Методика изучения геометрического материала в начальной школе

ÁÁÊ74.202.42 Ê 8 9

Рецензент:

кандидатпедагогическихнаук,доценткафедры математики и физикиЛ.Г.Шестакова

Кузьминова В.И. Методика изучения геометрического материала в начальной школе:

Учебно-методическое пособие для студентов специальности ¹ 031200 "Педагогика и методика начального обучения" / Соликамский государственный пе- дагогическийинститут.-Соликамск,2005.-5 6 с.

Данноеучебно-методическоепособиепредназначенодля студентов,обучающихсяпоспециальности031200Педагогикаиметодиканачальногообразования.

Цель пособия - углубить и обобщить методические знания студентов по одному из вопросов частной методики - методике изучения геометрического материала в на- чальном курсе математики; выделить типы заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми геометрических знаний.

©В.И.Кузьминова,2005 © Соликамский государственный

педагогическийинститут,2005

Введение

Данноеучебно-методическоепособиепредлагает- сядлястудентовспециальности¹031200"Педагогика и методика начального обучения". Рекомендуется какдляочного,такидлязаочногоотделения.

Пособиепосвященорассмотрениюодногоизвопросов частной методики - методике изучения геометрического материала в начальном курсе математики.

Впособииданыкраткиеисторическиесведенияо возникновении геометрии и "Началах" Евклида, раскрытыобщиеположения,связанныесизучениемэлементовгеометрии вначальнойшколе. В пособии такжеописанодинизметодическихподходовкознакомлениюснекоторымигеометрическимпонятиями,изу- чаемымивначальнойшколе,выделенытипызаданий, которыенеобходимоиспользоватьприуточнениипредставленийогеометрическихфигурах.

Восполняя недостаток в учебно-методической литературепометодикепреподаванияматематики,учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяясформироватьправильныйподходкизучению важноговопросачастнойметодикииумениесамостоя- тельноработатьсучебно-методическойлитературой.

Возникновение геометрии и "Начала" Евклида

Геометриявозниклаподвлияниемжизненныхпотребностейещевглубокойдревности.Строяжилища ихрамы,украшаяихорнаментами,размечаяземлю,измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов.Египтяне,ведяразвитуюторговлю,нуждались в умении измерять емкость сосудов, им необходимыбылитакжеастрономическиесведения,накоторыхосновывалосьискусствокораблевождения.

Знаменитыеегипетскиепирамиды,сохранившиесядо настоящеговремени,свидетельствуют,чтоихсооружениетребовалобольшогознанияпространственныхформ.

Все это указывало на чисто опытное происхождениегеометрии.Нонельзянеотметить,чтонеодинтолькоопытсодействовалразвитиюгеометрии;размышления человека над отдельными явлениями, его способность отвлечься от реального образа и мыслить абстрактно,создаватьвсвоемвоображенииразличныеобразы,воспроизводитьих,размышлятьнадними,сопоставлять результаты наблюдений над объектами, а такжеобобщатьрезультатынакопленногоипроверенного опытатакжеспособствовалиразвитиюгеометрии.

ПосвидетельствуГеродота,греческогоисторика, жившего за 25 столетий до нашего времени, "Сезострис,египетскийцарь,произвелделениеземель,отмежевав каждому египтянину участок по жребию; сообразно этим участкам с их владельцев ежегодно взимали налоги. Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров: они

измеряли,насколькоуменьшилсяучасток,исообразно этому понижали налог. Вот откуда возникла геометрия и перешла из этой страны в Грецию".

Древнеегипетскую культуру в области математикипродолжалигреки,которыенетолькопреемственно усвоиливесьопытегипетскойгеометрии,ноипривели в систему накопленные геометрические знания и таким образом заложили начало геометрии как науки на протяжении V и IV веков до н.э..

Первое собрание решений геометрических задач и предложений под названием "Начала" было составленоГиппократом(Vвекдон.э.).Дальнейшиеуспехи геометриипотребовалисозданиянового,болееобширногосборника"Начал",составлениекоторогоприписывают Леону.

Последними "Началами", достигшими всеобщего признанияидошедшимидонас,были"Начала"Евклида, жившего в III в. до н.э. Все предложения Евклид доказывает чисто умозрительно, исходя из принятых им основных определений, постулатов и аксиом, без всякойссылкинаопыт,нетолькоспомощьюцепилогическихумозаключений,выводимыходноиздругого, но и на основе пространственной интуиции и интуиции движения.

Строгое же дедуктивное, чисто логическое изложение геометрии удалось в числе первых лишь ДавидуГильберту(род.в1862г.),крупнейшемуматематикутоговремени.

