Открытые многоканальные системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков (90

На правах рукописи

ТИТОВЦЕВ Антон Сергеевич

ОТКРЫТЫЕ МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

05.13.18– Математическое моделирование, численные методы

икомплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Казань – 2011

Работа выполнена на кафедре Интеллектуальных систем и управления ин-

формационными ресурсами Казанского государственного технологического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кирпичников Александр Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Крылов Владимир Владимирович

доктор технических наук, профессор Ахмадиев Фаил Габдулбарович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Защита состоится «27» мая 2011 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссерта-

ционного совета Д 212.080.13 при Казанском государственном технологиче-

ском университете по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68, зал засе-

даний Ученого совета (аудитория А-330).

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью,

просим направлять по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68, Казанский государственный технологический университет, ученому секретарю диссерта-

ционного совета Д 212.080.13.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Ка-

занского государственного технологического университета.

Электронный вариант автореферата размещен на официальном сайте Ка-

занского государственного технологического университета (www.kstu.ru).

2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время всё чаще возникают задачи, связанные с обслуживанием потоков требований случайного характера. Подобные задачи возникали всегда, однако в простейших случаях они решались без применения методов математического моделирования. Научный подход к задачам массового обслуживания стал применяться тогда, когда подобные проблемы стали возникать в технических системах, так как в этом случае требовалась высокая точность и экономическая эффективность решения. Возникнув в связи с проблемами телефонии, теория массового обслуживания нашла применение в других областях человеческой деятельности. За время существования теории массового обслуживания проделано немало трудов в различных её направлениях. Примечательно, что большинство исследований в этой области было связано с решением конкретных прикладных задач. По мере роста технического прогресса появляются новые области приложений этой теории, такие как телекоммуникации, транспорт, сфера обслуживания населения и др. Обзор научных статей в данной области за последние годы показывает, что работы ученых этого времени были ориентированы на решение задач в области телекоммуникации. Однако в последнее время в связи с развитием рынка в России появляется все большее количество различного рода товаров и услуг, и возникают проблемы, связанные с организацией пунктов торговли и обслуживания населения, таких как супермаркеты, торговые базы, оптовые рынки. Для решения подобных задач целесообразно использовать методы теории массового обслуживания, основанные на математическом аппарате теории случайных процессов и цепей Маркова.

Несмотря на появление программных средств имитационного моделирования случайных процессов на ЭВМ, аналитическое моделирование систем массового обслуживания остается актуальным, поскольку только аналитическое решение обладает общностью результата и позволяет предсказать характер поведения системы при любых изменениях параметров модели. Сложность аналитических методов не позволяет решать с их помощью любые задачи массового обслуживания, однако, круг задач, решаемых аналитически, весьма широк. Для решения практических задач достаточно рассмотреть системы весьма общей структуры в стационарном режиме функционирования. Особый практический интерес представляют модели массового обслуживания, являющиеся комбинациями ранее изученных моделей, поскольку подобные модели наиболее полно описывают реальные объекты. Однако в литературе комбинированные модели массового обслуживания почти не изучены, а близкие к ним модели обслуживания с различными ограничениями рассмотрены весьма поверхно-

стно. В частности, в трудах Коэна (Cohen, J.W.: Certain Delay Problems for a Full Availability Trunk Group Loaded by Two Sources, Commun. News, vol. 16, pp. 105– 113, 1956.) приводятся лишь вероятностные характеристики для многоканальной модели обслуживания – комбинации классической модели и модели Эрланга. В этой связи в настоящей работе были изучены комбинированные системы

3

обслуживания, в которых имеют место отказы, ожидания, а также ограничения на длину очереди.

Цель работы заключается в разработке методов и алгоритмов организации обслуживания в системах массового обслуживания нового типа – открытых системах дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков, применимых для различных областей: телекоммуникаций, сферы обслуживания и др.

Методом исследования является математическое моделирование с применением математического аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, включая аппарат непрерывных цепей Маркова.

Имитационное моделирование систем массового обслуживания данного типа осуществлялось с использованием инструментального средства GPSS World, основанного на методе Монте-Карло.

Достоверность научных результатов обеспечивается математической строгостью и корректностью постановок задач, выполнения выкладок, а также хорошим совпадением полученных решений с результатами имитационного моделирования и с известными частными решениями других авторов. В работе применены строгие математические методы, в том числе методы теории вероятностей, теории случайных процессов и непрерывных цепей Маркова, методы имитационного моделирования, а также методы численного решения систем алгебраических уравнений.

