Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ (числовые последовательности) (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

382.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

ε > 0 n0 n ≥ n0 : xn −a ≥ ε;


или	∞	, если существует такая окрестность точки a, вне которой
находится бесконечно много членов последовательности			.

Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом, другими словами, если для любого числа a существу-

ет такое число ε > 0, что для любого натурального n0 найдется номер

n ≥ n0 такой, что xn −a ≥ ε, или

a ε > 0 n0 n ≥ n0 : xn −a ≥ ε.

6. Свойства сходящихся числовых последовательностей

1)Сходящаяся последовательность является ограниченной.

αсуществует∞

	∞		и		∞		∞
							∞
3)	Если существуют		∞	и		∞	, то
а)	существует	∞	·	и			;
б)	существует ∞	∞		и∞	·	∞	;
	∞	·		∞	·	∞	;

в) если к тому же для любого n выполнено то существует

0 и

∞

4)	Если	⁄	∞	и	∞ ⁄		, иlim		⁄ lim		.
	∞			и	∞			∞		∞	.
							для всех n, начиная с неко-
торого, выполняется неравенство							, то		∞	. Это свой-
ство называют леммой «о двух милиционерах».
5)	Если		∞		, и для всех n, начиная с некоторого, выпол-
няется неравенство					( или	), то		(или	).
6)	Если		∞		(или	∞		), то для всех n, начиная
с некоторого, выполняется неравенство							(или		).

7. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

Сходящаяся последовательность, предел которой равен нулю, называ-

ется бесконечно малой.

Теорема. Для того, чтобы число а было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы для всех п

xn = a +αn ,

где	-- бесконечно малая последовательность.
Последовательность					называют бесконечно большой, если для ка-
ждого	ε > 0 существует		такое натуральное число n0 ,					что для любого
n ≥ n0	верно неравенство			xn	> ε, и в этом случае пишут

					∞	∞.
Бесконечно		большая	последовательность				имеет пределом ∞
(соответственно		∞), если для каждого ε > 0					существует такое натураль-
ное число n0 , что для любого n ≥ n0						верно неравенство		(соответст-
венно	). Этот факт записывают так:
		∞	∞ (соответственно				∞	∞).

Во всех рассмотренных случаях говорят, что последовательность име-

ет бесконечный предел.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограни-

ченной.
8. Частичный предел. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Если	подпоследовательность		последовательности			имеет
конечный или бесконечный предел			∞	, то а называют частич-
ным пределом последовательности
Если	∞	, где а конечный или бесконечный предел, то лю-
бая подпоследовательность			последовательности		имеет тот же

предел.

Теорема (Больцано – Вейерштрасса). Любая ограниченная последова-

тельность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел ∞ или ∞. Таким образом, множество частичных пределов любой последовательности не пусто.

Пусть L – множество частичных пределов последовательности

(наряду с	числами L может содержать и значения ∞ и ∞).		Верхним
(нижним)	пределом последовательности	называют sup L (	inf L ), и

обозначают его ∞ ∞ .

Верхний и нижний пределы последовательности являются ее частичными пределами.

9. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши

Последовательность называют фундаментальной, если для каждого ε > 0 существует такое натуральное n0 , что для любых натуральных

n, m ≥ n0 , верно неравенство xn − xm <ε.

Используя логические символы данное определение можно записать в

виде

ε >0 n0 N n, m N n, m ≥ n0 : xn − xm <ε.

Сформулированное утверждение называют условием Коши. Это же условие можно сформулировать и так: для каждого ε > 0 существует такое нату-

ральное n0 , что для любого натурального n ≥n0 и любого натурального р

верно неравенство xn+p − xn < ε.

В символической записи определение выглядит так

ε >0 n0 N n N n ≥n0 p N : xn+p −xn <ε.

