Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое описание магнитного поля плоского витка с током, расположенного вблизи границы раздела сред с различной магнитной проницаемостью (80

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

252.95 Кб

Скачать

☆

5'2009

Известия вузов. Электромеханика

УДК 621.313.013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПЛОСКОГО ВИТКА С ТОКОМ, РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД С РАЗЛИЧНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

В.И. Загрядцкий, Е. Т. Кобяков

Орловский государственный	Orlovsky State Technical
технический университет	University

Разработана методика определения силовых характеристик магнитного поля, порождаемог ским токонесущим витком, расположенным вблизи границы раздела двух сред с различной магни проницаемостью. Характеристики магнитного поля представлены в форме совокупности гарм ских составляющих.

Ключевые слова: плоский виток с током, магнитное поле, векторный потенциал, напряженность, индукция, гар монические составляющие.

A method ofdetermination of magneticfield characteristics is developed. The magneticfield is created flat coil in which current flows. The coil is located on the border of two environments having various mag permeability. The characteristics of the magneticfield are shown as a harmonic row.

Key words:flatcoil with current, magneticfield,vector potential, intensity, induction, harmonic components.

МАГНИТНОЕ поле, порождаемое пло ским токонесущим витком (рис. 1) в однородной изотропной среде, рассмотрено в [1], где для составляющих векторного потенциала и магнитной индукции получены аналитические выражения в замкнутой форме, содержащей эл липтические интегралы и логарифмические

функции.

Такая форма представления силовых ха рактеристик, как показали дальнейшие исследо вания, не всегда удобна для решения ряда задач, в частности, для описания магнитного поля вит ка, расположенного вблизи границы раздела сред с различной магнитной проницаемостью. В этой связи в [2] предложены аналитические зависимо сти для векторного потенциала в другой форме, а именно, в виде совокупности гармонических со ставляющих. Такая запись позволяет получить развернутые аналитические выражения состав ляющих индукции магнитного поля в двух сопря женных средах с различной магнитной прони цаемостью в форме, более удобной для расчетов.

При выводе составляющих векторного по тенциала Ар и Аа (рис. 1) были приняты следую

щие обозначения: р.о, Hi - абсолютная магнитная проницаемость среды, окружающей виток, и среды пространства по другую сторону границы раздела, соответственно; а, р, z - цилиндриче ские координаты точки среды, в которой подле жат определению характеристики магнитного поля; h - расстояние от плоскости витка до плос кости раздела сред; Ар, Аа - составляющие век торного потенциала в исследуемой точке среды.

Начало координат помещаем в точке О, лежащей в плоскости витка на пересечении на правлений его радиальных участков АВ и CD.

Задача состоит в отыскании аналитических выражений для определения составляющих век тора магнитной индукции в любой точке каждой из сред при следующих допущениях:

1)поперечные размеры проводников кон тура витка малы по сравнению с его размерами в плане;

2)каждая из сред является однородной и изотропной;

3)ток / витка может рассматриваться как постоянный или медленно изменяющийся во времени.

В.И. Загрядцкий,

Е.Т. Кобяков

5'2009

Y .

•

'••

1-4

-z

Рис. 1. К анализу магнитного поля плоского витка с током в двух средах

Тогда Ар

и Аа запишутся

[1] следующим

Обратим внимание на то, что коэффициен

образом:

ты при гармониках

в (Ш)-(П4); (П9), (П10);

А ~~ А +Лэ

' Лх -Ла

+Аа

(ПИ), (П12); (П13),

(П14) (см. Приложение),

(1)

представленные

сходящимися

рядами,

имеют

где слагаемые с верхним индексом / относятся к

неограниченное

число слагаемых. При их фор

мировании предусмотрена

возможность

анали

прямолинейным участкам АВ и CD, а с индексом

тического продолжения рядов с использованием

II - к дуговым участкам AD и ВС. Формулы для

матрицы биномиальных коэффициентов. В этой

вычисления

составляющих

векторного

потен

связи сокращения в числовых множителях сла

циала приведены в Приложении.