Так что же такое геометрия?

Слово "геометрия" состоит из двух частей: гео (земля) и метрия (metron - измерение) - и в переводе сгреческогоязыкаозначает"землемерие".Ноужедавногеометриявышлазаузкиерамки,обозначенныеэтим буквальным пониманием.

Общие вопросы изучения геометрического материала в начальной школе

Одной из посылок включения элементов геометрии в начальный курс математики явились большие затруднениявизучениигеометрии,испытываемыеуча- щимися в среднем и старшем звеньях. Объясняется эторазрывомпроцессаформированиягеометрических знаний, который имеет место в школьном математи- ческом образовании.

Такжеследуетотметить,чтоотсутствиепространственных форм в курсе математики начальной школы делало математическое образование учащихся начальныхклассовнеполным,таккакнеучитывалосьто,что геометрическоемышлениевсвоейосновеявляясьразновидностьюобразного,чувственногомышления,помере развитиякоторогопроисходитвозрастаниелогической составляющей,являетсяважнымвнепосредственнофизиологическомсмыследлядетейданноговозраста.

Математическое развитие младших школьников невозможнобезприобщенияихкгеометрии.Вначальных классах ставится задача расширить и уточнить представленияучащихсяогеометрическихфигурах,а также в процессе выполнения различных практическихупражненийразвиватьихинтуицию,пространственноемышление,воображение,конструкторскиеиизобразительныенавыки,эмоциональную,эстетическую,духовную сферы младших школьников.

Таким образом, включение геометрии в курс математикиначальныхклассовпредполагаетнауровнепрактическихдействийизучениеучащимисялинейных,плоскостныхинекоторыхпространственныхгеометрических

фигур и формирование на этой основе измерительных, изобразительных,конструкторскихумений.Изучениегеометрическихфигуриихотношенийдолжнодоводиться доуровняпредставлений,поэтомуважноеместовизуче- нии должен занимать лабораторный метод, метод действиясобъектами,тоестьпрактическаядеятельность.

Общаясьсразнообразнымиматериальнымимоделямигеометрическихфигур,выполняясэтимимоделямибольшоечислоопытов,учащиесявыявляютнаиболееобщиепризнаки,независящиеотматериала,цвета, вкуса и так далее. Это достигается систематическим применением приема материализации изучаемых геометрическихобъектов.Например,прямаялиниянетоль- коследдвижущейсяточки,ноикрай-ребролинейки, линия сгиба бумаги, линия пересечения двух плоскостей(полаистены).

Формирование представлений о геометрических фигурахвначальнойшколесвязаносизучениемряда величин (длина, площадь, объем). В основе организациидеятельностишкольников,направленнойнаусвоениеэлементовгеометриивначальныхклассах,лежат следующие положения:

1. В развитии представлений о геометрических фигурах учащиеся начальных классов проходят два этапа.Первыйхарактеризуетсятем,чтогеометрическаяфигуравоспринимаетсякакцелое,науровнеузнавания отношения между элементами фигур и самими фигурами ими не устанавливаются. На втором этапе они начинают различать элементы фигур и устанавливать отношения между самими фигурами. На этом этапеученикимогутраспознаватьфигурыпоихсвойствам и устанавливать отношения между ними на на- глядно-образной основе.

2.Формируя у младших школьников целостное представлениеогеометрическихфигурах,следуетидти от реальных предметов к их моделям и наоборот: от геометрических моделей к реальным предметам.

3.В основе усвоения учащимися свойств геометрических фигур лежат практические действия (моделирование,измерение,вычерчивание),атакжеприемы умственныхдействий(сравнения,классификации,обобщения,анализа,синтеза,абстрагирования).

Геометрический материал в начальных классах в отдельныйразделневыделяется,араспределяетсяпоследовательноповсемукурсуматематикиинепосредственносвязываетсясизучениемарифметическихвопросов.

Решение задач с геометрическим содержанием, использование геометрических фигур в качестве дидактического материала при обучении счету позволяетуточнитьгеометрическиепредставленияучащихся.

Развитию геометрических представлений способствуютметоды,используемыеприизученииэлементов геометрии: работа с моделями геометрических фигур, моделированиефигуризбумаги,палочек,проволоки,пластилина,черчениегеометрическихфигурнабумаге.При этомважно,варьируянесущественныепризнаки(цвет, размер,материал,положениенаплоскостиит.д.),подбиратьфигурытакимобразом,чтобыучащиесяподмеча- лиихобщиесущественныепризнаки(форма,геометри- ческие свойства и т.п.). Нужно следить за тем, чтобы учащиесяучилисьвыделятьвсесущественныепризнакигеометрическойфигуры,таккакэтоопределяетправильностьпредставленияоней.Например,изучаяпрямоугольник, они должны выделить два существенных признака этой фигуры: прямоугольник - это четырехугольник,укотороговсеуглыпрямые.

