Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы и ряды (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

438.88 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра дискретного анализа

М. В. Ануфриенко, Г. В. Шабаршина

Кратные интегралы и ряды

Методические указания

Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по направлению

Фундаментальная информатика и информационные технологии

Ярославль 2012

УДК 517.37(072) ББК В161.12я73

А73

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2012 года

Рецензент:

кафедра дискретного анализа ЯрГУ им. П. Г. Демидова

Ануфриенко, М. В. Кратные интегралы и ряды: А73 методические указания / М. В. Ануфриенко, Г. В. Ша-

баршина; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2012. – 36 с.

В методических указаниях собраны материалы, которые позволят организовать аудиторную и внеаудиторную самостоятельную подготовку студентов по курсу «Кратные интегралы и ряды».

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии (дисциплина «Кратные интегралы и ряды», цикл Б2), очной формы обучения.

УДК 517.37(072) ББК В161.12я73

©Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012

Введение

Стратегическим направлением модернизации и оптимизации высшего образования является увеличение времени на самостоятельную работу студентов. И это понятно: современные условия диктуют необходимость непрерывного образования, когда от студентов и в дальнейшем от выпускников университета требуется постоянное совершенствование знаний. Выпускник должен быть ориентирован на большую инициативу и самостоятельность, должен обладать способностью работать в различных рабочих командах, иметь высокую мотивацию к переобучению.

Одними из основных факторов, обеспечивающих большую эффективность процесса обучения и позволяющих достигнуть более высокого качества обучения, являются сокращение аудиторной нагрузки и все возрастающая роль самостоятельной работы студентов вместо пассивного слушания лекций. Объем самостоятельной работы студентов определяется ФГОС и учебным планом направления подготовки 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» относится к математическому и естественно-научному циклам. Это обязательный курс для студентов 2-го курса, читается в 3-м семестре. На изучение дисциплины отводится 144 часа, из которых 36 часов лекционных и 36 часов практических занятий. Остальные часы так или иначе связаны с самостоятельной подготовкой. Объем информации по этой дисциплине (полный набор вопросов приведен в приложении) весьма значителен. Отсюда совершенно естественно следует, что большая частьработыпереноситсянасамостоятельнуюподготовку.

В предлагаемых указаниях приводятся методические материалы по дисциплине «Кратные интегралы и ряды»: для каждой темы приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач, представлены варианты контрольных заданий, список экзаменационных вопросов. Все эти материалы призваны оказать помощь в организации самостоятельной работы, облегчить и оптимизировать внеаудиторную самостоятельную работу.

1. Функциональные последовательности и ряды

Занятие 1. Предельная функция функциональной последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Функциональной последовательностью fn x называется

последовательность, элементами которой являются функции. Ес-
ли числовая последовательность fn x0 сходится, то говорят,
что последовательность функций fn x сходится в точке x0 .
Последовательность fn x , сходящуюся	в каждой точке
x E , называют сходящейся на множествеE .	В этом случае на

множестве E определена функция f , значение которой в точке x0 E равно пределу последовательности fn x0 . Эту функцию

называют предельной функцией последовательности и пишут

lim fn x f x , x E . n

Найдите предельную функцию функциональной последовательности:

Задача 1.1.

fn (x) =

1 n2 x2

nx n2

Решение. f x lim

lim

n2 x

n 1

Задача 1.2.

fn (x) =

n (x n x

Решение. При вычислении воспользуемся следствием из

второго замечательного предела

lim

a x 1

ln a .

x 0

lim (x

lim

n (x n

x 2n )

= lim

lim x

ln x ln x ln x .

n 2

Задача 1.3. fn (x) = n 1 xn ,

x [0; ) .

Решение.

f x lim

n 1 xn ;

x [0; ) . Рассмотрим три

случая.

n 1 xn n 1 1.

Если

0 x 1,

то

xn 0,

Если

x 1,

то

n 1 xn n 2

Если

x 1,

то

( xn 1)

при

x [0;1]

Таким образом, f (x) x;

при

(1; ).

Задача 1.4. fn (x) = n arcctg (nx2 ),

x (0; ) .

Решение. f

lim n arcctg (nx2 ),

x (0; )

Данный предел может быть вычислен с помощью правила Лопиталя:

	(arcctg nx2 )' lim						1 x2			n2x2
f x lim	(arcctg nx2 )' lim						1 n2 x4		lim	n2x2
n	(	1	n	)'	n		1	2	n 1	n2x4
			n				n
Задача 1.5. fn (x) =
Решение. f x lim (x 1) arctg xn ,									x (0; ).
		n
Рассмотрим три случая:
при x (0;1)	xn 0 (x 1)arctg xn 0,
при x 1	(x 1)arctg xn 0					0,
						4
при x (1; )		xn					(x 1)arctg xn (x
										2

x12 .

1).

Окончательно:

при

x (0,1],

f (x)

(x 1);

при

x (1; ).

Задача 1.6. fn (x) = n(

arctg

x [0; ) .

Решение.

f x lim n(

arctg

x [0; ).

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

arctg t t o(t2 ) при t 0

arctg

o(1) при

n .

lim n(

)) lim o(

) n lim

o( 1

)

Таким

образом,

f (x) 0,

x [0; ).

