Математический анализ (числовые последовательности) (110

Содержание

Введение.................................................................................................................

4

1.

Определение числовой последовательности..................................................

4

2.

Ограниченные числовые последовательности...............................................

5

3.

Точные грани числовых последовательностей..............................................

5

4.

Монотонные числовые последовательности..................................................

6

5.

Определение предела числовой последовательности.................................

10

6 . Свойства сходящихся числовых последовательностей.............................

11

7.

Бесконечно малые и бесконечно большие числовые

последовательности............................................................................................

11

8.

Частичный предел. Теорема Больцано – Вейерштрасса.............................

12

9.

Фундаментальные последовательности. Критерий Коши..........................

13

Варианты заданий, предлагавшихся на рубежных аттестациях....................

19

Избранные задачи ...............................................................................................

23

Литература...........................................................................................................

26

сел. Числа x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... (где xn

= f (n) ) называются элементами

(членами) последовательности, символ

xn –

общим элементом (членом)

последовательности, число

n – номером элемента.

Последовательность,

как правило, обозначают символом

.

Последовательности

{xn + yn },

{xn − yn },

{xn yn }, {xn / yn }

( yn ≠ 0) называются соответственно суммой,

разностью, произведением и

частным двух последовательностей

и

.

так и

бесконечным. Например, множество значений последовательности

{(−1)n }

состоит из двух чисел, 1 и -1; множество значений последователь-

ности

1

бесконечно. Последовательность, множество значений которой

x = a, xn = bxn−1 +c, n N , n ≥ 2;

x = a

1

,

x

2

= b

,

xn = (xn−1 + xn−2 ) / 2,

n N , n ≥ 3;

1

Последовательность

называют подпоследовательностью после-

довательности

, если есть такая строго возрастающая последователь-

ность номеров

, что для любого k N

yk = xnk .

2. Ограниченные числовые последовательности

Последовательность

ограничена снизу, если существует число C1

такое, что для всех n N ,

верно неравенство C1 ≤ xn . Число C1 называют

нижней границей последовательности

.

Последовательность

ограничена сверху, если существует число

C2 такое, что для всех n N , верно неравенство xn ≤C2 . Число C2 на-

зывают верхней границей последовательности

.

Последовательность

ограничена, если существуют числа C1 и

C2 такие, что для всех n N ,

верны неравенства С1 ≤ xn ≤ C2 .

Это определение равносильно следующему: последовательность

ограничена, если существует число C > 0 такое, что для всех n N ,

вер-

но неравенство | xn |≤ C , т.е.

C >0 n N : | xn |≤ C .

Последовательность

не ограничена, если для любого C > 0

най-

дется n N такое, что верно неравенство | xn |> C , т.е.

C > 0 n N : | xn |> C .

Аналогично формулируется определение неограниченной сверху (сни-

зу) последовательности.

3. Точные грани числовых последовательностей

Число m называют инфимумом (точной нижней гранью) множества

членов последовательности

(записывают inf {xn }= m ), если:

членов последовательности

(записывают

), если:

1)

n N xn ≤ M ;

2)

ε >0 n N : xn > M −ε.

5

Член xn0 последовательности

называют наибольшим членом по-

следовательности

(соответственно наименьшим), если xn ≤ xn0 (соот-

ветственно

xn ≥ xn0 ) для любого n , и обозначают его max

(соответ-

ственно min

).

Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности

называют также максимальным членом последовательности

(со-

ответственно минимальным).

(соответственно min

Если существует max

), то

=

max

(соответственно inf

= min

).

Из существования

(соответственно inf

) не следует су-

ществования max

(соответственно min

).

4. Монотонные числовые последовательности

Последовательность

называют возрастающей (неубывающей),

начиная с номера n0 ,

если для любого n ≥ n0 ,

n N , верно неравенство

xn+1 > xn (xn+1 ≥ xn ).

Последовательность

называют убывающей (невозрастающей),

начиная с номера n0 ,

если для любого n ≥ n0 ,

n N , верно неравенство

xn+1 < xn (xn+1 ≤ xn ).

начиная с номера n0 , последо-

Невозрастающую или неубывающую,

вательность называют монотонной, начиная с номера

n0 (возрастающую

Примеры с решениями

:

Пример 1. Дана формула общего члена последовательности

(−1)n n +10

n

1)

; 2)

,

a >1.

n2 +1

n

a

(−1)n n +10

≤

(−1)n n

+10 = n +10 и

n2 +1 > n,

то

= (−1)n n +10 ≤ n +10 =1 +

xn

10

≤11,

n2 +1

n

n

что и означает ограниченность последовательности {xn }.

n

2) Очевидно, что если a > 0 , то для всех n N имеем

> 0 .

n

a

Так как

a −1 > 0 , то, применив неравенство Бернулли, получим, что

для всех n N выполняется an

= (1+ a −1)n ≥1 + n(a −1) ≥ n(a −1),

откуда

n

≤

1

.

n

a −1

a

n

1

Таким образом, для всех n верны неравенства

0 <

≤

, т.е. по-

n

a

−1

a

1) {ncos πn }; 2)

