Математический анализ (числовые последовательности) (110

Задание 5. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {xn }. Следует ли отсюда, что a яв-

ляется пределом последовательности{xn }?

Задание 6. Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

Вариант № 5 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у

монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательности.

Задание 2. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.

Задание 3. Дайте определение бесконечно малой последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Дайте определение монотонно убывающей последовательности. Приведите примеры.

Вариант № 6 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у

монотонно убывающей, ограниченной снизу числовой последовательности.

21

Задание 2. Сформулируйте и докажите свойства пределов числовых последовательностей.

Задание 3. Дайте определение нижнего предела. Приведите примеры. Задание 4. Дайте определение невозрастающей последовательности. Приве-

дите примеры.

Задание 5. Пусть последовательность {| xn |} сходится. Будет ли из этого

вытекать, что последовательность {xn }будет ограниченной?

Задание 6. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

Задание 7. Будет ли последовательность {xn }, где xn = n sin(πn), n N, ограниченной

3n2

Задание 8. Докажите, что ∞ n2 +1 =3.

22

Избранные задачи

1. Пусть последовательность {xn } сходится и ее предел a > 0. Можно ли

из {xn } выделить подпоследовательность, все члены которой отрицательны? (не положительны?).

2. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {xn }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности {xn }? Что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности {xn }?.

3. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {xn }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности {xn }? Что последовательность {xn }является ограниченной?

4.Пусть последовательность {| xn |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность {xn }будет ограниченной?

5.Пусть последовательность {xn } сходится и М = sup {xn }, m = inf {xn }.

Докажите, что: либо n такое, что xn = M; либо k такое, что xk = m; ли-

бо n, k такие, что xn = M, xk = m.

6. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

7. Известно, что в некоторой окрестности нуля находится бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что последовательность является бесконечно малой? (бесконечно большой? ограниченной?)

8. Пусть последовательность {xn } сходится, а {yn } расходится. Докажите, что последовательность {cxn } сходится при любом c, а последовательности {xn + yn }, {xn − yn } расходятся. Постройте примеры, показываю-

щие, что последовательность {xn yn } может быть как сходящейся, так и расходящейся.

9.Покажите, что для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

10.Покажите, что для того чтобы монотонно убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

11.Верно ли утверждение «Если последовательность неограничена, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность»?

23

12. Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

13. Покажите, что если монотонная последовательность является неогра-

ниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. 14. Пусть последовательность {xn } такова, что ее подпоследовательности

{x2k }, {x2k +1}, {x3k }

ность {xn }будет сходящейся.

15. . Пусть x0 ≠ y0 . Постройте такую последовательность {xn }, из кото-

рой можно выделить две подпоследовательности {xnm }и {xnk }, одна из которых сходится к x0 , а вторая к y0 .

16. Постройте такую последовательность {xn }, из которой для любого ра-

ционального числа r можно выделить подпоследовательность {xnk }, сходящуюся к r.

17.Будет ли последовательность, удовлетворяющая условиям задачи 2, ограниченной?

18.Можно ли построить такую последовательность {xn }, из которой для любого действительного числа а можно выделить подпоследовательность

{xnk }, сходящуюся к а?

19.Покажите, что из любой ограниченной последовательности {xn } можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

20.Верно ли утверждение: «Пусть последовательности {xn } и {yn } тако-

вы, что при всех n выполняются неравенство xn ≤ yn .. Тогда, каковы бы ни

последовательности {xnm } можно выделить сходящуюся частичную под-

последовательность {xnmk }?

22. Существует ли такая последовательность {xn }, что из любой ее подпоследовательности {xnm } можно выделить неограниченную частичную подпоследовательность {xnmk }?

24

23. Существует ли такая последовательность {xn }, что из любой ее под-

последовательности {xnm } можно выделить как сходящуюся частичную

подпоследовательность, так и неограниченную частичную подпоследовательность?

{xn } можно выделить частичную подпоследовательность {xn mk }, сходя-

щуюся к x0 . Покажите, что исходная последовательность {xn } будет сходиться к x0 .

26. Верно ли утверждение: «Для того чтобы последовательность {xn }сходилась к x0 необходимо и достаточно, чтобы из любой подпоследовательности {xn m }последовательности {xn } можно выделить частичную подпос-

ледовательность {xnmk }, сходящуюся к

27. Пусть предел последовательности {xn }равен 0. Произвольным образом

выбираем из последовательности {xn } бесконечное число членов {yn }(так, что каждый член исходной последовательности может быть выбран не более

одного раза). Покажите, что предел последовательности {yn }равен x0 .

25

Литература

1.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа : учеб. для студ. вузов, обуч. по естественнонауч. и техн. направлениям и специальностям : в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев. – М. : Дрофа, 2003.

2.Сборник задач по математическому анализу / Л.Д. Кудрявцев [и др.] ; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Физматлит, 2003. – Т. 1 : Предел. Непрерывность. Дифференцируемость.

3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа : учеб. : в 2 ч. / Г.М. Фихтенгольц. – 4-е изд., стер. – М. : Лань, 2002.

26

Учебное издание

Составители: Скляднев Сергей Анатольевич, Писарева Светлана Вячеславовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (числовые последовательности)

Учебное пособие для вузов Издано в авторской редакции

Компьютерная верстка Е.Н. Комарчук

Подп. в печ. 31.08.2012. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ 829.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33

27