гаемых, образующих ряды,

целесообразно не

Согласно

известной

зависимости

[3] для

производить, так как в этом

случае число сла

составляющей

вектора магнитной

индукции,

гаемых рядов при необходимости легко может

перпендикулярной плоскости витка (рис. 1), имеем

быть увеличено на основе анализа их структуры

1_Н

и путем подбора соответствующих биномиаль

В , = - 2 - + -

(2)

ных коэффициентов, входящих в числители чи

др

р Эа

словых дробей.

Формулы

для вычисления

составляющих

В соответствии

с обозначениями,

указан

ными на рис. 1, сформулируем граничные усло

z-компоненты магнитной индукции приведены в

вия.

Приложении.

На границе раздела сред должны быть рав

Для окружной составляющей вектора маг

нитной индукции имеем

ны нормальные составляющие индукции (Вп ) и

касательные составляющие

напряженности (HJ

(3)

магнитных полей двух сред:

Г)7.

Г)7.\

я(0),

=я(1),

Формулы

для вычисления

составляющих

°п \z=h •в({\

(4)

а-компоненты вектора магнитной индукции

n t

|г=А

n t \z=h>

приведены в Приложении.

где верхние индексы указывают номер среды.

Радиальную составляющую

вектора

маг

Второе условие (4) представим в виде

нитной индукции находим аналогично

J_ ' а Ь=Л'

dz{4+A£)=BI+B?

(4)

Но

5(0),

(5)

Формулы

для вычисления

составляющих

(6)

радиальной компоненты вектора магнитной ин

Но

Dp \z=h~

=h-

дукции приведены в Приложении.

M-i

5'2009

Математическое описание магнитного поля плоского витка с током...

Заметим, что, как следует из структуры выражений (П9), (П10); (ПН), (П12) и (ШЗ), (П14) (см. Приложение), содержимое квадратных скобок в каждом из этих выражений определяет ся лишь геометрией витка и координатами ис следуемой точки пространства, окружающего виток с током.

Вэтой связи при размещении витка с то ком вблизи границы раздела двух сред с различ

ной магнитной проницаемостью ц0 и Ui (см. рис. 1) значения компонент индукции магнитного поля

вкаждой из сред не могут быть найдены при учете только одного тока i. Для удовлетворения граничным условиям (4)-(6) требуется вводить в

рассмотрение фиктивные токи, что соответствует методу зеркальных отображений [4].

Всоответствии с этим методом магнитное

поле в среде с магнитной проницаемостью ц0 определяется суперпозицией поля заданного витка с током, расположенного в этой среде, и поля фиктивного витка с током той же направ ленности, но расположенного симметрично за данному витку относительно границы раздела сред [4]. При этом току / заданного витка соот ветствует фиктивный ток [4]:

	г = /Щ-Цо	(7)
	Hi+Цо	(7)
	Hi+Цо

Магнитное поле в среде с магнитной про ницаемостью Ц1 определяется суперпозицией поля заданного витка с током / и поля фиктивно го витка с током [4]

i = - / Hi-Но	(8)
Ш+Ио

противоположной направленности, расположен ного там же, где размещен заданный виток.

Граничные условия (4)-(6) при учете (7) и (8), как можно убедиться, приняв во внимание полученные выражения для Bz, Ba, Вр, удовлетво рены.

Окончательные выражения для состав ляющих вектора магнитной индукции принима ют следующий вид:

в(0) _ W	в;+^^в1,			z<h
4лр
в(0) _ W	*:+г'Ы±В>щ+Ho		а	,z<h;	(9)
4пр	*:+г'Ы±В>щ+Ho		а

B^=-^L(ZB;+Z'^^-B^				, z<h;	(10)
4лр\	И	щ+Цо

В	0). - J ^ - P *	2 Ц о ,z>h;
В	4тгр-В,	И-! +Ц0
(i)__M£		2ц0	, z>h;
В"> =4яр2^„ Hi+Ho			, z>h;
В"> =4яр2^„ Hi+Ho
	Ц,1	2Ц0	z>h.
* ? > = - 4лр2 Z 5 P ц,+ц0			z>h.
* ? > = - 4лр2 Z 5 P ц,+ц0
где Bz ,Ва	,Вр -	безразмерные суммарные

множители, определяемые по зависимостям, со держащимся в квадратных скобках выражений (П9), (ШО); (ПН), (П12) и (ШЗ), (П14), соответ ственно, с учетом (П8), (3) и (4); B'z ,B'a ,В'р - те

же множители, но определяемые при координате z', отсчитываемой от плоскости фиктивного вит ка с током i' навстречу оси z.