В школьном курсе геометрии от класса к классу

меняетсясистемаосновных(неопределяемых)геометри- ческихпонятий,причемвначальныхклассахонаболее обширна,чемвV-VIклассах.Поэтомумладшимшколь- никамнеимеетсмыслазадаватьтакиевопросы,как"Что такоетреугольник?"и"Чтотакоеокружность?"Ноони вполнемогутответитьнавопрос,сформулированныйв такойформе:"Чтотыможешьрассказатьотреугольнике?","Чтотыможешьрассказатьобокружности?"

Попытки ввести раннюю формализацию при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурамиприводитнетолькокзавышениюпрограммныхтребований,ноикнеправильномуусвоениюматериала, к появлению таких ошибок, когда учащиеся в квадрате не видят прямоугольника, относят к многоугольникам только пяти- и шестиугольники.

Вначальныхклассахприизучениигеометрическогоматериалаучащиесявыполняютпростейшиеклассификацииуглов(прямые,непрямые;тупые,острые,пря- мые),многоугольников(почислууглов-треугольники, четырехугольники,пятиугольникиит.д.),линий(прямые, кривые),кривыхлиний(замкнутые,незамкнутые).

Использование родовых и видовых понятий готовит детей к усвоению определений, построенных на указанииродаивидовыхотличий,например,усвоить, что всякий квадрат - это прямоугольник, что квадрат можноназватьипрямоугольником,ичетырехугольником,имногоугольником.

Ведущуюрольприизучениигеометрическогоматериала играют проводимые в системе практические работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей, с построениемизображенийгеометрическихфигур.При

этомнужнообратитьвниманиенаформированиеумениядаватьсловесноеописаниевыполняемыхдействий, умения применять (в рамках программы) принятую символикуитерминологию.

Учителюначальныхклассовследуетиметьввиду, чтополученныевначальныхклассахнавыкипостроенийиизмеренийсохраняютсяуучащихсянадлительноевремя.

Вначальныхклассахначинаетсяформированиепервоначальных представлений о точности построения и измерения. В первом классе дети должны овладеть навыками построения и измерения отрезков с точностью до1см.Приэтомнеобходимопостоянноследитьзаточ- ностьювыполнениянужныхдействий,заправильностью пользованиялинейкой,карандашом,чертежнымтреугольникомит.д.,предъявляяучащимсятакиежетребования, какиприформированиинавыковсчетаиписьма.

Формирование чертежных измерительных навыков, которые играют важную политехническую роль, нужно проводить в системе, используя с этой целью нетолькоурокиматематики,ноидругихучебныхпредметов (трудового обучения, изобразительного искусства,природоведения).

Приизучениигеометрическогоматериалавозможноиспользованиеследующейсхемы:

•знакомствосфигуройнанагляднойоснове;

•распознаваниеданнойфигурысредидругихгеометрических фигур;

•распознаваниефигурвокружающейобстановке;

•конструирование фигуры из различных материалов(нити,проволоки,палочки,пластилина);

•вычерчивание фигуры на линованной и нелинованнойбумаге(графическоемоделирование);

•построение композиции с использованием даннойфигуры;

•преобразование данной фигуры в другие;

•выявление свойств фигуры.

Геометрическийматериалосваиваетсямладшими школьниками в ходе выполнения заданий, геометри- ческоеобобщениевыступаетввидерезультатарешения конструктивной задачи. В большей степени эта работапроизводитсянаинтуитивнойоснове,науровне осмыслениячерезощущения,таккакпрактическаядеятельностьчащеиспользуетинтуицию,догадку.Такая практическая деятельность будет способствовать развитию "геометрического чутья", "геометрического видения",геометрическогопространственногомышления.

Значительноеместоприизучениигеометрическогоматериалазанимаетприемсравненияипротивопоставления.

Например.Задание:сравнитьфигурыначертежах:

Выполнениезаданияа)поможетучащимсяпонять, чтоквадратявляетсяпрямоугольникомиэтафигура- частныйслучайпрямоугольника.

Задание б) поможет подвести младших школьников к рассмотрению видов треугольников.

Достаточно эффективным приемом, который вызываеткачественныйсдвигвпроцессеформирования геометрических представлений, является использование отношений взаимного расположения фигур для установленияихсвойств.

Например.Задание:показатьотрезки,пересекающиесяспрямой.

