линий)

тела сложной формы; в – типичный профиль скорости в пограничном слое

Следует подчеркнуть, что фактически именно в пределах пограничного слоя формируются все виды воздействия со стороны жидкости на обтекаемое тело.

При решении практических задач толщину слоя δ как функцию координаты y можно рассчитать с помощью полуэмпирических

10

зависимостей [2] и затем учесть влияние слоя косвенно, несколько изменив геометрию тела в сторону условного утолщения слоя. Это позволит существенно упростить аналитическое исследование обтекания тела, перейдя от математической модели вязкой жидкости к модели идеальной жидкости практически без потери точности конечных практических результатов, например, в плане силового воздействия среды на обтекаемое тело. На рис. 2, б условное утолщение тела показано пунктирной линией, линии тока – тонкими сплошными линиями со стрелками в направлении движения по ним частиц жидкости, эквипотенциали – штрихпунктирными линиями.

Из рис. 2, а, б видно, что линии тока (сплошные) тем точнее следуют очертаниям поверхности тела, чем ближе они расположены к этой поверхности. Особо следует выделить точки, лежащие на поверхности обтекаемого тела, в которых либо заканчивается одна линия тока из всего множества этих линий (точка А), либо начинается другая линия тока (точка В). Эти точки, выделяемые при любом характере обтекания, называются критическими, или

точками полного торможения потока.

Как правило, поверхности обтекаемых тел являются непроницаемыми для жидкости, поэтому граничное условие в отношении скорости для таких тел можно записать в виде vn,s =0 (дополни-

тельный индекс s означает условие пребывания жидких частиц на самой поверхности).

Можно представить, что жидкая частица, оказавшаяся в передней критической точке А, как бы на мгновение останавливается, а затем, испытывая силовое воздействие со стороны окружающих ее частиц, начинает двигаться, например, вдоль верхней части поверхности тела, а следующая за ней частица начинает двигаться вдоль нижней части этой поверхности. Достигнув задней критической точки В, рассмотренная пара частиц отделяется от поверхности и продолжает движение уже во внешнем потоке. Такое поведение частиц и относится к плавному (безотрывному) обтеканию, которое реально формируется только при относительно малых скоростях набегающего на тело потока. С достижением некоторой пороговой скорости плавное обтекание нарушается, когда в окрестности задней критической точки происходит отрыв потока [2] с

11