3

1002 −n

.

n −10

Решение. 1) Если

n = 2k , то cos2πk =1 и x2k = 2k . Пусть C –

x

=

n3

100/ n3 −1

= n

100/ n3 −1

.

n

n2

1

−10/ n2

1−10/ n2

7

Если

n ≥ 6, то

1003

< 1

и 1−

1003

> 1 ;

но так как

0 <1 −

102

<1,

то

n

2

n

2

n

100

(1−

)

1/ 2

= n .

xn

= n

n3

> n

10

1

2

(1−

)

n2

C возьмем

n > 2C

Для произвольного положительного числа

(на-

пример, n =[2C] +1 ); тогда

x

> n > C

, и, значит, данная последова-

n

2

тельность не ограничена.

xn+1

5n+1 n!

5

Решение. Рассмотрим отношение

=

=

. Очевидно,

xn

(n +1)!5n

n +1

что при n ≥5 выполняется неравенство

xn+1

≤ 5 <1, и, значит, xn+1 < xn

xn

6

стей:

1

n +1

sin(nπ/ 2)

n

n−1 n +

1

1)

; 2)

; 3)

; 4)

(−1)

; 5)

3

2

n+1

n

2

n

2n +1

n

+1

зу):

1

1

1

1

1

1

1)

1,

,

,

,…; 2) 1,

,

,

,…;

32

52

72

1 2

1 2 3

1 2 3 4

7

1

6

3)

1, 2 14 , 2 9

, 3

, 3

,...; 4) 2, 10, 26, 82, 242, 730,...;

16

25

5)

-1, 1, -1, 1, -1,....

8

3)

1,

!

; 2)

; 4)1,

3;

;

1)

1,

2,

3

5)

+

1

Задача

1,

.

4. Выяснить, какие из чисел a, b являются членами последова-

тельности

, если:

xn =5 32n−3 ;

1)

a =1215,

b =12555;

2)

a = 6, b =8; xn = n2 +32n −n ;

3)

a = 6,

b =11;

xn = (n2 +11)/(n +1);

4)

a = 248,

b = 2050;

xn

= 2n −n .

Задача 5. Является ли последовательность

подпоследовательно-

стью последовательности

, если

1)

xn = n, n N;

а) yk = k 2 +1, k N; б) yk = k 2 −4k +5, k N;

2)

xn = 2n, n N ;

а) yk = 2k , k N; б) yk = 2(k +(−1)k ), k N;

3)

xn =1/ n, n N;

а) yk

=1/(k −cosπk), k N ; б) yk =1/(3k −cos πk ),

k N .

Задача 6. Какие из последовательностей являются ограниченными:

n

n

1)

(−1)

; 2) {2n}; 3) {sin n}; 4) {(−1)n+1 n}; 5)

; 6)

{ln n}.

n

n

+1

Задача 7. Доказать ограниченность последовательностей:

1)

2n2 −1

1 −n

n −(−1)n

n2 + 4n +

8

2 +n

2

; 2)

n2 +

; 3)

; 4)

2

;

1

3n −1

(n +1)

5n6 +6

5)

(n4 +1)(n2 −1)

.

Задача 8. Доказать неограниченность последовательностей:

1) {(−1)n n}; 2) {n2 −n}; 3) {(1 − n)/ n}; 4) {n + (−1)n n};

5)

{n(−1)n }; 6) {(1 − n)sin( πn / 2) }; 7) {n3 /(n2 +1)}; 8) {(n −n4 )/(n + 2)3 }.

9

n +1

3n + 4

100n

n2 + 24

1)

;

2)

;

3)

; 4) {n3 −6n2 }; 5)

n +1

;

2

+16

2n −1

n + 2

n

n3

n2

1−n

{

3n −2}; 10) {

n +1};

6)

;

7)

;

8)

; 9)

n + 2 −

2

3

+32

n

−3

n

n

11) {3

n3 −1 −n}; 12) {

n2 + n −n};

n2+1

n

2−3

13)

; 14)

.

n +

7

n

+

1

Задача 10. Доказать, что данные последовательности убывают, начиная

с некоторого номера (своего для каждой последовательности):

1) {n / 4n }; 2) {(3n +1)2 / 3n }; 3) {n3 / 2n }; 4) {n1/ n }.

5. Определение предела числовой последовательности

Число a называют пределом последовательности

, если для каждо-

го

ε > 0

существует такое натуральное число n0 , что для любого n ≥ n0

верно неравенство

xn −a

< ε.

Используя логические символы данное оп-

ε >0 n0

n ≥ n0 :

xn −a

<ε.

На «языке окрестностей» определение звучит так: число a называют

пределом последовательности

, если для каждой ε -окрестности точки

последовательности.

Если

a – предел последовательности

,

то пишут

∞

(либо

→ при

→∞ ),

а саму последовательность

называют схо-

дящейся.

Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.

Число

a

не

является

пределом

последовательности

(записывают

∞

), если существует такое число

ε > 0 , что

для любого натурального n0

найдется номер n ≥ n0

такой, что

xn −a

≥ ε,