Выполнение этого задания поможет убедиться в конечностиотрезкаибесконечностипрямой.

Одним из главных аспектов обучения геометрии вначальнойшколеявляетсяподготовкасамогоучителя.Учительдолженбытьтворческойличностью,четко пониматьцелиизучениягеометриившколеи,вчастности,вначальныхклассах,обладатьзнаниями,соответствующими этим целям.

Учительначальныхклассовдолженучитывать,что первыепредставленияоформе,размерахпредметов,взаимном расположении предметов в пространстве дети получаютещевдошкольныйпериодипоэтомунеобходимоопиратьсянаимеющийсяопытдетей,уточнятьи обогащатьихпредставленияогеометрическихфигурах.

Выделим задачи изучения геометрического материала в начальном курсе математики.

• Развитиелогическогомышленияучащихся.Привитие элементарных навыков определения понятий.

•Развитиепространственноговоображениямладшихшкольников.

•Ознакомление учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями.

•Формирование у младших школьников четких представленийобосновныхгеометрическихфигурах.

•Формирование умений и навыков в выполнении и построении чертежей с помощью геометрическихинструментов:линейки,циркуля,транспортира,чертежного треугольника.

•Формирование представлений о точности построений и измерений.

•Формированиеуменийинавыковизмерениягеометрических величин.

•Развитиетворческойактивностиисамостоятельностимладшихшкольников.

Успешная реализация этих задач позволит накопить,углубитьзапасгеометрическихпредставленийу младшихшкольников,чтовпоследующемподготовит их к качественному усвоению геометрического материала в среднем звене (V-VI кл.) и к изучению систе- матическогокурсагеометрии(VII-XIкл.).

Методика ознакомления младших школьников

с некоторыми понятиями геометрии

Геометрическийматериал,изучаемыйвначальных классах,включаеттакиепонятия,какотрезок,прямой инепрямойугол,треугольник,четырехугольник,прямоугольник (квадрат), многоугольник. Знакомство сэтимифигурамиосуществляетсянауровнепредставлений.Ученикидолжнынаучитьсяузнаватьгеометри- ческиефигуры,выделятьнекоторыеихсвойства,изображатьфигурынаклетчатойбумаге.Длярешенияэтих учебныхзадачиспользуютсяразличныепрактические упражнения.Приихподбореивыбореметодовиприемов работы с ними учитываются подходы к определениюгеометрическихфигур,имеющиеместовшкольном курсе геометрии.

Рассмотрим методику ознакомления младших школьников с некоторыми понятиями геометрии.

Точка

Младшие школьники знакомятся с данной фигурой с первых шагов обучения в школе. Например, задание:"Отступитеотверхнегоуглатетрадивнизна2 клеточки,поставьтеточку".

Данноепонятиеформируетсянанагляднойоснове. Например, взять иглу и проткнуть ею в заданном местелистбумаги,далеепредложитьрассмотретьслед иглы. При этом можно сказать, что он дает представление о точке.

"Как можно изобразить точку на доске?" Многие дети сообразят и с помощью мела поставят точку на

доске."Акакможноизобразитьточкунабумаге?"Дети предложат карандашом (ручкой) прикоснуться к листубумаги.Затемониучатсяставитьточкивтетради.

Важноотметить,чтоточка-этоосновнаяфигура. Любую другую фигуру можно рассмотреть как множество точек. Предложить детям придумать рассказ, сказку, стихотворение о точке. Учитель может подобрать стихи о точке.

Вдальнейшемучащиесяузнают,чтоточкимогут называтьсяпо-разному:вершина,точкаотсчета.Позже познакомятся с обозначением точек.

Учительдаетобразецобозначенияточекнадоске иобъясняет,чтоточкипринятообозначатьбольшими буквамилатинскогоалфавита.

B

D

A C

Далее предлагаются упражнения в чтении, обозначении,записиточек.

Учительможетдобавить,чтодревнегреческийгеометрЕвклид(показатьпортретЕвклида)говорил,что "точка - это то, что не имеет частей". Мы будем говорить,чтоточканеимеетразмеров,ивсякийоченьмаленький по сравнению с рассматриваемым предмет будемсчитатьточкой.Так,точкойявляетсяотверстие, оставленноеиглойнаповерхностибумаги,самолет,летящий высоко в небе, город на географической карте или наша планета в Солнечной системе.

Линия

Чтобы дать младшим школьникам представление о линии как о границе поверхности предмета, можно проделать следующий опыт: опустить полоску плотнойбелойбумагивчернила;чернилаок- расят одну часть полоски, другая же ее частьостанетсябелой(рис.);границейокрашенной и неокрашенной части будет некотораялиния,котораяпринадлежиткак бы обеим частям полоски и в то же время не принадлежит ни той, ни другой. Разъясняется,чтолинияимеетлишьодно

измерение-длину.