Следовательно, при вычислениях по фор мулам (9) и (10) z' принимает положительные значения (z' > h). Например, на границе раздела сред z = h и z' = h. Легко видеть, что при этом граничные условия удовлетворены.

Разработанная методика определения си ловых характеристик магнитного поля, порож даемого витком с током заданной конфигурации, предполагает применение ЭВМ для организации вычислительного процесса. На наш взгляд, она может быть полезна при анализе магнитного по ля в средах с различной магнитной проницаемо стью, в частности, при разработке расчетнотеоретических основ проектирования торцовых электрических машин, например, [5].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Составляющие векторного потенциала вы числяются по следующим формулам:

		sinasinO,5aT(-21n Rj(1						+	*j)
	; •	4л						VJ
	3	10		35	Д6)	126		W.
	—		, № - — i		а) '	а)' -... \+
	—			32		128	]
	2
+sin2asina,			J	3 J		16 J		64 J
			J	3 J		16 J		64 J
	210 (9)			+ sin 3a sin—aT				l-af -
	+	ay' +..				2 x		2	;
	256 J
5	(4)	21	(6)84		(8)	330		(,o)
— a) '		a)'		128	a)'	512		a)	'
8	;	32	J	128	J	512		;
+sin4asin2a„				Ia (3)+ Aa (5) + 28a(7)						+
				4 J	16 J			64	J
				v

В.И. Загрядцкий, Е. Т. Кобяков

5'2009

120	(9)				+ sin5asin—a. -l-af													-
256	7												V
													V
	7		( 6 ) _ _ 3 6 m											7=2
	7		( 6 ) _ _ 3 6 m																(П1)
— a i					128														(П1)
	32		7		128			7						7=1
			sinasin0,5ax -												C3			3 з
р ~ 4 я			sinasin0,5ax -									V 7				5		2 7
C5	10	5		C7			35		7		C9	126			9		"l
9	8	7		13			32		7		17	128			7		'") +
. . .							1 fC			2 2		C		4	4		4
+ s m 2 a s m a T							—	{	——E f			н —- —£, +
					T		r\j	{	3		J		7		4		7
3	15		6 +		Cg_56					8	Go			210			10	+
11	16		7		15		64			7	19			256			7
C12			792 c!2 \|					С 1 4 3 0 0 3 с , 4 \|
+ 23 1024					7			27		4096			7
			.	3			1		Ц		1	3		C ; 5			(
+sin3asin—a							4 5 2					;		9	8		7
				2			4 5 2					;		9	8		7
C7	21 7				C9		84			9		C„		330			n
+—'- —£,•+—-										e,+——							e'/ +
13	32		7		17		128			7		21		512			7
,Ci3			1 2 8 7 c i 3 \| C 1 5								5005 ci5
25			2048			7			29		8192			7	'"
+sin4asin2aT						1 IC4					1 4			C6		6		8 ,• +
+sin4asin2aT						лА			7		S ,- + — -							8 ,• +
						лА			7		4 7			11 167
	Cg_ 28£8+ C[o_ 220_£ю +
+ 15 64 J							19			256 7						+
				5			1		Cс		I i ,~5, ,			(^			/	7
+sin5asin — a . —									Cс		I i ,~5, ,			C7			7	„,-
				2 T r\|y ^ 9 8 y										13 32 y
CQ	36			9		Сц		165									7=2
CQ	36			9		Сц		165			,11			+..				;	(П2)
17			-£; +			21		512E y						+..				;	(П2)
17	128"7				'	21		512E y									Jy=i
																	Jy=i
	An		cos a sin 0,5a,									-21n Jt,(l+v y )
	An
_Ia(2)_Ia(4)_i_a(6)_Za														(8)_..Y
2	7		4	7			32		7			64		7			J
+cos2asinaT				a^P + - я ;						3 )	+ — a			; 5 )	+ — a f }				+
			4		7		2		7		16		7			32		7