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Для того, чтобы последовательность не имела конечного предела, необходимо и достаточно, чтобы она не удовлетворяла условию Коши, т.е. удовлетворяла отрицанию условия Коши: существует такое ε >0 , что для

любого натурального n0 найдутся такие натуральные n, m ≥ n0 , что

xn − xm ≥ ε, или в символической записи:

ε > 0 n0 N n, m N n, m ≥ n0 : xn − xm ≥ε.

Примеры с решениями

Пример 1. Используя определение предела числовой последовательно-

сти, доказать, что число 1 является пределом последовательности

, где

xn = n /(n +1)

(n =1, 2, 3,K).

xn −1

Решение. Рассмотрим модуль разности

−1

n +1

Возьмем произвольное число ε>0 . Неравенство

xn −1

< ε будет вы-

полнено, если

1 /(n +1) < ε , т.е. при n >1/ ε −1. Пусть A натуральное число,

удовлетворяющее условию

A >1/ ε−1,

тогда 1/(A +1)< ε и для всех

n ≥ A выполнены неравенства

−1

≤

< ε.

A +1

Это и означает, что предел рассматриваемой последовательности равен 1. Пример 2. Используя определение предела числовой последовательно-


сти, доказать, что		∞	1 n3	0.
Решение. Так как 3				> n для любого n N , то
Пусть ε > 0,				(1/ 3)n −0		=1/ 3n <1/ n .
				(1/ 3)n −0		=1/ 3n <1/ n .
		выберем натуральное A такое, что 1/ A <ε. Тогда для
любого n ≥ A имеем					(1/ 3)n −0
						<1/ n ≤1/ A < ε .
						<1/ n ≤1/ A < ε .
Значит, ∞	1 3			0.

Пример 3. Используя определение предела числовой последовательно-

сти, доказать, что последовательность {(−1)n +1/ n }расходится. Решение. Нужно доказать, что никакое число не является пределом

данной последовательности.

Рассмотрим любые два соседних члена последовательности. Из этих

членов один имеет четный номер n = 2 k , и x2k =1 +1/(2k )

>1.

Соседний член имеет нечетный номер 2k +1 (или 2k −1 ), и

x2k +1

= −1 +

< 0

(или x2k −1 = −1

≤ 0 ).

2k +1

2k −1

Очевидно,

что

xn − xn+1

>1 .

Следовательно,

данная последователь-

ность не удовлетворяет условию Коши.

Пример 4. Доказать, что последовательность {(n2 −10)/ n }расходится. Решение. Докажем, что данная последовательность не ограничена.

Имеем

xn = n −10 / n ≥ n −10 .

Пусть С – произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное число n0 >C +10 , тогда xn0 ≥ n0 −10 > C . Это означает, что

последовательность {(n2 −10)/ n }не ограничена, и поэтому расходится.

5n3 −3n2

Пример 5. Найти ∞ n3 +1 .

Решение. Преобразуем формулу общего члена последовательности:

5 −3 / n

1 +1/ n3

Учитывая, что {1/ n}и {1/ n3 }– бесконечно малые последовательно-

сти, и используя теоремы о пределах, получаем

lim

5 −3 / n

lim(5 −3 / n)

= 5.

n→∞

1 +1/ n3

lim(1 +1/ n3 )

n→∞

Пример 6. Доказать, что

(5n / nn )= 0 .

Решение. Для

всех n ≥15

верно неравенство

5 / n ≤1/ 3, поэтому

0 < (5 / n)n ≤ (1/ 3)n

при

n ≥15 .

Здесь слева и справа стоят члены беско-

нечно малых последовательностей. Значит, по лемме «о двух милиционерах»

	(5 n / n n )= 0 .
Пример 7. Найти	( n2 +n −n).

Решение. Преобразуем формулу общего члена последовательности:

n	2	+ n −n =	( n2 + n −n)( n2 + n + n)	=	n		=		1
n		+ n −n =	n2 + n + n	=	n2 + n + n		=		1 +1/ n +1 .
Поскольку			(1/ n)= 0 , то
			( n2 +n −n) =		1	=		1 .
Пример 8. Для последовательности				1 +1/ n +1				2
Пример 8. Для последовательности
			xn = (3cos (πn / 2)−1 )n +1		, n N,
			n

найти	множество частичных пределов, ее верхний и нижний пределы, а
также	и inf {xn }.

