Кратные интегралы и ряды (90

1

n

n

,

1 x

c x

n 1

где

cn 1 ... n 1 .

n!

4. Логарифмическая функция:

ln 1 x

n 1

n

.

1

x

n 1

n

Задача

6.1.

Разложить

в

ряд

Маклорена

функцию

f x

1

.

1 x

Решение. Воспользуемся стандартным разложением степен-

ной функции при

1 .

2

f x 1 x

1

2 1

1

x

1

3

1

3

5

2

2

x2

2

x3...

2

2

2

...

1 n 2n 1 !

...

1

1 n 2n 1 !

.

2n

2n

n 1

e2x e2 t 1 e2 2t e2

e2t e2

2t n

e2 2n

tn

n!

n!

e2 2n

n 0

n 0

x 1 n.

n!

n 0

Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

Задача 6.3. f x ln x,

x0 4 .

Задача 6.4. f x sin x,

x .

0

4

21

в ряд Фурье

2l -периодическая функция

f x

может быть представлена

рядом Фурье вида a

cos

nx

b

sin

nx

, где

a

l

l

0

n 1

n

n

1

l

a0

f x dx ,

l

2l l

l

an 1

bn

1

f x sin nx dx .

f x cos nx dx ,

l

l

l

l

l

l

l

Если

функция

f x

четная,

то

a0 1

f x dx ,

l

l

0

an 2

x cos nx dx ,

bn 0 .

f

l

0

l

l

Если

функция

f x

нечетная,

то

bn

2

f x sin

nx dx ,

l

0

l

Решение. Так как функция имеет период Т=1, то ее доста-

точно описать на отрезке 0;1 :

1

x,

x 0;

2

.

f x

x,

x

1

1

2

;1

Очевидно, что функция четная: f x f x . Поэтому

f x a

cos

n x

b sin

n x

l

T

– полупе-

a

, где

0

n 1

n

l

n

l

2

bn

0 , a0 1

l

f x dx,

an

2

l

f x cos n x dx.

l

0

l

0

l

Так как l

1 , то вычисление коэффициентов Фурье сводится

2

1

1 ;

к вычислению следующих интегралов: a0 2

2xdx

0

4

1

u x

du dx

a

n

2 2 2 x cos 2 nx dx

dv cos 2 nx dx v sin 2 nx

0

2 n

12

12 sin2 nx

12

x sin 2 nx

dx 4

cos2 nx

4

4

2 n 2

2 n

0

2 n

0

0

n

1

1

1

n

4

2 2

4n

2 2

2 2

1 1.

4n

n

Очевидно, что если n

четное,

то коэффициент равен 0. Если

n 2k 1 нечетное, то a2k 1

2

.

2k 1 2

2

Ответ: f x x

1

2

cos 2n 1 2 x

.

4

2n 1 2

2 n 0

Задания для самостоятельной работы

Разложите функции в ряд Фурье.

Задача 7.2. f x

sin x

.

Задача 7.3. f x

sgn

cos x .

0,

x

0

Задача 7.4. f x

0 x .

x,

ность fn (x) (n 1)xn nxn 1.

n

x

Задача 8.2. Найти область сходимости ряда: n2

.

1

x2

n 1

a

гралом, зависящимотпараметра. Интегралыболееобщего вида

f x, dx

называются интегралами, зависящими от

параметра с переменными пределами интегрирования.

Если

функция

f x,

непрерывна в прямоугольнике

a x b, 1 2 ,

b

то интеграл I f x, dx

есть функ-

a

ция, непрерывная на отрезке a;b .

f x,0 dx , где

f x;0 lim

x cos x ex sin

x 1, следова-

0

тельно, искомый предел равен

x 1 dx 2 .

2 x2 dx

.

Задача 9.2. Найти I , если I e

x

1

2

x2

'

2

x

2

x2

2

x

2

1

2

x

2

2

e

e

dx

dx x e

dx

e

d x

x

x

I

2

1

1

1

1

1

x2

2

e4 e

e

2 .

2

1

1

u arcsin x

dv dx

1

arcsin x dx

du

v x

x arcsin x

0

0

1

1 2 x2

x dx

1

1 2x2

1

1

2

.

0

1 2x2

2

0

2

2

1 dx

, который сходится при 1. Так как при x 0 от-

гралом

0 x

ношение функции 1 cosx и

1

стремится к

1 , приходим к

x 2

x

2

выводу: наш интеграл сходится про 3.

Ответ:

1

cos x

dx сходится при 3.

x

0

arctg x

Задача10.2. Исследоватьнасходимость

dx .

1 x2 ex 1

0

1)

arctg x

dx.

Если 0 , то интеграл расходится,

1

x2 ex 1

1

arctg x

2

.

1 x2 ex 1

x

2

2)

1

arctg x

dx

. В зависимости от значения инте-

1 x2 ex 1

0

arctg x

1 x

x

x

~

1

.

~

2

x

1

1 x2 ex 1

Интеграл сходится при 1 1

2.

Множество сходимости интеграла

arctg x

dx

опреде-

1 x2 ex 1

0

Ответ:

arctg x

dx сходится при 0 2.

1

x2 ex 1

0

Задача 10.3.

x sin x

dx .

1 x3

1

Задача 10.4.

3 2x

x

dx .

3

0

x 2

Исследование несобственных интегралов

на равномерную сходимость по параметру

Интеграл вида

f , x dx I равномерно сходится по па-

a

раметру на множестве Y 0, A ,

A A

неравенство

f , x dx

выполнено для Y .

A

sin x

Задача 10.5. Доказать,

что

интеграл

dx является

равномерно сходящимся при ; .

0 1 x2

Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса.

Интеграл

f , x dx сходится равномерно на множестве Х,

если:

a

и f , x dx являетсясходящимся.

f , x

F x

X

sin x

1

dx

a

1

1