		21		(9)				"l				,				•		3				(				1	(2)
	128							J	+ cos3asin—a.															— a ) ' -
	128			7				J										2		4					2		7
_lflw_i_e(«)_JLfloo_iLey«»)																													'+
	4	7				32		7		32					7			256					7						J
+cos4asin2a. leC3)+Ie(S)+JLeW +
									\*4			7					4		7					32			7
		3		f9")				^				.				.		«			f		444)-
		3		f9")				]				.				.		5
	—a,-					+... +cos5asin—.sin—aT
		16		J				j										2		T	V
																											7=2			; (пз)
	32		7				32	7		512						7				J										; (пз)
	32		7				32	7		512						7				J							7=1
																											7=1
									(1							_			3	з					_		10		5
		a		4u[a TTV; ;U\| - Ey, . + C 38- E7y + C 532— 7£y
n			35			7		_	126				9			~			462						и				>
+C7					£ + C Q						£ , + C , ,														£ ,+ .. .J
	7 128					7			512				7				и 2 0 4 8								J
										(								3		з				^		10		7	4	+
+cosasin0,5aTv,-																				y +					4 T			7		+
+cosasin0,5aTv,-												2+C,2—- eE,										C					£		.
									т	Ч								2		7
+	C		6 ^				+	C	8 ^ .					+ C 1 0 ^ E										1 0		-		J
		6	32			7		s	128			J					1 0		512512					J				J
										v . Y l														4		з
		+cos2asinaT — — £ , + G > — E , +
																								4		7
									T		2 U						7							9		7
											2 U													4
									64												•£•+.
									64				7					' 2^5 6*				е 7
			5	16			7	3 7 6 4v •7 (										1								5			+
	+cos3asin—aT									—					C,— s^+C,— et														+
								2	T	3				I,		2	2		7					4	8		7
+		C		6	^		+	C	8	^ .					+	C		1 0		^ s ' ° +
		6э	332			7		8128				7					10		512					7
										v /																			+
	+cos4asin2aT -^-												L				4 y							5167					+
									T	4			L				4 y							5167
	_		28		7		^		120			9				_			495						n
+Cn					£ • +Cq							E , + C n												£,•			+...
		7	64		7				256			7					"1024								7
				.			.	5		v				/
+cos5asin—ат ^^-																	8								32 7
								2	T	5			v			4	8		7						32 7
													v
																					+.					7=2
			8 128				7		1 0 512							7					+.								• (П4)
			8 128				7		1 0 512							7										7=1
																										7=1
При этом
	£y.=2v';У. л у ;								v y =
																														(П5)

Лу =" ^ЯiW+s '

5'2009

Математическое

описание магнитного поля плоского витка с током...

1.3-5,-(2/-1)

' 2-4-6-...-(2i)

64 v6

"~6

128 v7

" - \

n~\

b(m)

rW+—cW

+—Г( 9 )

=(_!)-' Ill l + 2 " » v ^

j»

,(П7)

"-1

й< =9

" - 2 +

3 C « - 3

1 + V , I

V ,•

v •

V •

где	«S^bf-l	c^ +1 i c,
где	«S^bf-l	2/7-1 2 v • 2/7-3
		'n-\

*§>=3	V	-L\c»_,! c^
	2/7-3 J 2/7-1-+-v.- 2/7-3
			j
	+	1	1 Сл-2
	+	4	v2 2/7-5
£>(4)=4	C "		2 v 7 . - 1 + 4v2 . ""2

4-U*>Ч я-З

^ } = 5 ci5)+^-cJ3+|-Lci?2+

v,-

v -

+ 2 v 3 И

1 6 v 4

" 4 ,

M?=6 C(6)+AJ_C(

+lid

2 v , " 4

2 v2

"_2

1 ль,

„,«

(6)

D J_r (6)

_£_ J_r

(6)

J_ J_r

A 3 n-3 u

4 ^ « - 4 • I - ,

5 % - 5

16 v4

M7)=7

3 . ( 7 )

cP+±cZ\+^±cil\

, v , w

» - 1 +

v 2

" " - 2 '

16 v 4

16 v5

n-6

M 8 )

• C(S)+ZJ_C(8)+21 L j )

ujn

2 Vj- " J

4 v2

+11

1 C(8)

+ 35

да

+ 21

1 C(8) +

3 "-;S

1 £

4 n - 4 - л

5 и-э

16 v

32 v^.

