Многомерный статистический анализ (128

Очевидно, что вектор μi состоит из средних вектора ξi ; Dii -матрицы ковариаций вектора ξi ; i =1,2; D12 – матрицы взаимных ковариаций векторов ξ1, ξ2 ; соответственно D21 – аналогичная матрица векторов ξ2 , ξ1. Для краткости обозначим через np ( x; μ, D) плотность р-мерного нормального распределения.

Теорема 1.3. Маргинальное распределение векторов ξ1, ξ2

является нормальным с параметрами μi , Dii , т. е. ξi ~ N (μi , Dii ), i =1,2 .

Доказательство опускается.

Следствие 1.2. Для того чтобы ξ1 и ξ2 были независимы, необходимо и достаточно, чтобы D12 = 0.

Доказательство. Необходимость очевидна, так как для любых случайных величин из их независимости следует их некоррелированность.

Докажем достаточность. Пусть D12 = 0. Рассмотрим квадра-

=(x1 −μ1 )′ D11−1 (x1 −μ1 )+(x2 −μ2 )′ D22−1 (x2 −μ2 )=

=Qr (x1 )+Qm (x2 ).

Врезультате

11

Таким образом, совместная нормальная плотность есть произведение маргинальных плотностей ξ1, ξ2 (что следует из теоремы 1.2).

Следствиедоказано.

Покажем, что линейное преобразование нормального вектора сохраняет свойство нормальности.

Пусть ξ~ N (μ, D). Рассмотрим η= Cξ, где C – невырожденная матрица размеров ( p × p) . Ранее уже было показано, как

преобразуются средние и матрицы ковариаций при линейных преобразованиях.

Якобиан преобразования x = C−1 y есть

Согласнообщимправилампреобразованияплотностейполучим

12

Здесь использовано равенство (C−1)′ = (C′)−1.

Рассмотрим вопрос об условных распределениях нормального вектора. Пусть, как при формулировке теоремы 1.2, осуществлено разбиение:

Согласно только что доказанному свойству, случайный вектор η имеет нормальное распределение с параметрами

Доказательство. Согласно определению условной плотности,

13

Подставляя это выражение в (1.10) и сокращая одинаковые сомножители nm (x2 ; μ2 , D22 ), после очевидных преобразований получим требуемый результат.

Определение 1.2. Условное среднее μ y = μ1 + D12 D22−1 ( x2 − μ2 )

частными коэффициентами корреляции.

Рассмотрим еще один показатель, характеризующий зависимости между компонентами нормальных векторов. Для простоты будем полагать μ = 0, что не ограничивает общности резуль-

татов.

14

Положим, что для ξ, D осуществлены предыдущие разбиения (см.

ной β′i x2, являющейся числом). Величина αi обладает важными свойствами, которые приведены в следующей теореме.

1.D(ξi −αi ) = minγ D(ξi − γ′ξ2 ).

2.ρ(ξi , αi ) = maxγ ρ(ξi , γ′ξ2 ).

Здесь D, ρ – символы дисперсии и коэффициента корреляции со-

= D(ξi −αi ) +(βi − γ)′ D22 (βi − γ).

Так как матрица D22 положительно определена, то минимум достигается при γ =βi . Что требовалось доказать.

Значение дисперсии D(ξi −αi ) легко вычисляется с учетом независимости (ξi −αi ) и ξ2:

(или D11 ).

Определение 1.4. Максимальное значение коэффициента корреляции между ξi и линейной комбинацией β′iξ2 называется мно-

жественным коэффициентом корреляции между ξi и ξ2. Обозначим множественный коэффициент корреляции через

Ri,m. Из (1.11) и (1.12) можно получить соотношение между условной и безусловной дисперсиями bii и σii

которое показывает, что никакая условная дисперсия ξi не может

быть больше ее безусловной дисперсии.

Определенные выше параметры зависимости между компонентами нормального вектора широко используются при статистиче-

16

ском анализе результатов научных и инженерных экспериментов, поэтому оценка этих параметров играет важную роль.

Теорема 1.5. Оценками максимального правдоподобия частных ковариаций и коэффициентов корреляции, условных математических ожиданий, множественных коэффициентов корреляции являются статистики, которые получают подстановкой оценок максимального правдоподобия (1.6) исходных параметров μ, D в

выражения, определяющие эти параметры.

Доказательство теоремы следует из свойств оценок максимального правдоподобия (см. приложение).

2.СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ О ВЕКТОРЕ СРЕДНИХ

2.1.Доверительное оценивание и проверка гипотез при известной матрице ковариаций

Вразд. 1 были найдены точечные оценки максимального правдоподобия для μ. Для получения вывода интервальных оценок и

методов проверок гипотез о векторе средних докажем несколько вспомогательных утверждений.

(n ×n) .

Справедливы следующие утверждения:

1. ηj = ∑C jk ξk , j =1, n – независимые векторы и

n

ηj ~ N (νj , D), νj = C jk μk . k=1

n n

2.∑ξiξ′i = ∑ηiη′i .

i=1 i=1

Доказательство. Нормальность векторов ηi следует из того, что линейное преобразование нормальных векторов приводит к нормальному же вектору. Вид νj получается непосредст-

венно. Матрица ковариаций ηi , ηj будет выглядеть так:

17

Так как векторы ηi – независимы, то отсюда следует, что μ и

D независимы. Очевидно, что Eμ = E 1n ηn = μ, т. е. μ – несме-

щенная оценка μ . Из теоремы 2.1 получаем μ ~ N μ, 1n D .

Аналогично при i < n находим

Оценка D смещена, поэтому выборочной матрицей ковариаций обычно называют матрицу

матрица D известна. Вывод основан на доказанном в пособии [1] утверждении о распределении некоторой квадратичной формы от коор-

динат нормального вектора, состоящем в том, что если ξ~ N( μ, D),

где zγ – квантиль уровня γ распределения χ2 ( p).

Область (2.2) является внутренностью эллипсоида с центром в точке μ.

Аналогично можно применять статистику Q при проверке статистических гипотез о значениях параметра μ.

Пусть проверяется гипотеза

Определение 2.1. Величина δ, определяемая равенством

δ = (μ1 −μ2 )′D−1(μ1 −μ2 ),

называется расстоянием Махаланобиса между двумя нормальными совокупностями N(μ1, D) и N(μ2 , D).

20