Решение. При n = 4k имеем

xn = 2nn+1 = 2 + 1n ,

и, значит,

x4k = 2,

2 < x4k

≤ 2 +1/ 4 , причем x4

= 9 / 4 .

При n = 4k +1 или n = 4k +3

имеем

−n +1

= −1+

1 ,

−1 < xn

< 0,

и, значит,

∞ 4

∞ 4 3

При n = 4k +2 имеем

−4n +1

1 ,

= −4 +

значит, − 4 < xn < 0,

∞ 4

Таким образом, числа 2, -1, -4 являются частичными пределами данной

последовательности.

Рассмотренные четыре подпоследовательности

тельность4 , 4. Отсюда1 , 4

следует2 , 4

, что3

составляют вместе всю данную последова-

других частичных пределов последователь-

ность не имеет.

Очевидно,

Из предыдущих рассмотре-

ний следует также, что∞

∞4

9 4,inf. {xn }= −4 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Доказать, что следующие последовательности являются бесконечно малыми:

xn =1/ n; 2)

= a / n , где a R; 3)

(−1)n+1

;

xn = 2 +(−1)n ;

1+(−1)n

xn =

; 6)

xn =

1 sin

πn .

Задача 2. Доказать, что:

n +b

=1,

где b R; 2)

; 3)

;

∞ n

∞ 2n +1

∞ 2n −1

− n

= −1;

n2 +2

1 =1;

= 0 , где p ≥1.

∞ 2

+ n

∞

∞ n

Задача 3. Доказать, что следующие последовательности являются бесконечно малыми:

n2 −1 ;

2n +3

≤1;

2n +1

sin n .

;

3) n3

(n +1)2n

Задача 4. Доказать, что следующие последовательности являются расходящимися:

}; 2)

{n};

πn

{sin n};

πn

(−

sin

;

cos

1) {

n +1

Задача 5. Найти пределы следующих последовательностей:

1 n

4 n+3

= 1−

;

= 1+

;

n +5

= n[ln(n +3) −ln n]; 5)

xn = n[ln n −ln(n + 2)];

6)xn = n −3 2

Задача 6. Найти пределы следующих последовательностей:

9 +

1 ;

8 −

−1/ 3

;

3 n

0,25

;

8n +1

xn = n +1

;

5) xn = n +1

;

6) xn = 3 n2 + n

;

n2 +

n2 + 2n

n + 2

xn =

+1 +

;

x = n2 −1 −n −1;

3 n3

+ n + n

n2 +n −

n2 −n; 10) xn

= 3

n3 +2n2

−n;

11) xn =

−

1 .

Задача 7. Найти пределы следующих последовательностей:

xn =

9 + n /(n +1)

;

2) xn =

3 +0,5n

;

3) xn =

;

0,3

n+1

2 +1/ n

3n + 2

2 −n

n 2

−n

n −1

xn =

; 5) xn

;

6) xn

+ 27

;

n +1

n +2

−15

xn =

(n +5)3 −n (n +7)2

;

xn =

n2 +1

−

3n2 +1;

2n +1

6n +1

xn =

(−1)n +1/ n

;

10)

;

1/ n

−

5 +3

n+1

(−1)

11)

1+2 +K+n

− n

;

12)

x =

2n+2 +3n+3

;

n +2

2n +3n

13)

5 2n −3 5n+1

100 2n +2

Задача 8. Найти пределы следующих последовательностей, если фор-

мула общего члена последовательности имеет вид:
	(n +1)4 −(n −1)4						; 2)	(n2 +3n + 4)3 −(n2 +3n −4)3
1)									;
	(n2 +1)2 −(n2 −1)2
								(n2 +5n +6)3 −(n2 +5n −6)3
3)	n2	−		n3		; 4)	n2 +1 − n2 −1; 5) 3 n +1 −3 n −1;
	n +1		n	2	+1

6) (n +2)(n +1)− n (n −1); 7) 3n 8.