+15. J_r(9)

+1 i r ( 9 )

+— —r(9) +

8 v 4 "~4

4 v5 "-'

16 v6 ""6

+16

v 7

""7

256 v8

"-*

Причем

Г ( 4 ) _ с1 —

S^a=fi- *

Сn-l .

2/7-3J

2л-1

2n-5)

2/7-3

(4)

r-(4)

^ w - 3

^ я - 2

л-2

2/7-5

п-3

2n-l

ci5^

2п-Ъ -+-(2и-3)(2и-5)

C„

2и-1

r ( 5 ) -

3 ^ С,л-I

2«-5

2/7-3

c(5> = 1—

C„-2 .

и-2

2/7-7

2«-5

(5);

С л - 3

( 5 )

C,и-4

Cil , =^2=i- ; С

2/1-9

2л-7

Ci6>:

i-J2-

C„

( 2 / I - 3 ) ( 2 / I - 5 )

2/7-1

2/7-3

r ( 6 ) _ 1 ^—+

(2/7-5) (2n-7)

C,«-1

2/7-5

2/7-3

2/7-7

•-«-2

2/7-5

«-3

1—

C„_3 .

2/7-9J 2/7-7

Г>(6)

^ и - 4

r(6)

__ Cn-5 .

"-4~ 2/7-9'

" " 5 ~ 2 - 1 Г

Ci7> =

l--il-+

2/7-3

(2/7-3)(2/?-5)

C„

(2я-3)(2и-5)(2я-7)

2/7-1

Г ( 7 ) _

i-J5_+

\ Сn-l

2/7-5

(2/7-5)(2/7-7)

2/7-3

c(7), =

2/7-7

(2/7-7) (2/7-9)

0,-2

и-2

2/7-5

8		В.И. Загрядцкий, Е. Т. Кобяков		5'2009
р(7) _	с,	Г ( 9 ) _ 1-Л-+	15	и-З
	л-3 .		15	С,
2/г-9 J	2n-7	2/2-9 (2и-9)(2и-11)		2/2-7

						1		С,«-4
	cS=fi- 2и-11 2/2-9
	Си(V)-5			С,				rU)	С,
	Си(V)-5	_		^и-5	.			rU)	я-6
				2/f-ll					2/2-13
с?>=. i - * L					+			105
с?>=. i - * L					+	( 2 / I - 3 ) ( 2 / I - 5 )
				2/7-3		( 2 / I - 3 ) ( 2 / I - 5 )
				105					\ С„
	(2и-3)(2и-5)(2и-7)								2/2-1
	48)	1 - » - +						45
и	л - 1 ~	1 - » - +
				2/2-5 (2/г-5)(2/г-7)
				15					С,и-1
	(2и-5)(2и-7)(2и-9)								2/2-1
Г ( 8 ) _ 1-J5-+								15		С,л-2
		2/7-7 (2и - 7)(2и - 9)								2/2-5
(8) .	1 - 2/2-9- +(2и-9)(2и-11)									С,л-З
с:я-3	1 - 2/2-9- +(2и-9)(2и-11)									2 и - 7
	С<8> = 1					з ^ с,•-п-4
	-п-4			2/2-1U 2/2-9
				2/2-1U 2/2-9
	<®-Ы-п 2/2-11
									'л-5
						£-(8) __Сп-1
				2«-13	'			"	2и-15
с<" =			1--2L+					210
с<" =			1--2L+
				2/?-3 (2/2-3)(2/г-5)
				420
	(2я-3)(2«-5)(2«-7) +
				105					'	О,
(2/2-3)(2/2-5)(2/г-7)(2/2-9)										2/2-1
Г ( 9 ) _			1--2L+-					105
				2/2-5			(2/г-5)(2/2-7)
				105					Си-1
	(2/г-5)(2/2-7)(2/г-9)								2/2-3
			1—1£—н						45
	л-2		1—1£—н
	л-2			2/2-7 (2и-7)(2и-9)
				2/2-7 (2и-7)(2и-9)
				15					Л С,
									л-2
	(2и-7)(2/1-9)(2и-11)								2/2-5