Научная новизна. Впервые изучены открытые многоканальные системы массового обслуживания (СМО) с входным потоком, содержащим требования разных типов: для одних имеет место ожидание до наступления обслуживания, для других действуют ограничения на длину очереди, третьи получают отказ в обслуживании в случае отсутствия свободного обслуживающего устройства. Потоки такого рода предложено называть поликомпонентными потоками заявок. Введены новые вероятностные характеристики, использование которых значительно упрощает процедуру математического моделирования таких СМО. Разработана программа имитационного моделирования и численный алгоритм организации обслуживания в СМО данного типа.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные результаты применимы в телекоммуникационных, транспортных системах, в логистике, на производстве, в сельском хозяйстве, в сфере обслуживания населения и других областях, где имеют место проблемы, связанные с обслуживанием потоков различного рода требований случайного характера. Результаты диссертационной работы могут быть полезны при разработке проектов строительства новых и реконструкции существующих объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания. Подобные математические модели, во-первых, позволяют оценить производительность проектируемой системы при известной ее структуре, сделать выводы о целесообразности модернизации системы; во-вторых, дают возможность рассчитать необходимое число обслуживающих устройств в системе на этапе проектирования, достаточное для получения требуемой производительности.

4

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

XVIII Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (г. Нижний Новгород, 2006);

XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20» (г. Ярославль, 2007);

VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Адлер, 2007);

XIX Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (г. Нижний Новгород, 2007);

V Международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (г. СанктПетербург, 2008);

XII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г.

Киев, 2008);

IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, 4 из них – в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Работа изложена на 143 страницах, иллюстративный материал представлен в виде 68 рисунков, библиография включает 70 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении для полноты изложения приводятся исторические сведения из теории массового обслуживания. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы.

В главе 1 представлена новая математическая модель СМО – модель открытых многоканальных систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Подобные СМО имеют m обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки трёх типов:

1-й тип – заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди;

2-й тип – заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа Е. В случае, когда в очереди уже имеется

Еили более требований, вновь поступившая заявка второго типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной;

3-й тип – заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В случае, если на момент поступления очередной подобной заявки в системе не оказывается

5

свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необслуженной.

Потоки заявок каждого типа являются простейшими и имеют интенсивности соответственно, суммарный поток с интенсивностью

1 2 3 также является простейшим, 1 2 - входной поток тре-

бований после m-го состояния и 1 - входной поток требований после (m+E)-го состояния (также простейшие). Средняя интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством равна , интенсивность выходного потока обслуженных заявок до m-го состояния кратна и зависит от числа занятых каналов, а после m-го состояния – равна m . Поток обслуженных заявок также простейший. Приведённые интенсивности соответствующих потоков заявок:

Состояния СМО соответствуют числу требований, находящихся в системе. Случайный процесс, происходящий в СМО, представляет собой непрерывную марковскую цепь, граф состояний которой приведён на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний и переходов открытой многоканальной системы дифференцированного обслуживания поликомпонентного потока По данному графу составлена система уравнений Колмогорова для веро-

ятностей состояний СМО в стационарном режиме функционирования:

Pm E 1 Pm E 1 m Pm E 2 Pm E mPm E 1 Pm E m Pm E 1 Pm E 1 mPm E 1 1 Pm E 1 m Pm E 1 Pm E 2 m

6

С учетом условия нормировки Pi 1 система имеет единственное ре-

i 0

шение в виде вероятностей всех возможных состояний СМО в установившемся режиме.

Вразделе 1.1 введены новые базисные вероятностные характеристики:

-вероятность неполной загрузки накопителя

7

- вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке

Вразделе 1.2 приводится формализация числовых характеристик СМО:

-относительная пропускная способность

- осреднённый квадрат числа требований, находящихся под обслуживанием

- среднее число заявок, находящихся в очереди (средняя длина очереди)

8

- осреднённый квадрат числа требований в системе в целом

k2 n2 l2 2ml R2 PНО Pm 1 R PНО mPож

m m 2 m E m 1 PÏÇÍ . (17)

11

Вразделе 1.3 приводится формализация временных характеристик СМО:

-функция распределения времени обслуживания одной заявки