Измерение скорости звука в воздухе методом сложения колебаний (120
..pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
А.М. Кириллов, А.В. Новгородская, А.С. Романов
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СЛОЖЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ
Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики
Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53 ББК 22.3
К43
Рецензент С.В. Ладов
Кириллов А.М.
К43 Измерение скорости звука в воздухе методом сложения колебаний : метод. указания к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики / А.М. Кириллов, А.В. Новгородская, А.С. Романов. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 12, [4] с. : ил.
Методические указания содержат краткие сведения из теории изучаемого явления, методику выполнения экспериментов, а также порядок обработки полученных результатов.
Для студентов первого курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Методические указания рекомендованы Учебно-методической комиссией НУК ФН.
УДК 53 ББК 22.3
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Цель работы — экспериментальное определение скорости звука в воздухе методом сложения колебаний.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Звуковая волна, распространяющаяся в газе, является продольной и представляет собой последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа. Звуковые волны, т. е. волны частотой 16. . . 20 000 Гц (эти граничные значения являются условными и относятся к средненормальному слуховому восприятию), ощущаются ухом человека безболезненно, если их интенсивность (и соответственно громкость) не превышает болевого порога, и не ощущаются совсем, если их интенсивность меньше порога слышимости. Не воспринимаемые на слух звуковые волны частотой менее 16 Гц называются инфразвуковыми, а волны частотой более 20 000 Гц — ультразвуковыми.
Если обозначить давление и плотность газа, находящегося в однородном состоянии при отсутствии в нем звуковой волны, соответственно как P0 = const и ρ0 = const, то при наличии звуковой волны давление P и плотность ρ в каждой точке (т. е. в физически малом объеме) газа будут определяться как
P = P0 + p; ρ = ρ0 + ρ0,
где изменение давления (пульсация) p P0 и изменение плотности (пульсация) ρ0 ρ0.
Из уравнения движения газа [1] или непосредственно из анализа движения частиц газа в звуковой волне [2] следует уравнение,
связывающее пульсации плотности газа ρ0 и его давления p: |
|
||||||||
|
∂2 ρ0 |
= |
∂2p |
+ |
∂2p |
+ |
∂2p |
, |
(1) |
|
∂t2 |
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или |
|
|
|
|
|
|
|
∂2 ρ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
— оператор Лапласа; t — время; x, y, z — |
|||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
декартовы координаты.
Воздух в широких диапазонах значений давления и температуры можно считать идеальным газом. Последнее утверждение означает, что внутренняя энергия U газа пропорциональна его абсолютной температуре T : U = mCV T/μ, где m — масса газа; CV = const — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; μ — молярная масса газа (для воздуха μ = 28, 96 ∙ 10−3 кг/моль).
Процесс сжатия-разрежения газа в звуковой волне можно приближенно считать адиабатическим, так как он происходит настолько быстро, что сколь-либо заметный обмен теплотой между различными частями газа отсутствует. Давление и плотность газа в этом случае связаны уравнением адиабаты
|
P |
|
ρ |
γ |
|
|
= |
, |
(2) |
||
|
P0 |
ρ0 |
|||
где γ — показатель адиабаты. Для идеального газа |
γ = CP /CV , |
||||
где CP = const — молярная теплоемкость газа при постоянном давлении, CP = CV + R (R = 8,31 Дж/(моль ∙ K) — универсальная газовая постоянная). При условиях, близких к комнатным, воздух можно считать двухатомным газом. Тогда на основании гипотезы о равнораспределении энергии по степеням свободы можно вычислить теоретическое значение показателя адиабаты γ = 1,4.
Учитывая относительную малость пульсаций давления и плотности газа в звуковой волне, соотношение (2) можно переписать в
виде
1 + p P0
Отсюда следует искомая линейная связь между пульсациями: p = γ(P0/ρ0)ρ0, или, если учесть уравнение состояния идеального
газа,
p = γRTμ 0 ρ0,
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где T0 = const — однородная температура газа в отсутствие звуковых волн. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду
∂2 ρ0 |
= v2 Δρ0. |
(3) |
|
∂t2 |
|||
|
|
Уравнение (3) называется волновым, а постоянная v > 0 является скоростью звука (в данном случае v = pγRT0/μ — адиабатическая скорость звука). То есть скорость звука в первую очередь есть функция температуры газа.