' " п - 4 -	-+			^п-4 .
' " п - 4 -	-+	(2и-11)(2и-13) 2/2-9 '
2и-11		(2и-11)(2и-13) 2/2-9 '
Г ( 9 ) _			Л	С,
Г ( 9 ) _				и-5
		2и-13		2/2-11
Г ( 9 ) .			1	С.и-6
		2n-15J 2л-13
Г ( 9 ) _ С л - 7		. г ( 9 ) _ С„_
" " 7 " 2/2 - 15'			и - 8 _ 2 и - 17
Здесь коэффициенты С„, Сп.[, С„.г,... опре
деляются по (П6)	при		i=n,	и-1, п-2,..., причем
и=1,2,3,... .
В выражениях (Ш)-(П4) из содержимого
скобок при у' = 2	вычитается соответствующее
значение при j =	1. Количество слагаемых, вхо

дящих в (П7), при необходимости может быть увеличено.

Составляющую вектора магнитной индук ции определяем на основе выражений (1), (2), (П1НП4) при учете (П5)-(П7):

B^Bl+Bl1,

(П8)

где 577 =•

цг

cosasin0,5ax

-Л/Е

2Л;

1 + v,

4лр

+ф(?) +ф (4) + Ц

(6) +

(8) +

105

по) +

]

% ]

128

_ .

(з4)

(51

+cos2asinaJ -q>y — ф у '

16 q>j ' -

(7)

189

(9)

128

•

ф (2)+ 2ф (4)+ ^1ф (6)

+cos3asin—a

(g-\

450

по4)

256Y y

•

„

(si

4 9 (7-1

+cos4asm2aT

— ф \ - '

— ф \ '

ф\-' -

(9)

4 Y j

4 V j

32Y 7

•

[ 1

(4)

16 Ф/

-•

+ cos5asin—a J

—ф\-'

4 2

]

375

;=2

,(б)

,(8) .

,(Ю)

+ ..

; (П9)

ф ; + —ф/

Ф) '+...

256

|1рО) +

Зр(3) +

(5)

4яр

1 2

5'2009

Математическое описание магнитного поля плоского витка с током...

+ilp(7)+I26p(9)+i^p(n)+. ,+

128

*Л1

•>

ir\AQrJ

512

2048

^3„mf,

(2)

j(2)

+cosasinO,5aT 2РГ>-зС)

+10-P7(4) i-id4) +^P<,6>

;

128 J

1 - - C f

+cos2asmaT [-py (l - 2Cf }-

+ ip(3)(1 _C (3))+ Hp(5)f1 _2c (5)

8 7 *

7 -> 32 3 { 3 J ,

128Hy lv л J I

+cos3asin—a

T №

' i - ^ d 2 ) '

+AP(4)

•эуo(6) 'i-ic<6)'

1—Cy"(4)Y1' |+

8-3 7

32-3

128-3Hy I

+cos4asin2a,

-i-pf[i--d3)

4.4

+—p?

(7)

i - *d 7 > |+

164Hy

644 P>

+J20_p(9)fl_£c59>

2564H7

5 7

T d^Hc?\

+cos5asin—aT

+Л_р(б)Г!_^С(б)

32-5 '

3 6

p(8)

i - ^ c f

+-128-5

165

>(10)

ЧЮ)

7=2

(П10)

512-5PP11-jjC}"" |+.

У=1

При этом

P ^

^ . O

= 1,2,3,..);

- ^

dn)=-

(2n+l)(l-r\))-n

(и = 1,2,3,...);

;

Ф?>=П5

		/					1		1
							1		1
7	4		3v,1-+ 1 + v,+-
		V							( 1 - ; )
		V
	Ф( 3 ) _ ^ /				l + - v '
			3 I				2 }
1			35v3, + 15v..+								+
1		32 ^				1		J	1+v,
		32 ^				1		J	1+v,
									>
	+-(l + vy) -+-(l+ vy );
	(5)	Л / Г 63					4	I	2	ii
ф(«) =__!2-(23гИ + 105V3,- +35V , +
^j		96^									7
	5					5			4
+ 1 + v,			+ (l + vy) - + (l+vy)r +
				(Ы
	9 '429				6	,99		4	, 9	2	Л
< p f = ^			16	• v ° + — v > - v t + l
< p f = ^			16		y		8	J	2J
		10, 429-15 7						+	23113 5
7	128V						v	+			v,- +
	128V						J		Q		J
10511 3 35-9								35		1
+		v ,- +					v ,- +				+
	8		]		8		J	8 1 + v,-
	35		1				15		1
+ 8 (i-y)2 +							M^)3+
	5			1				1__
	2 ( l + V ; ) 4						(l+ v7 )5
(9)	л"(б435-17						8	429-15			6
7	9 I		16-72				;		48		J
	99-13				4	11 2			,Л
	+			V/+—V,-+l
		72			J	2 J