Представление о линии можно дать различными способами, но всегда нужно обратиться к опыту уча- щихся,ихвоображению.Например,так:

– Ктоизваснаблюдалзалетящейптицей?Ееслед дает представление о линии. А кто покажет перелет птицысдереванатравку,илипадениелистасдерева, или падение книги со стола?

Надоскепоявляютсяразличныелинии(рис.).

Дети,рассматриваялинии,выделяютотличие.Учи- тельобобщает:"Всеэтолинии:прямые,кривые.Какие изнихпрямые,какиекривые?"(Учащиесяназывают.)

Представление о бесконечности линии можно полу- чить,работаясбольшимклубком.Учительобъясняет, чтолинию,нарисованнуюнадоске,можнопродолжить вправо и влево как угодно далеко. Но бесконечную линию на доске и в тетради изобразить невозможно. Мы будем чертить только ее часть, а подразумеваем, что она не имеет ни начала, ни конца. В математике говорят,чтолюбаялиниябесконечна.

Учительможетпредложитьрассмотретьситуацию: междудвумягвоздикаминадоскенатянутаверевка,а затем задать вопросы: "Представление о какой линии даетэтаверевка?Аеслиееослабить,топредставление о какой геометрической фигуре мы получим?"

Далеенужнопредложитьдетямпривестипримеры изокружающейжизни,дающиепредставлениеопрямой икривойлиниях.Детинаходятпрямыеикривыелинии вобстановкекласса,вначертанияхбукв.Затемможно предложить поработать с листом бумаги (согнув лист, рассмотреть,какаялинияполучитсяприсгибе).

Вводятсятермины"прямаялиния","криваялиния", вывешиваются словарные карточки. Учитель обращаетвниманиенато,чтолинияявляетсяосновнойфигуройисостоитизмножестваточек.Затемдетиучатся проводить линии в тетради, изображать их на доске, учатсяотличатьпрямуюлиниюоткривойнарисунках, иллюстрациях,дорожках,лабиринтах,учатсяузнавать прямую линию, начерченную на плоскости в любом положении,учатсяпроводитьлинииприпомощиинструментов.Впроцессевыполнениязаданийвпроведении линий через точки младшие школьники учатся наблюдать,подмечатьзакономерности,обобщать.Учи- тель предлагает поставить точку и выяснить, сколько прямых, кривых можно провести. При ответе на воп-

рос дети учатся говорить так: "линия проходит через точку", "линия не проходит через точку", "точка принадлежитлинии","точканепринадлежитлинии".Для закрепленияизученногоматериаламожнопредложить такие типы заданий:

1) проведите разные прямые (кривые) через данные точки:

2)проведитепрямую(кривую)так,чтобыонапроходила через точку А и не проходила через точку В:

A

B

3) покажите прямые и кривые линии на моделях геометрических фигур (при этом используются плоские и объемные фигуры).

Далееучительпредлагаетпоставитьдветочкии выяснить,сколькопрямых(кривых)черезнихможно провести,азатемподмеченныезакономерностиобобщаются. Для закрепления можно предложить такие задания:

1) проведите прямые (кривые) через 2 точки:

B

A E M D

2) проведите прямые (кривые) через точки А и В так, чтобы они пересекались в точке О.

B

A

O

3)проведитепрямые(кривые)через2точкитак, чтобыоднаизнихлежаланалинии,адругаянет.

Далее можно предложить рассмотреть кривые линии и по определенному признаку разбить их на группы (замкнутые и незамкнутые линии). Из кусоч- ков проволоки предложить детям изготовить модели линий,напартерасположитьпрямуюлиниюгоризонтально,вертикально,наклонно.

В процессе такой деятельности у младших школьниковформируетсяобобщенноепредставлениеолинии.

Отрезок

Далее,наследующемзанятии,учащиесяподруководством учителя туго натягивают веревочку. Учитель предлагает отрезать часть веревочки и показать ее в натянутомвиде.Обращаетсявниманиенато,чтоонаимеет началоиконец.Учительсообщает,чтоэтучастьпрямой называютотрезком(даетсясловарнаякарточка).

Учащиеся чертят в тетрадипрямую,ограничи- вают ее с двух сторон точками: часть прямой между двумяточкамипроводятцветнымкарандашом(надоске - цветным мелом).

Еще раз уточняется, что часть прямой, расположеннуюмеждудвумяточками,называютотрезком,рас-