Задача 1.7. fn (x) = n arctg

ln x

x 0.

Решение.

f x

lim n arctg ln x ,

x 0.

Воспользуемся заменой на эквивалентную бесконечно ма-

лую: arctg t ~ t

при

t 0.

n ln x ln x.

lim n arctg ln x

lim

Задача 1.8. fn (x) =	x	ln			x	,
	n				n
			x				x
Решение. f x lim				ln				,
							n
n n

Сделаем замену переменной Лопиталя:

x 0.

nx t и воспользуемся правилом

f x

lim

lim t ln t

lim

ln t lim

0 .

n n

t 0

Задача 1.9.

fn (x) = n2 (1 cos

x 0.

Решение. f(x)= lim

n2 (1 cos

x 0.

Воспользуемся

разложением

cos

по

формуле Тейлора:

cos

2n2

)

lim

n2 (

)

lim

2x2n2

2x2

Итак,

f (x)

2x2

Задача 1.10. fn (x) = n2 (exn cos xn )

x [0;1)

Решение. f(x)= lim

n2 (exn cos xn )

x [0;1).

Так как xn 0, сделаем замену переменной xn t и воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

et cost 1 t	t 2	o(t 2 )		(1			t 2	o(t3)) t t 2 o(t 2 )
	2						2
exn cos xn xn x2n o(x2n ) xn o xn .
Следовательно, exn cos xn xn .
f x lim n2 xn		lim	n2			0		при x 0;1 и	f 0 0.
			1		n
n
		n ( x)

Задания для самостоятельной работы

Задача 1.11.

Задача 1.12.

Задача 1.13.

Задача 1.14.

f x lim	arctg	1 nx		,

n		x2 n
f x lim	n3 x2 e nx ,
n
f x lim	n( x2 1 x),
n		n
f x lim	n 1 xn (		x2		)n	,

n	2

x[0; ).

x(0; ).

x[0; ).

Задача 1.15. f x lim	x2	1	,	x ( ; ).
		n
n

Занятие 2. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей
Последовательность функций fn x называют равномерно
сходящейся к функции f x на множестве E , если для любого
0 существует номер N такой, что для всех n N			и для всех
x E выполняется неравенство	fn x f x	.

В этом определении существенно, что номер N			не зависит
от x .

Задача 2.1. Исследовать характер сходимости функциональной последовательности fn (x) n 1 xn на множестве x [0;1].

Решение. Воспользуемся достаточным условием равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве X .

Если существует такая числовая последовательность an , что

an 0	и n	x X		fn (x) f (x)		an , то fn на Х сходится

равномерно к f .

Так как lim n 1 xn 1 f (x), 0 x 1, n

то fn (x) f (x) n 1 xn 1 n 2 1 an 0.

Последовательность сходится на 0,1 равномерно.

Задача 2.2. fn (x) arctg nx	,	x [0; ).
n x

Решение. Предельная функция в этом случае равна 0.

arctg nx	0	arctg nx			an 0.

n x			2 n x	2 n
		n x

Следовательно, последовательность сходится равномерно на

множестве 0, .

Применение производной при исследовании на равномерную

сходимость часто дает возможность вычислить

sup

fn (x) f (x)

x X

Задача2.3. Рассмотримпример:

fn (x) xn xn 1,

x [0;1].

Решение.

Предельная

функция f (x) 0.

Очевидно, что

fn x 0

f 0 f 1 0.

fn' (x) n xn 1 (n 1) xn xn 1(n nx x) 0

n 1

Так как f '

x 0 при x

, то

n 1

sup

fn x f x

max fn x fn xn fn

0,1

n 1

	n	n		n	n 1


n 1			n 1

	n	n		n		1	n	1	1
			1		1					.
				n 1		n 1		n 1	n 1
n 1

Последовательность сходится равномерно на множестве 0 x 1.

На следующем примере рассмотрим случай неравномерной сходимости.

Задача 2.4. fn x x n e nx2 ,

Решение. Предельная функция f fn' x f (x) x n e nx2 2nx

x [0, ).

x 0 (докажите).

e nx2 n ;

fn' x f (x) e nx2 x2			n 2n	n 0 .
Отсюдаx	1	. Нас	интересует	x	1	. В этой точке
	2n				2n

достигается максимальное отклонение функций последовательности от предельной функции.

	1	1		n	1	1		1	1
					2n
fn			n e				e	2		.
		2n				2			2e
	2n

Величина не является бесконечно малой, следовательно, на множестве 0, последовательность сходится неравномерно.

Задача 2.5. fn x	n sin		x	, x R .
		n	n

Решение. При доказательстве неравномерной сходимости воспользуемся условием-отрицанием равномерной сходимости:

			~		~		~

0	k N	n k	x X					.
				fn x		f x

Предельная функция f (x) lim

lim

Положим

n n

sin1 0 .

Тогда при

x n

n | fn x f x |

n sin

То есть fn на R сходится неравномерно.

Задача 2.6. fn x n x2 ,

x [1; ).

Решение. Тогда

n x

f x

lim

n x2

x2.

fn x f x

n x2

n n x

n x

при

x n.

Таким образом, последовательность сходится не равномерно.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]