Окружные составляющие вектора магнит ной индукции определяются на основе выраже ний (3), (Ш) и (П2)

471 pz sin a sin 0,5a T \-2r\j +

10		В.И. Загрядцкш, Е. Т. Кобяков		5'2009
+ 2 ! 9 ( 2 ) + 4 . % ( 4 > + 6 - ^ p f		+	1287	13
			+-=^-С„е7+... -
2	32		2048	13ьу
2	32		2048

	+8.126			462		•-	^
	+8.126	ф(8) + 1 0 . ^ £ ф				у ' »	+
	128			512			у
+sin 2asin а. Ч"-Ч3>-5-£р?-
							16
	56		сп	„ 210		(9).	+
	64 Vy			256		у '
+sin3asin—aT				2-—ш^+4—Ф(Я +
			2 Ч	2	J		S J
+ 6 . 2 1 ф ( б ) + 8 . ^ 1 ф ( 8 ) + 1 0 . Н ф у о ) + . . ;
32 y			128			512
+sin4asin2a. / r - 3 . i 9 0 ) _ 5 . A 9 ( 5 ) -
			V 4 Y y				16	7
	_ 28		С7Ч	_, 120		tg\	\
	-7—ч>( /'-9					ФУ;-...
	64Yy			256 V7
+sin5asin—a.5 Мф(4)+6.2.ф(6)+
			2 т
	.i%W+10.i^y°)					+...V...		7=2
+8	.i%W+10.i^y°)					+...V...		;(ПП)
	128 J		512		7		J	y=i
								y=i
5ц =—			-ц	sinasin0,5a (e • +
	4n	p i L					v	'
3 ^ , 3		5	«	3 5 _ , 7			126 _ q
+-C,£ ,• +-C,e ,• +—C7e '• +								Cge, +
2	* J 4 5 у			3 2	7 у		1 2 g	У у
		+	^c„e"6		+...
			512	-и ;

-sin2asinaTr| • С2е2 + С4Е .• +—С6еу +

-sin4asin2aTri, —Cde4; + - Qe^ +
		1	Я4	J	8	J
64 8 J	256	I0	J	1024	12	7
-sin5asin—aTri> -C,E5I+—C1e] +
	2	T J			32
+	36	_. 9	165^		„
+	Cq8,-		+	C,,e/ +
	128	9 7	512 n		y
.belies"+'13°y ...I-...					7=2
.belies"+'13°y ...I-...						(П12)
2048					Jy=l
					Jy=l
Радиальные		составляющие				вектора маг

нитной индукции определяются на основе выра жений (3), (ПЗ) и (П4):

Bi^Ar cose

wv,sasin0,5a.(-2ri

4я p^L

(2)

+ 4

(

) + 6 - % ? )

._Z_<p<

2 T ;

4V y

32Vv

64^V

+i0.4L9yO)+.

256

+cos2asinaT	-ф,-	- 3 — Ф ^ - 5 — Ф ,				-
Ч	У	2	J		16 7
_7.JL9(7)-9.iL9«-.
32 7	128	J
3 / ^ 1			3		9
+cos3asin—a. 2-—ф^2)+4~-ф(.4)+6—ф(^-
2 \	2 J		8	J	32	J

+8.JL32 9Wy +i0.-Hq>(«>>256 7 +...JV

	/	i		i
64 8 J 256 10 7 1024 П }	+cos4asin2a.	-3—Ф^-5—ф,- -
64 8 J 256 10 7 1024 П }	Ч	4	;	4 V j