Простейшим решением волнового уравнения (3) является плоская монохроматическая волна:
ρ0 = a cos(ωt |
± |
kx), |
(4) |
|
|
|
при этом знак «+» соответствует волне, бегущей в отрицательном направлении оси x, а знак «–» — в положительном. В уравнении (4) a — амплитуда волны; ω — круговая частота колебаний; k = ω/v — волновое число (период колебаний частиц воздуха T = 2π/ω, длина волны λ = 2π/k). Если при заданной частоте звуковой волны мы определим длину волны, то определим и ее скорость.
Частота звуковой волны задается источником колебаний, а от длины волны зависит разность фаз колебаний частиц воздуха, разделенных пространственно. Сравнивая разность фаз колебаний в разных точках пространства, мы можем определить длину волны
исоответственно ее скорость.
Спомощью датчика давления (например, микрофона) можно
преобразовать колебания давления, которые пропорциональны колебаниям плотности воздуха, в электрический сигнал и наблюдать его на его экране осциллографа.
Математическое выражение гармонических колебаний луча осциллографа на его экране имеет вид
X = X0 sin(ωt + ϕ), |
(5) |
если напряжение подано на пластины, отклоняющие луч по оси X
осциллографа, и
(6)
если напряжение подано на пластины, отклоняющие луч по оси Y осциллографа. В (5), (6) выбрана начальная фаза колебаний по оси Y , равная нулю (т. е. величина ϕ в (5) есть разность фаз колебаний по осям); X0, Y0 — амплитуды колебаний по оси X и по оси
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Y соответственно, а круговая частота колебаний ω равна частоте волны.
Уравнения (5) и (6) являются параметрическими уравнениями кривой, которую описывает луч осциллографа на его экране. Исключая из этих уравнений время t, получаем уравнение траектории луча осциллографа на его экране:
|
X |
2 |
|
Y |
|
2 |
|
2XY |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
cos ϕ = sin2 ϕ. |
(7) |
X0 |
Y0 |
|
X0Y0 |
Из формулы (7) ясно, что форма траектории полностью определяется разностью фаз колебаний ϕ по осям осциллографа. Например, если разность фаз колебаний выражается нечетным числом π/2 (ϕ = (π/2)(2N + 1), где N — любое целое число или нуль), то из
(7) следует уравнение эллипса
X0 |
|
+ |
Y0 |
= 1. |
||
|
X |
2 |
|
|
Y |
2 |
Если разность фаз колебаний оказывается равной целому числу π (ϕ = πN, N Z), то получается уравнение вида
X ± Y 2 = 0, X0 Y0
откуда находим Y = ± Y0 X, т. е. траектория луча вырождается в
прямую линию. X0
При изменении разности фаз колебаний ϕ от 0 до 2π мы можем наблюдать последовательные стадии изменения траектории луча осциллографа (фигуры Лиссажу) на его экране (табл. 1)
Таблица 1
Представленные траектории луча являются частными случаями фигур Лиссажу, которые возникают при сложении взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот звуковых волн.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По изменению фигур Лиссажу на экране осциллографа фиксируется пространственное положение датчика давления в плоской звуковой волне, соответствующее разности фаз колебаний, равной 2π (или кратной 2π). Расстояние между точками, определяющими положение датчика вдоль направления распространения волны, равно длине волны λ (или кратно λ). Тогда, зная круговую частоту ω, скорость звука находим по соотношению
v = λυ,
где υ = ω/(2π) — частота звуковой волны.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Лабораторная установка (см. рисунок) включает: 1 — измерительное устройство; 2 — объект исследования со штативом и стержнем; 3 — осциллограф.
Внешний вид лабораторной установки
В состав измерительного устройства входят генератор синусоидальных колебаний с усилителем мощности для возбуждения колебаний в громкоговорителе и частотомер для измерения частоты генератора. Частотомер показывает частоту генератора на цифровом табло. Кроме табло на передней панели измерительного устройства размещены органы управления установкой:
• кнопки МЕТАЛЛ и ВОЗДУХ со светодиодами, индуцирующими соответствующий режим работы;
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
•ручки ЧАСТОТА «ГРУБО» и ЧАСТОТА «ТОЧНО» — для установки частоты генератора (частоты возбуждаемой волны);
•ручка УРОВЕНЬ — для установки необходимой амплитуды выходного напряжения генератора (уровень возбуждения).
Объект исследования, который состоит из волновода и резонатора, с помощью стойки устанавливают на штативе. Резонатор (со стержнем) предназначен для определения скорости звука в твердых телах и в настоящей лабораторной работе не используется. Волновод представляет собой воздушный канал, на одном конце которого закреплен громкоговоритель, а на другом — перемещаемый микрофон. Для измерения расстояния между микрофоном
игромкоговорителем на поверхности кожуха волновода нанесена миллиметровая шкала.