Задача 9. Доказать, что следующие последовательности являются бесконечно большими:

;

n +8

−

>1,

k N.

; 6)

2 ;

, где

1−

Задача10. Найтивсечастичныепределыследующихпоследовательностей:

(−1)n

1−n3

4) {(−1)n };

n +1

;

+n2

;

n +5

π n

sin

;

n cos

5) {3(−1) n }; 6)

Задача 11. Найти верхние и нижние пределы последовательностей:

		πn							n 2n +				1										2		πn				n
		πn							n 2n +				1										2		πn
	cos		;					(−1)							;			1,5cos											;
1)		3			2)						n					3)									3
1)		3			2)						n					3)									3
	{xn }
4)		=	1,	1		,		2	,K,	9	,	1		,		2		,K,		99		, K,			1		,		2		, K,	10n −1		, K .
		=	1,			,			,K,		,		2	,			2	,K,			2	, K,				n	,			n	, K,		n	, K .
				10			10		10		10		2		10		2		10		2			10		n		10		n		10	n
				10			10		10		10				10				10					10				10				10

Варианты заданий, предлагавшихся на рубежных аттестациях

Вариант № 1 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему Больцано – Вейерштрасса о

существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной числовой последовательности.

Задание 2. Сформулируйте и докажите лемму «о двух милиционерах». Задание 3. Дайте определение ограниченной сверху последовательности.

Приведите примеры.

Задание 4. Дайте определение сходящейся последовательности. Приведите

	примеры.
Задание 5.	Пусть последовательность {xn } сходится и ее предел a > 0 .
	Можно ли из {xn } выделить подпоследовательность, все члены
	которой отрицательны?	{xn }, из
Задание 6.	Пусть x0 ≠ y0 . Постройте такую последовательность	{xn }, из
	которой можно выделить две подпоследовательности	{xn } и
	{xn }, одна из которых сходится к x0 , а вторая к y0 .	m
	{xn }, одна из которых сходится к x0 , а вторая к y0 .
	k
Задание 7.	Будет ли последовательность {xn }, где xn =3sin 4n, n N , ог-

раниченной?

Задание 8. Докажите, что ∞ n +1 =2.

Вариант № 2 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у

монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательности.

Задание 2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.

Задание 3. Дайте определение ограниченной последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Дайте определение неубывающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {xn }. Следует ли отсюда, что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последова-

тельности {xn }?

Задание 6. Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Задание 7. Будет ли последовательность {xn }, где			xn = (−1)n 3n2 +1	, n N,
ограниченной?			n
ограниченной?
	2n
Задание 8. Докажите, что ∞		=0.
Задание 8. Докажите, что ∞	n2 +1	=0.

Вариант № 3 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у

монотонно убывающей, ограниченной снизу последовательности.

Задание 2. Сформулируйте и докажите свойства пределов числовых последовательностей.

Задание 3. Дайте определение верхнего предела числовой последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Дайте определение монотонно возрастающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть последовательность {| xn |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность {xn }будет сходящейся?

Задание 6. Пусть последовательность {xn } сходится, а последовательность {yn } расходится. Докажите, что сумма этих последовательностей {xn + yn } расходится.

Задание 7. Будет ли последовательность {xn }, где xn = n cos( π2n), n N,

ограниченной?

cos n

Задание 8. Докажите, что ∞ n2 +1 =0.

Вариант № 4 Задание 1. Сформулируйте и докажите теорему Больцано – Вейерштрасса о

существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной числовой последовательности.

Задание 2. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела числовой последовательности.

Задание 3. Дайте определение ограниченной снизу последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Дайте определение бесконечно большой последовательности. Приведите примеры.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]