	3		Г1		5		_7.-1ф(/)-9.2ф^_..1+
-sin3asin—aTri, —C-,s3t					+—СсЕ5, +		32V j		16	J	J
	1	х	42	!	8	J

21„	7	8	4 ,	330_		и	r - 5	[ .	1	(4)	, 5	(6)
+—С7е • +			Соб ,• +		С, ,е / +		+cos5asm—aT 4		--ф\-' + 6—Ф, +
32 7	7	128	9 у	512	п	J	2	4	8	J	32	7

5'2009		Математическое описание магнитного поля плоского витка с током...								11
+8	.А	ф(в)+10	.2!ф(	10	>+.		У=2	- C O s 4 a s i n 2 a i . r \| £у 1	7
+8	.А	ф(в)+10	.2!ф(		>+.	+ ..	; (ШЗ)	8	-С,б1- +
	32		512			+ ..	; (ШЗ)	8	4	зсУ
							Jy=i

	4 * p 2 L-aTriyey-				3		3	7	- з
р	4 * p 2 L-aTriyey-				8	3	82		i J
	10	11	5	35		Н	7
	+	С<;е,+				2	С7е • +
	16	2	5 J	128		2	7 у
		126	19^ 9			^

+Cq£,+...

			512	2	9		7		J
-cosasin0,5aTr]yEy\| 1+									3		5		2
-cosasin0,5aTr]yEy\| 1+												C2£j• +
10	9	4	35	1 3 ^			6	126				17 _		8
8	2	;	32	2					128			2	s	7
			462	21			ю
		+-512		—Cl f tьe" +
		+-512		2	10 7
-cos2asinaTTiy£y					1 3						4	7 . 3
-cos2asinaTTiy£y					4	•—Б,+					8	С,е,- +
					4		2	у			8	2	,pj-
	15		11_	5	56			15^				7
	32		2	7	128			2			7	7
			210	19 _			9
			512	—С2 09е,Ь 7- +
-cos3asin—aTri ,e,								x--c-2j2l +
			2		J	J		2		6
5	9 .	4	21	13 _		6			84			17 _		8
86	4	;	32	6	6	y		128				6	8	y
			330	21			10
		+ — • — C , n10eb'7" + . . .
			512	6

Поступила в редакцию после доработки

	6	И	5		28	15„	7	120	19
+	32	4	С«е,5 ^-'	+	128	4 С,-7еjt.j '•+		572	4	С„е,9 Ь-; '	+

		+i21^c„sV'11^; +..?
				2048		4
		<			• 5				1	9
	-cos5asin—aTri ,e,									•—Се14 У +
	-cos5asin—aTri ,e,								8	10	&
					2		] }
	^ Q	£ °			36	17.,		8		165	21
+	^ Q	£ °	у	+	128	10	О о8		; Н	512	'	O i n E ; ~Г
	32 10		у		128	10	8	J		512	10	у
	^ .			^		'1;2ьу				17=2		(П14)
	^ .			^	+	'1;2ьу						(П14)
		2048			10						7=1
											7=1

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т. Магнит ное поле некругового витка с током в однородной изо тропной среде // Изв. вузов. Электромеханика. 2000, № 4.

С.17-22.

2.Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т., Степа нов Ю.С. О формах представления векторного потенциала магнитного поля некругового витка с током // Труды чет вертой Всероссийской конференции «Необратимые процес сы в природе и технике», Ч. I. M.: ФИАН. 2007. С. 311-314.

3.Брынский Е.А., Данилевич Я.Б., Яков лев В.И. Электромагнитные поля в электрических маши нах. Л.: Энергия, 1979. 176 с.

4.Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей / Пер. с англ., М.: Энер гия, 1970 376с.

5.Патент РФ № 2290735. Двусторонняя торцовая асинхронная электрическая машина со встроенным тормоз ным устройством / В.И. Загрядцкий, Е.Т. Кобяков // Бюл. изобрет. 2006. № 36, 27.12.2006.

7 мая 2009 г.

Загрядцкий Владимир Иванович - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрооборудование и электроснаб^ жение» Орловского государственного технического университета. Тел. (4862)44-98-30.

Кобяков Евгений Тихонович - канд. техн. наук, профессор кафедры «Динамика и прочность машин» Орлов ского государственного технического университета. Тел. (4862)44-98-30.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]