Определение длины звуковой волны в воздухе состоит в измерении расстояния между двумя положениями перемещаемого
микрофона, соответствующими разности фаз колебаний, равной 2π. Фазу колебаний определяют по форме фигуры Лиссажу на экране осциллографа.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
1.Включите осциллограф и измерительное устройство. Сетевой выключатель измерительного устройства находится на его задней панели и помечен надписью СЕТЬ. Как правило, все устройства, входящие в лабораторную установку, уже соединены электрическими кабелями в нужном порядке. Если это не так, то обратитесь к лаборанту или преподавателю.
2.Прогрейте установку в течение 5 мин!
3.Нажмите кнопку ВОЗДУХ.
4.С помощью ручек ЧАСТОТА «ГРУБО» и ЧАСТОТА «ТОЧНО» установите необходимую частоту возбуждения колебаний мембраны громкоговорителя. Значение частоты отображается на индикаторной панели измерительного устройства. Рекомендуемая частота 2000 Гц.
5.Используя ручку УРОВЕНЬ установки и ручки усиления каналов осциллографа, убедитесь в том, что амплитуды сигналов, поступающих на осциллограф с генератора и с микрофона, при
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
передвижении микрофона вдоль волновода достаточны для проведения измерений.
6. Перемещая микрофон относительно громкоговорителя начиная с минимального расстояния и наблюдая изменение разности фаз колебаний с помощью фигур Лиссажу на экране осциллографа, зафиксируйте микрофон при разности фаз колебаний, соответствующей целому числу 2π (см. теоретическую часть). Определите соответствующее расстояние между громкоговорителем и микрофоном L1 по шкале, нанесенной на поверхности кожуха волновода, и запишете это значение в табл. 2.
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
Номер |
L1, |
L2, |
λj, |
vj, |
эксперимента |
мм |
мм |
м |
м/с |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
7.Перемещая микрофон относительно положения L1, зафиксируйте другое положение микрофона L2, соответствующее той же фигуре Лиссажу и разности фаз колебаний, отличающейся от предыдущей на 2π. Запишите значение расстояния L2 в табл. 2.
8.Повторите измерения по пп. 5 и 6 не менее пяти раз. По
окончании измерений отключите питание установки выключателем СЕТЬ, находящимся на задней панели измерительного устройства. Выключите осциллограф.
9.Рассчитайте длину звуковой волны λj (j — номер эксперимента по порядку) как разность λj = (L2 −L1)∙10−3 м и запишите результаты в табл. 2 для всех экспериментов.
10.Рассчитайте скорость звука vj по формуле vj = λj υ для
всех экспериментов и запишите результаты в табл. 2.
11. Вычислите среднее значение скорости звука, м/с, по фор-
муле |
n |
vj, |
(8) |
V = 1 |
X
n j=1
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
запишите полученное значение в табл. 3.
Таблица 3
V , м/с σV , м/с tp(f) V, м/c v = V ± V, м/с v = pγRT0/μ, м/с
12. Вычислите среднее квадратичное отклонение среднего значения скорости звука, м/c, по формуле
|
n |
|
|
|
vj=1 (V − vj)2 |
|
|||
u |
P |
− |
|
|
t |
|
|
||
σV = u |
|
|
|
(9) |
u |
n(n |
|
1) |
|
изапишите результат в табл. 3.
13.Задайте доверительную вероятность p (рекомендуемое значение доверительной вероятности p = 0,68) и по таблице определите квантиль Стьюдента tp(f), где число степеней свободы
f = n − 1. Вычислите полуширину доверительного интервала
V= tp(f)σV . Результаты запишите в табл. 3.
14.Запишите в табл. 3 результаты обработки измерений в виде v = V ± V , м/с.
15.Вычислите теоретическое значение адиабатической скорости звука по формуле v = pγRT0/μ и запишите его в табл. 3.
Показатель адиабаты γ определяется числом степеней свободы
i молекул воздуха, который можно считать двухатомным газом, т. е. γ = (i + 2)/i, и соответственно i = 5.
Средняя молярная масса воздуха μ = 28, 96 ∙ 10−3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8, 31 Дж/(моль∙K). Значение температуры T0 необходимо выяснить у лаборанта.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте гипотезу о равнораспределении внутренней энергии газа по степеням свободы. Запишите выражение для внутренней энергии идеального газа через число степеней свободы. Запишите выражения для молярной теплоемкости при постоянном
10